Integral im R² < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechne folgendes Integral:
[mm] \int_M \, d(x,y) \, (x^2+x \, y)[/mm] mit [mm] M= \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 6, \, x^2 \leq 3 \, y \} [/mm] |
Hallo, ich habe die oben angegebene Aufgabe zu lösen. Leider weiß ich nicht, wie die Bedingung für $M$ sinnvoll bei der Verwendung der Integrationsgrenzen anzuwenden ist. Mein Ansatz geht zunächst über die zuletzt angegebene Ungleichung: [mm] $x^2 \leq [/mm] 3 [mm] \, [/mm] y$, wodurch man schließen kann [mm] $x\leq \sqrt{3 \, y}$, [/mm] bzw. [mm] $x\geq [/mm] - [mm] \sqrt{3 \, y}$ [/mm] Betrachte ich nun das Integral, so kann ich schreiben:
[mm] $\int_0^6 [/mm] dy [mm] \, \int_{-\sqrt{3 \, y}}^{\sqrt{3 \, y}} \, (x^2 [/mm] + x [mm] \, [/mm] y) [mm] \, [/mm] dx = [mm] \frac{3^5}{5} \, 2^{9/2}$
[/mm]
ist das richtig oder habe ich mich vertan? Ist das die Art und weise wie derartige Bedingungen über den zu integrierenden Raum verwendet werden?
Vielen Dank für die Antworten!
Ich habe diese Frage sonst nirgendwo gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Sa 17.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechne folgendes Integral:
> [mm]\int_M \, d(x,y) \, (x^2+x \, y)[/mm] mit [mm]M= \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 6, \, x^2 \leq 3 \, y \}[/mm]
>
> Hallo, ich habe die oben angegebene Aufgabe zu lösen.
> Leider weiß ich nicht, wie die Bedingung für [mm]M[/mm] sinnvoll bei
> der Verwendung der Integrationsgrenzen anzuwenden ist. Mein
> Ansatz geht zunächst über die zuletzt angegebene
> Ungleichung: [mm]x^2 \leq 3 \, y[/mm], wodurch man schließen kann
> [mm]x\leq \sqrt{3 \, y}[/mm], bzw. [mm]x\geq - \sqrt{3 \, y}[/mm] Betrachte
> ich nun das Integral, so kann ich schreiben:
> [mm]\int_0^6 dy \, \int_{-\sqrt{3 \, y}}^{\sqrt{3 \, y}} \, (x^2 + x \, y) \, dx = \frac{3^5}{5} \, 2^{9/2}[/mm]
>
> ist das richtig oder habe ich mich vertan? Ist das die Art
> und weise wie derartige Bedingungen über den zu
> integrierenden Raum verwendet werden?
Im Prinzip hast du es richtig gemacht, aber die angegebenen Bedingungen nicht vollständig eingesetzt. Es gilt nämlich auch noch [mm] $0\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1$. Am besten ist es in solchen Fällen, sich die Menge M aufzuzeichnen: die ersten beiden Bedingungen definieren ein Recteck, die Bedingung [mm] $x^2 \leq [/mm] 3 [mm] \, [/mm] y $ sagt, dass nur über den Teil des Rechtecks integriert wird, der rechts von der Parabel liegt.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
danke für deine Antwort. Das stimmt, eine Bedingung blieb bei meiner Lösung unberücksichtigt. Benutzen wir diese Bedingung, so erhalten wir die Ungleichung: $0 [mm] \leq [/mm] - [mm] \sqrt{3 y} \leq [/mm] x [mm] \leq \sqrt{3y} \leq [/mm] 1$, damit erhalten wir in Kombination mit der Bedingung $0 [mm] \leq [/mm] y [mm] \leq [/mm] 6$ die Bedingungen:
$y [mm] \geq [/mm] 0$ und $y [mm] \leq \frac{1}{3}$. [/mm] Dies hat Auswirkungen auf die Integrationsgrenzen bei der $y$-Integration, wodurch wir
[mm] $\int_0^{1/3} [/mm] dy [mm] \, \int_{-\sqrt{3y}}^{\sqrt{3y}} (x^2 [/mm] + [mm] x\, [/mm] y) [mm] \, [/mm] dx$ erhalten.
