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Integral eines Bruches: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:11 Di 21.06.2011
Autor: BunDemOut

Aufgabe
Berechnen Sie das Integral von:
[mm] \integral{e^x *\bruch{sin^3(e^x)*(1+cos(e^x))}{cos^4(e^x)} dx} [/mm]

Hallo,

habe zuerst einmal die Substitution [mm] u=e^x [/mm] durchgeführt und erhalte dann:
[mm] \integral{\bruch{sin^3(u)*(1+cos(u))}{cos^4(u)} du} [/mm]

Jetzt hätte ich nochmal substituiert (darf man das im Allgemeinen?)
[mm] z=tan(\bruch{u}{2}) [/mm]
und erhalte dadurch:
[mm] \integral{\bruch{16z^3}{(z^4-1)^4} dz} [/mm]

Nun wäre eine PBZ anzusetzen, die aber insgsesamt 8 Summanden besitzt, da der Nenner reelle sowohl als auch komplexe Nst besitzt.

Bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg? Bzw. ginge es kürzer?

Danke



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Integral eines Bruches: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:32 Di 21.06.2011
Autor: leduart

hallo
1. du kannst so oft substituieren wie du willst.
die letzte subst. hab ich nicht nachgerechnet. wenn der letzte Bruch stimmt, berechne mal die Ableitung von [mm] (z^4-1)^{-3} [/mm] dann kennst du dein Integral , das die Form [mm] a*f'/f^4 [/mm] hat .
Gruss leduart


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Integral eines Bruches: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:14 Di 21.06.2011
Autor: Fulla

Hallo BunDemOut,

kannst du mal deine Substition mit [mm]z:=\tan\left(\frac{u}{2}\right)[/mm] vorrechnen? Ich komme da nämlich auf was anderes.

Lieben Gruß,
Fulla


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Integral eines Bruches: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:50 Di 21.06.2011
Autor: BunDemOut

[mm] \integral{\bruch{\bruch{8z^3}{(1+z^2)^3} * \bruch{2}{1+z^2}}{\bruch{(1-z^2)^4}{(1+z^2)^4}} \bruch{2 dz}{1+z^2}} [/mm]

= [mm] \integral{ \bruch{\bruch{16z^3}{(1+z^2)^4}}{\bruch{(1-z^2)^4}{(1+z^2)^4}} \bruch{2 dz}{1+z^2}} [/mm]

= [mm] 2\integral {\bruch{16z^3}{(1+z^2)^4}* \bruch{(1+z^2)^4}{(1-z^2)^4}*\bruch{1}{(1+z^2)} dz} [/mm]

[mm] =32\integral {\bruch{z^3}{(1-z^2)^4*(1+z^2)} dz} [/mm]

Hatte also oben nen kleinen Fehler...
Trotzdem wird die PBZ extrem aufwändig, und für ne Prüfung eigentlich zu lang oder?

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Integral eines Bruches: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:19 Di 21.06.2011
Autor: angela.h.b.


> Hatte also oben nen kleinen Fehler...
>  Trotzdem wird die PBZ extrem aufwändig, und für ne
> Prüfung eigentlich zu lang oder?

Hallo,

[willkommenmr].

Mir kommt's auch etwas länglich vor.
Habt Ihr in der Klausur Unterlagen dabei und könnt Integrale in einer Integraltafel nachschlagen?

Gruß v. Angela


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Integral eines Bruches: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:15 Di 21.06.2011
Autor: BunDemOut

jap, es sind alle Hilfsmittel außer Laptops/Handy/... zugelassen.

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Integral eines Bruches: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:18 Do 23.06.2011
Autor: angela.h.b.


> jap, es sind alle Hilfsmittel außer Laptops/Handy/...
> zugelassen.

Hallo,

das ist natürlich tückisch, denn normalerweise sind die Aufgaben in diesen Fällen schwieriger.

$ [mm] \integral{\bruch{sin^3(u)\cdot{}(1+cos(u))}{cos^4(u)} du} [/mm] $

kanst Du schreiben als

$ [mm] \integral{tan^3(u)\cdot{}(\bruch{1}{cos(u)}+1) du} [/mm] $,

und das Integral [mm] \integral{tan^3(u) du} [/mm] kannst Du direkt dem Bronstein o.ä. entnehmen.

Ich hab' den Bronstein gerade nicht zur Hand, aber möglicherweise steht sogar

[mm] \integral sin^n(u)*cos^m(u) [/mm] du drin für ganze Zahlen n,m.

Damit hättest Du es ja recht fix.

Gruß v. Angela


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Integral eines Bruches: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:30 Di 21.06.2011
Autor: MathePower

Hallo BunDemOut,

> [mm]\integral{\bruch{\bruch{8z^3}{(1+z^2)^3} * \bruch{2}{1+z^2}}{\bruch{(1-z^2)^4}{(1+z^2)^4}} \bruch{2 dz}{1+z^2}}[/mm]
>  
> = [mm]\integral{ \bruch{\bruch{16z^3}{(1+z^2)^4}}{\bruch{(1-z^2)^4}{(1+z^2)^4}} \bruch{2 dz}{1+z^2}}[/mm]
>  
> = [mm]2\integral {\bruch{16z^3}{(1+z^2)^4}* \bruch{(1+z^2)^4}{(1-z^2)^4}*\bruch{1}{(1+z^2)} dz}[/mm]
>  
> [mm]=32\integral {\bruch{z^3}{(1-z^2)^4*(1+z^2)} dz}[/mm]


[ok]


>  
> Hatte also oben nen kleinen Fehler...
>  Trotzdem wird die PBZ extrem aufwändig, und für ne
> Prüfung eigentlich zu lang oder?


Ja.

Ersetze in dem Integral

[mm]\integral{\bruch{sin^3(u)\cdot{}(1+cos(u))}{cos^4(u)} du} [/mm]

[mm]\sin^{3}\left(u\right)[/mm] durch [mm]\sin\left(u\right)*\left(1-cos^{2}\left(u\right)\right)[/mm]


Gruss
MathePower

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Integral eines Bruches: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:16 Di 21.06.2011
Autor: BunDemOut

ok, werd ich versuchen :)
wenns nochmal Schwierigkeiten gibt, meld ich mich nochmal.

Danke :)

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