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Hi,
Ich komme bei folgender Aufgabe an einem bestimmten Punkt einfach nicht weiter, man könnte sagen ich hab echt ein "Brett vorm Kopf". Ich hoffe ihr könnt mir helfen!
Also: gegeben sind 2 Funktionen:
[mm] f(x)=-x^{2}+3x
[/mm]
[mm] g_{k}(x)=kx
[/mm]
Man soll nun k so bestimmen, dass die Grade g das Integral von f im Verhältnis 1:1 teilt.
Zunächst einmal habe ich die Nullstellen von f bestimmt. Diese sind
[mm] x_{1}=0 [/mm] und [mm] x_{2}=3
[/mm]
Danach habe ich das Integral der Funktion f zwischen 0 und 3 berechnet.
[mm] \integral_{0}^{3} {f(x)=(-x^{2}+3x) dx} [/mm] = 4,5
Da die zu teilende Fläche 4,5 beträgt, müssen die Einzelstücke ja jeweils 2,25 betragen. Soweit so gut.
Nun habe ich die Beiden Funktionen gleichgesetzt:
f(x) = [mm] g_{k}(x)
[/mm]
und als Schnittstellen
0 und 3+k erhalten (ich hoffe das stimmt soweit)
Dann denke ich mir, muss man ja eigentlich "nur" noch folgendes ausrechenen:
[mm] \integral_{0}^{3+k} [/mm] {(kx) dx}=2,25
Aber wenn ich nun versuche auf k zu kommen funktioniert irgendwie gar nichts mehr... Vielleicht mache ich ja auch schon vorher einen Fehler, ich weiß es nicht.
Es wäre wirklich sehr nett wenn mir jemand die Lösung für dieses Problem geben könnte!
Vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Max |
> Hi,
> Ich komme bei folgender Aufgabe an einem bestimmten Punkt
> einfach nicht weiter, man könnte sagen ich hab echt ein
> "Brett vorm Kopf". Ich hoffe ihr könnt mir helfen!
>
> Also: gegeben sind 2 Funktionen:
> [mm]f(x)=-x^{2}+3x
[/mm]
> [mm]g_{k}(x)=kx
[/mm]
>
> Man soll nun k so bestimmen, dass die Grade g das Integral
> von f im Verhältnis 1:1 teilt.
>
> Zunächst einmal habe ich die Nullstellen von f bestimmt.
> Diese sind
> [mm]x_{1}=0[/mm] und [mm]x_{2}=3
[/mm]
Richtig!
>
> Danach habe ich das Integral der Funktion f zwischen 0 und
> 3 berechnet.
> [mm]\integral_{0}^{3} {f(x)=(-x^{2}+3x) dx}[/mm] = 4,5
>
> Da die zu teilende Fläche 4,5 beträgt, müssen die
> Einzelstücke ja jeweils 2,25 betragen. Soweit so gut.
Dein Ansatz ist wiederum völlig richtig.
>
> Nun habe ich die Beiden Funktionen gleichgesetzt:
> f(x) = [mm]g_{k}(x)
[/mm]
> und als Schnittstellen
> 0 und 3+k erhalten (ich hoffe das stimmt soweit)
Nein, $0$ ist richtig, aber $3+k$ ist falsch. Den Fehler findest du auch sofort 
>
> Dann denke ich mir, muss man ja eigentlich "nur" noch
> folgendes ausrechenen:
>
> [mm]\integral_{0}^{3+k}[/mm] {(kx) dx}=2,25
Leider nein, wenn du dir die Situation verdeutlichst sollte dir klar werden, dass du nur einen Teil der Fläche versuchst auszurechen. Ich wollte dir eigentlich ein Bild dazugeben, aber ich kriege es nicht rein :-(
Naja, auf jeden Fall vergisst du ein Stück der Fläche, die dann 2,25 FE groß sein soll. Mach dir mal ne Skizze und du weißt was ich meine.
>
> Aber wenn ich nun versuche auf k zu kommen funktioniert
> irgendwie gar nichts mehr... Vielleicht mache ich ja auch
> schon vorher einen Fehler, ich weiß es nicht.
> Es wäre wirklich sehr nett wenn mir jemand die Lösung für
> dieses Problem geben könnte!
> Vielen Dank!
Wenn du den richtigen Schnittpunkt nimmst und das Integral entsprechend aufstellst wirst du es schon schaffen
Viel Erfolg!
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Hi,
erstmal vielen Dank dafür, dass du mir helfen möchtest!
Du schreibst:
>> Nun habe ich die Beiden Funktionen gleichgesetzt:
>> f(x) =
>> und als Schnittstellen
>> 0 und 3+k erhalten (ich hoffe das stimmt soweit)
>Nein, 0 ist richtig, aber 3+k ist falsch. Den Fehler findest du auch sofort
Tja was soll ich sagen, den Fehler finde ich wirklich nicht!
Die Rechnung:
f(x) = gk(x)
[mm] -x^{2}+3x [/mm] = kx
[mm] -x^{2}+3x-kx [/mm] = 0
x(-x+3-k) = 0
also: [mm] x_{1}=0 [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] müsste dan doch 3+k sein, damit der Klammerinhalt 0 wird oder sollte es etwa 3-k wegen dem - vor dem x sein?
Ich bin mir wirklich nicht sicher.
