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Hallo
Ich soll das Integral
[mm] \integral_{2}^{3} [/mm] { [mm] \bruch{e^{x-2}}{x} [/mm] dx} mit der Taylorformel annähern
wie geht man da vor
Ich hab mir mal die ersten 3 Glieder der Taylor-Reihe berechnet
für x=2
f(x)= 1+ [mm] \bruch{1}{4}*(x-2)+ \bruch{1}{8}*(x-2)^{2}
[/mm]
für x=3
f(x)= [mm] \bruch{e}{3}+ \bruch{2e}{9}*(x-3)+ \bruch{5e}{54}*(x-3)^{2}
[/mm]
jetzt hab ich beide nach x integriert
[mm] \integral_{}^{} [/mm] {f(x) dx}=x+ [mm] \bruch{1}{8}*(x-2)^{2}+ \bruch{1}{24}*(x-2)^{3}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{} [/mm] {f(x) dx}= [mm] \bruch{ex}{3}+ \bruch{e}{9}*(x-3)^{2}+ \bruch{5}{162}*(x-3)^{3}
[/mm]
aber wie gehts jetzt weiter ????
Indem ich die Reihe mit x=3 von der mit x=2 abziehe?????
Oder funktioniert das nur wenn man die Reihe mit [mm] \summe_{0}^{\infty} [/mm] explizit anschreiben kann
Danke
lg Stevo
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Hallo,
das hängt doch nur davon ab, wie genau du deine Funktion mit der Taylorformel approximieren willst. Was steht denn in der Aufgabe?
Ansonsten würde ich eben bis zur Ordnung 3 die Taylor-Formel auf deine Funktion anwenden, integrieren, Grenzen einsetzen und ausrechnen. Fertig! Anschließend kannst du ja mal Maple oder Mathematica fragen, wie genau deine Approximation war!
VG Daniel
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Aber was setz ich wo ein
Ich hab ja einmal Entwicklungspunkt 2 und einmal 3 und wo setze ich meine Grenzen ein für x???????
Danke
lg Stevo
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Hallo,
ah jetzt verstehe ich, was du meinst. Du suchst den Punkt, um den du entwickeln musst, richtig? Steht das nicht in der Aufgabe? Dieser Punkt hat ja erstmal mit deinen Integrationsgrenzen nichts zu tun.
Einmal um 2 zu entwickeln und einmal um 3 macht wenig Sinn.
Typischerweise wird hier um irgnendeinen Punkt entwickelt. Dann versuche es doch erst mal mit 0 und dann sehen wir weiter. Vielleicht hat ja noch wer anders eine Idee?!
VG Daniel
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also in der Angabe steht unter a.) das ich die Reihe im Punkt x=2 entwickeln soll
und unter b.) steht nähern sie das Integral mit Hilfe von a.) an
was ich noch gefunden hab ist das hier
[mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f(x) dx}= [mm] \summe_{n=0}^{ \infty} \integral_{a}^{b}a_{n} x^{n} [/mm] dx = [mm] \summe_{n=0}^{ \infty}\bruch{a_{n}}{n+1} (b^{n+1}-a^{n+1}) [/mm] dx
aber hierzu muß ich die Reihe explizit anschreiben können
lg Stevo
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Hallo stevarino,
> also in der Angabe steht unter a.) das ich die Reihe im
> Punkt x=2 entwickeln soll
Dann kannst Du f(x) so darstellen:
[mm]f(x)\; = \;\sum\limits_{k = 0}^\infty {a_k \;\left( {x - 2} \right)^k } [/mm]
>
> und unter b.) steht nähern sie das Integral mit Hilfe von
> a.) an
>
> was ich noch gefunden hab ist das hier
>
> [mm]\integral_{a}^{b}[/mm] {f(x) dx}= [mm]\summe_{n=0}^{ \infty} \integral_{a}^{b}a_{n} x^{n}[/mm]
> dx = [mm]\summe_{n=0}^{ \infty}\bruch{a_{n}}{n+1} (b^{n+1}-a^{n+1})[/mm]
> dx
>
> aber hierzu muß ich die Reihe explizit anschreiben können
Obige Reihe kannst Du auch problemlos integrieren.
Gruß
MathePower
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Soweit war ich auch schon ich bekomme nur das [mm] a_{k} [/mm] nicht hin
wie lautet das für [mm] \bruch{1}{2}+ \bruch{1}{4}+ \bruch{1}{48}+ \bruch{1}{96} [/mm] ????
lg Stevo
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Hallo,
also ich habe deine Reihe jetzt mal per Hand um die 2 entwickelt. Das geht super. Und dann dieses Polynom noch zu integrieren sollte auch eine Leichtigkeit sein. Mach' es so, wenn du mit der anderen Variante nicht weiterkommst.
VG Daniel
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