Oder müssen die Integrationsgrenzen bei der Integration über $x$ auch angepasst werden?
Gruß
wunderbar
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> Hallo Rainer,
> danke für deine Antwort. Das stimmt, eine Bedingung blieb
> bei meiner Lösung unberücksichtigt. Benutzen wir diese
> Bedingung, so erhalten wir die Ungleichung:
> [mm]\red{0 \leq - \sqrt{3 y}} \leq x \leq \sqrt{3y} \leq 1[/mm], ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> damit erhalten wir in Kombination mit der Bedingung [mm]0 \leq y \leq 6[/mm]
> die Bedingungen:
> [mm]y \geq 0[/mm] und [mm]\red{y \leq \frac{1}{3}}[/mm]. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Dies hat Auswirkungen auf
> die Integrationsgrenzen bei der [mm]y[/mm]-Integration, wodurch wir
> [mm]\int_0^{1/3} dy \, \int_{-\sqrt{3y}}^{\sqrt{3y}} (x^2 + x\, y) \, dx[/mm]
> erhalten.
> Oder müssen die Integrationsgrenzen bei der Integration
> über [mm]x[/mm] auch angepasst werden?
> Gruß
> wunderbar
Hallo
hast du die von Rainer vorgeschlagene Zeichnung
wirklich gemacht ?
Negative x kommen im Integrationsgebiet gar nicht
vor, also macht auch eine negative Untergrenze für
die Integration über x keinen Sinn. Das Integrations-
gebiet M ist fast das ganze Rechteck, mit Ausschluss
eines kleinen Spickels rechts unten unterhalb der
Parabel. Die Integration macht man am besten so,
dass die innere Integration über y geht und die
äussere über x.
LG
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Hallo Al,
danke für die Antwort. Die Fläche habe ich mir aufgemalt. Also so wie ich das verstehe bedeutet die Bedingung [mm] $x^2 \leq [/mm] 3y$, dass über alle Werte integriert wird, die unterhalb der Kurve mit $y=1/3 [mm] x^2$ [/mm] liegen, oder? Also bei weiterer Betrachtung erhalte ich die Integrationsgrenzen 0 und 1 für die Integration über $x$ und 0 und 1/3 für die Integration über $y$. Wie die Fläche aussieht ist mir sehr wohl klar, ich weiß nur nicht, wie man dies vernünftig in Formeln überstetzt...
Danke für eure Hilfe!
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> Hallo Al,
> danke für die Antwort. Die Fläche habe ich mir aufgemalt.
> Also so wie ich das verstehe bedeutet die Bedingung [mm]x^2 \leq 3y[/mm],
> dass über alle Werte integriert wird, die unterhalb der
> Kurve mit [mm]y=1/3 x^2[/mm] liegen, oder?
Nein, eben oberhalb !
[mm] x^2 \leq [/mm] 3y ist äquivalent zu y [mm] \blue{\ge} [/mm] 1/3 [mm] x^2
[/mm]
> Also bei weiterer
> Betrachtung erhalte ich die Integrationsgrenzen 0 und 1 für
> die Integration über [mm]x[/mm] und 0 und 1/3 für die Integration
> über [mm]y[/mm]. Wie die Fläche aussieht ist mir sehr wohl klar, ich
> weiß nur nicht, wie man dies vernünftig in Formeln übersetzt...
Die (innere) Integration über y muss von 1/3 [mm] x^2 [/mm] bis 6 gehen.
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:33 Fr 23.01.2009 | | Autor: | wunderbar |
alles klaro, vielen dank für eure hilfe!
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Hallo Rainer !
> Am besten ist es in solchen Fällen,
> sich die Menge M aufzuzeichnen: ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> die ersten beiden
> Bedingungen definieren ein Recteck, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> die Bedingung [mm]x^2 \leq 3 \, y[/mm]
> sagt, dass nur über den Teil des Rechtecks integriert wird,
> der rechts von der Parabel liegt.
Letzteres wäre dann richtig, wenn du z.B. die
y-Achse nach rechts und die x-Achse nach oben
zeichnest. In der normalen Anordnung sollte es
heissen: "oberhalb der Parabel".
Lieben Gruß ! Al
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