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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:55 Do 25.04.2013 | | Autor: | Phyrex |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie das Integral [mm] \integral_{1}^{2}{e^x^2*x^4(2x^2+5) dx} [/mm] |
Tag zusammen.
Ich sitze grad an obiger Aufgabe und weis nicht so recht weiter. Dank WolframAlpha kenn ich das Ergebniss bzw die Stammfunktion [mm] e^x^2*x^5. [/mm] Nur wie kommt man darauf?
Ich hab das ganze schon mit Substitution [mm] t=x^2 [/mm] und ähnlichem versucht, komme damit aber auch nicht weiter.
Für einen Tipp wäre ich dankbar.
Gruß
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Hallo Phyrex,
das sieht ja in der Tat ungemütlicher aus, als es nachher ist.
> Bestimmen Sie das Integral
> [mm]\integral_{1}^{2}{e^x^2*x^4(2x^2+5) dx}[/mm]
>
> Ich sitze grad an obiger Aufgabe und weis nicht so recht
> weiter. Dank WolframAlpha kenn ich das Ergebniss bzw die
> Stammfunktion [mm]e^x^2*x^5.[/mm] Nur wie kommt man darauf?
> Ich hab das ganze schon mit Substitution [mm]t=x^2[/mm] und
> ähnlichem versucht, komme damit aber auch nicht weiter.
Mit Substitution kommst Du hier wahrscheinlich auch nicht zum Ziel, wenn Du nicht gerade [mm] u=e^{x^2}*x^5 [/mm] substituierst - und das würdest Du wohl nur tun, wenn Du die Lösung schon wüsstest.
Integrale mit [mm] e^{x^2} [/mm] sind meist irgendwie mühsam. Man befürchtet, mit der ![[]](/images/popup.gif) Gaußschen Fehlerfunktion hantieren zu müssen.
Hilfreich ist aber, sich klarzumachen, was passiert, wenn man eine Funktion [mm] f(x)=e^{x^2}*A(x) [/mm] ableitet, wobei A(x) ein Polynom ist.
Man erhält [mm] f'(x)=e^{x^2}*B(x), [/mm] wobei B(x) wiederum ein Polynom ist, und zwar mit einem um eins erhöhten Grad gegenüber A(x).
Das spricht dafür, wenn irgend möglich partiell zu integrieren, so dass man aus dem Integranden die Ableitung von [mm] e^{x^2}, [/mm] also [mm] 2x*e^{x^2} [/mm] herauszieht.
Hier wäre also der Ansatz:
[mm] \int{e^{x^2}*x^4(2x^2+5)\;dx}=\int{2xe^{x^2}*x^3\left(x^2+\bruch{5}{2}\right)\;dx}=e^{x^2}*x^3\left(x^2+\bruch{5}{2}\right)-\int{e^{x^2}*5x^2\left(x^2+\bruch{3}{2}\right)\;dx}
[/mm]
Wenn die Aufgabe aufgeht, ist man in "wenigen" Schritten mit der gleichen Methode bei einer Lösung.
Schneller allerdings ist der Polynomansatz, hier also durch Ableitung von [mm] g(x)=e^{x^2}*(ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+jx+k) [/mm] und Koeffizientenvergleich mit dem Integranden.
Grüße
reverend
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