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| Aufgabe | f(x) = [mm] (x-1)e^{2-x}
[/mm]
Zeigen Sie, dass F(x) = [mm] -xe^{2-x} [/mm] eine Stammfunktion von f ist.
Der Graph von f schließt mit der Geraden x = 4 sowieso der x-Achse eine Fläche ein. Bestimmen Sie deren Inhalt. |
Hallo , also die erste Teilaufgabe ist easy.
F'(x) = f(x) , da muss ich nicht viel schreiben.
Ich habe den Graphen zeichnen lassen.
Hier das Bild: http://s1.directupload.net/file/d/3227/yhphvuo4_jpg.htm
So ich rechne also:
F(4)-F(1) = [mm] (-e^{2-4}*4 [/mm] ) - [mm] (-e^{2-1})
[/mm]
Soweit richtig ?
Und dann habe ich noch ne andere Frage, die bei dieser Aufgabe nicht gefordert ist.
Was ist eigentlich, wenn ich die Fläche von dieser Funktion ausrechnen soll , aber im Intervall I = [mm] [4;\infty] [/mm] , also quasi das uneigentliche Integral, ohne quasi :D ; also das uneigentliche Integral.
Dann muss ich ja das hier ausrechnen oder:
[mm] \integral_{4}^{\infty}{(x-1)e^{2-x} dx} [/mm] = [mm] \limes_{R\rightarrow\infty} \integral_{4}^{R}{(x-1)e^{2-x} dx}
[/mm]
Ist das so richtig ?
Vielen Dank im Voraus.
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Hallo pc-doctor!
> So ich rechne also:
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> F(4)-F(1) = [mm](-e^{2-4}*4[/mm] ) - [mm](-e^{2-1})[/mm]
>
> Soweit richtig ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Aber das kann man noch etwas zusammenfassen.
> Dann muss ich ja das hier ausrechnen oder:
> [mm]\integral_{4}^{\infty}{(x-1)e^{2-x} dx}[/mm] = [mm]\limes_{R\rightarrow\infty} \integral_{4}^{R}{(x-1)e^{2-x} dx}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Korrekt.
Gruß vom
Roadrunner
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Alles klar , vielen Dank.
Wenn ich jetzt $ [mm] \integral_{4}^{\infty}{(x-1)e^{2-x} dx} [/mm] $ = $ [mm] \limes_{R\rightarrow\infty} \integral_{4}^{R}{(x-1)e^{2-x} dx} [/mm] $ ausrechne und für R = 100000 einsetze, kommt 0 raus , das heißt also, dass die Fläche 0 FE beträgt ?
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Hallo!
> Wenn ich jetzt [mm]\integral_{4}^{\infty}{(x-1)e^{2-x} dx}[/mm] = [mm]\limes_{R\rightarrow\infty} \integral_{4}^{R}{(x-1)e^{2-x} dx}[/mm]
> ausrechne und für R = 100000 einsetze, kommt 0 raus , das
> heißt also, dass die Fläche 0 FE beträgt ?
Diese Frage solltest Du Dir selber beantworten können; allein anhand Deiner Skizze. Dort ist doch eine Fläche ausschließlich oberhalb der x-Achse zu erkennen. Kann der Flächeninhalt dann = 0 sein?
Du vergisst den Anteil aus $F(4)_$ .
Gruß vom
Roadrunner
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Naja, ich habe das mit Hilfe des Taschenrechners gerechnet, der kann Integrale berechnen.
Dort sagt er mir 0, kann ja mal selber rechnen, sobald ich aber 100 oder 1000 oder 10000 einsetze, dann kommen andere Werte raus, die sich schon deutlich unterscheiden. Wie kann das sein ?
Habe jetzt selber gerechnet , und hab für R = [mm] 10^{6} [/mm] eingesetzt und halt noch die Grenze 4 und da bekomme ich 0,54 FE raus.
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Hallo!
Warum Werte für $R_$ einsetzen? Führe die oben erwähnte Grenzwertbetrachtung für [mm] $R\rightarrow\infty$ [/mm] durch.
Dann sollte am Ende auch wirklich [mm] $\bruch{4}{e^2} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 0{,}541$ übrigbleiben, da gilt [mm] $\limes_{R\rightarrow\infty}\left(-R*e^{2-R}\right) [/mm] \ = \ 0$ .
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:36 Di 16.04.2013 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar , vielen Dank.
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