Und zu deiner zweiten Anmerkung:
Ich habe mir bereits zu Anfang eine sehr genaue Skizze gemacht, jedoch kann ich leider nicht nachvollziehen, was du damit meinst, ich würde ein Stück der Fläche "vergessen".
Über weitere Hilfe wäre ich äußerst dankbar!
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Hallo, technix01
in
-x+3-k = 0
bring doch mal das x auf die rechte Seite
und nun sieh Dir das Bild an
[Dateianhang nicht öffentlich]
was du
berechnest, wenn Du nun die richtige Lösung obiger Gleichung
als obere Grenze einsetzet
ist nur die Fläche eines 3ecks.
Ab der oberen Grenze müßtest Du dann noch, bis x=3
das -x²+3x dazuintegrieren.
Alternativ könntes Du aber auch die Fläche ÜBER der Geraden
allgemein, von k abhängig bestimmen und k so wählen daß sie 2,25
wird
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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So, Ich habe nun versucht die Fläche ÜBER der Geraden auszurechnen.
Dazu muss man ja das Integral von (Funktion oberer Graph - Funktion unterer Graph) berechnen.
Also:
[mm] \integral_{0}^{3-k} [/mm] {f(x)-g(x) dx}
demnach:
[mm] \integral_{0}^{3-k} {-x^{2}+3x-kx}
[/mm]
Irgendwie bekomm ich aber auch das nicht hin... ich weiß echt nicht woran es bei der Aufgabe so hapert, aber solche Probleme hatte ich echt noch nie bei einer Aufgabe....
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Max |
Ja die zweite Schnittstelle liegt bei $3-k$, ist ja auch logisch, dass der Schnittpunkt nicht weiter rechts liegt als die Nullstelle $3$ (s.h. Skizze).
Das Integral welches du jetzt berechnen willst ist richtig. Du kannst dann einfach die Stammfunktionbilden und erhälst am Ende einen Term der nur noch von $k$ abhängt. Du solltest nicht alles ausmultiplizieren, sondern lieber versuchen [mm] $(k-3)^3$ [/mm] bzw. [mm] $(3-k)^3$ [/mm] als Faktor auszuklammern. Dann ist die Gleichung dritten Grades die später entsteht leichter zu lösen.
Du musst dann nur noch $k$ so bestimmen, dass der Term dir den Flächeninhalt $2,25$ liefert.
Ich erhalte [mm] $k=3+\frac{3}{2}\wurzel[3]{4}$.
[/mm]
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So tut mir wirklich Leid aber ich kann einfach nicht mehr...
Ihr könnt meinetwegen denken was ihr wollt und mich nen volldepp oder sonstwas nennen, egal, aber ich bin fix und fertig!
Ich krieg die einfachsten Gleichungen nicht mehr gelöst!
Darum BITTE poste irgendjemand die Lösung ich komm einfach nicht auf das Ergebnis- selbst mit Anleitung nicht sowas hab ich noch nie erlebt
im moment bekomm ich die Gleichung
[mm] -1/6K^{3}+1,5k^{2}-4,5k+4,5=2,25 [/mm] echt nicht aufgelöst und ich weiß auch noch nichtmal ob das überhaupt die richtige gleichung ist...
Ich sitze jetzt seit heute morgen 9Uhr mehr oder weniger ununterbrochen an dieser tollen aufgabe und suche im i-net nach ner lösung. ich hab schon nen halben college block vollgeschrieben
Also BITTE ich kann mir wirklich nicht vorwerfen das ich mich nicht bemühe aber mitlerweile geht gar nix mehr
BITTE BITTE BITTE macht diesem Trauerspiel ein ende und poste jemand ne Lösung
einfach ab dem integral was ich berechnen wollte ich kriegs nit hin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Max |
Sorry, wir wollen dich nicht dumm da stehen lassen, aber es ist natürlich lehrreicher selber eine Lösung zu finden. Aber auch uns geht es manchmal so, dass man sich solange mit einer Aufgabe beschäftigt, dass man nicht mehr weiter weiss.
Hier jetzt die Lösung um dem Ganzen ein Ende zu bereiten:
[mm] $A(k)=\int_0^{3-k} \left(-x^2+(3-k)x^2\right) [/mm] dx = [mm] \left[-\frac{1}{3}x^3+\frac{(3-k)}{2}x^2\right]_{0}^{3-k} [/mm] = [mm] -\frac{1}{3}\left(3-k\right)^3+\frac{1}{2}(3-k)(3-k)^2=\frac{1}{6}(3-k)^3$
[/mm]
Wir müssen jetzt noch den $k$ Wert finden, für den [mm] $A(k)=\frac{9}{4}=2,25$ [/mm] ist.
[mm] $2,25=\frac{1}{6}(3-k)^3$
[/mm]
[mm] $\frac{27}{2}=(3-k)^3$
[/mm]
[mm] $\frac{3}{\wurzel[3]{2}}=(3-k)$
[/mm]
[mm] $k=3-\frac{3}{\wurzel[3]{2}} [/mm] = 3 - [mm] \frac{3}{2}\wurzel[3]{4}$
[/mm]
Also hatte ich auch mal in einer Antwort einen Vorzeichenfehler
Dann mal viel Spass - und wenig Verzweiflung!
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Hallo technix01,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
eine ähnliche Aufgabenstellung wurde vor wenigen Tagen hier besprochen.
Es lohnt sich meistens, mal alte Aufgaben mit verwandten Themen zu suchen (oben rechts ist der Suchknopf ).
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