Integral in R^2 < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:46 Di 16.01.2007 | | Autor: | gosch |
Hallo,
habe Probleme mit integrieren in zwei dimensionalen Räumen. Sollte berechnen: [mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{1}{\bruch{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} dy}dx}. [/mm] Weiß, dass ich erst den Bruch nach [m]y[/m] integrieren soll, Integralgrenzen einsetzen und dann nach [m]x [/m] integrieren. Habe auch Ergebnis vom ersten Schritt:
[m]\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{1}{\bruch{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} dy}dx} = \integral_{0}^{1}{\bruch{y}{x^{2}+y^{2}} }dx}[/m]
Wie komme ich aber darauf?
Gruß,
gosch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:33 Mi 17.01.2007 | | Autor: | moudi |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo gosch
Du musst noch die Integralgrenzen einsetzen. Es ist $F(y)=\frac{y}{x^2+y^2}$ eine Stammfunktion von $f(y)=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} $.
Wie man darauf kommt? Wenn man den Integranden anschaut, könnte man auf die Idee kommen, es mit der Quotiententregel zu probieren $F(y)=\frac{u(y)}{v(y)}$ mit $F'(y)=\frac{u'v-uv'}{v^2}$. Es ist dann $v(y)=x^2+y^2$ "gesetzt" und man muss $u(y)$ so bestimmen, dass $u'v-uv'=u'\cdot(x^2+y^2)-u\cdot 2y=x^2-y^2$. Dann muss man halt probieren.
Daher $\int_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dy=\left.\frac{y}{x^2+y^2}\right|_0^1=\frac{1}{x^2+1}$.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:48 Mi 17.01.2007 | | Autor: | gosch |
Danke moudi,
dachte, dass es irgendeine Methode gibt, die dieses Integral berechnet, aber wenn man durch ausprobieren argumentieren kann, dann ist auch gut.
LG,
gosch
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