Integral mit Arctan < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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hallo,
hier erstmal die aufgabe und meinen lösungsansatz:
[mm] 2*\integral {\bruch{1}{x^2+2x+3} dx}
[/mm]
mit quadrat. ergänzung komme ich auf:
[mm] 2*\integral{\bruch{1}{(x^2+2x+1)-1+3}dx}
[/mm]
= [mm] 2*\integral{\bruch{1}{(x+1)^2+2}dx}
[/mm]
um den arctan zu bekommen, muss das ja irgendwie in die form
[mm] \bruch{1}{u^2+1} [/mm] gebracht werden.
wenn ich (x+1)=u wähle, sieht es so aus
[mm] 2*\integral{\bruch{1}{u^2+1+1}dx}
[/mm]
die zweite 1 im nenner stört, und ich hab einfach keine idee,
wie ich das hinkriegen kann.
vielen dank im voraus
gruß
gordon
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
probiere es mal mit
[mm]x\; + \;1\; = \;\sqrt 2 \;u[/mm]
und anschließendes kürzen liefert das gewünschte Integral.
Gruß
MathePower
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hi Mathepower,
das verstehe ich irgendwie nicht so ganz.
könntest du mir bitte etwas genauer erklären?
danke
gruß
gordon
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Hi, brain,
bin etwas verwundert, denn:
Die Formel:
[mm] \integral{\bruch{1}{x^{2}+a^{2}}dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a}*arctan(\bruch{x}{a}) [/mm] + c
steht doch in jeder besseren Formelsammlung und ist im übrigen auch ziemlich leicht zu beweisen!
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Hi Zwerglein,
[mm] \integral{\bruch{1}{x^2+a^2}dx}
[/mm]
ich hab doch aber kein [mm] a^2 [/mm] mein integral ist doch
[mm] \integral{\bruch{1}{x^2+2}dx}
[/mm]
[mm] a^2=2?
[/mm]
wäre das ergebnis dann [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*arctan(\bruch{x}{\wurzel{2}})+C?
[/mm]
gruß
gordon
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 07:38 Fr 18.03.2005 | | Autor: | Fabian |
Hi gordon
Du hast doch:
[mm] 2*\integral {\bruch{1}{(x+1)^{2}+2}*dx}
[/mm]
Jetzt substituierst du doch [mm] x+1=\wurzel{2}*u
[/mm]
[mm] 2*\integral {\bruch{1}{(\wurzel{2}*u)^{2}+2}*dx}
[/mm]
[mm] 2*\integral {\bruch{1}{2*u^{2}+2}*dx}
[/mm]
Jetzt klammerst du die 2 aus dem Nenner aus:
[mm] \integral {\bruch{1}{u^{2}+1}*dx}
[/mm]
Das ist jetzt ein Grundintegral und führt auf den Arkustangens
=> [mm] arctan*u+C=arctan(\bruch{x+1}{\wurzel{2}})+C
[/mm]
So , ich hoffe ich hab jetzt keinen Denkfehler!
Gruß Fabian
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:41 Fr 18.03.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, persilous,
> [mm]2*\integral {\bruch{1}{(x+1)^{2}+2}*dx}
[/mm]
>
> Jetzt substituierst du doch [mm]x+1=\wurzel{2}*u
[/mm]
>
> [mm]2*\integral {\bruch{1}{(\wurzel{2}*u)^{2}+2}*dx}
[/mm]
>
Und wo bleibt nun die Unformung von dx? Du kannst doch nicht eine Funktion in der Variablen u nach dx integrieren!
Also: x + 1 = [mm] \wurzel{2}*u [/mm] oder: [mm] x=\wurzel{2}*u [/mm] -1.
Daraus: [mm] \bruch{dx}{du} [/mm] = [mm] \wurzel{2} [/mm] <=> dx = [mm] \wurzel{2}*du
[/mm]
> [mm]2*\integral {\bruch{1}{2*u^{2}+2}*dx}
[/mm]
>
> Jetzt klammerst du die 2 aus dem Nenner aus:
>
> [mm]\integral {\bruch{1}{u^{2}+1}*dx}
[/mm]
Spätestens hier MUSST Du dx ersetzen:
[mm] \integral {\bruch{1}{u^{2}+1}*\wurzel{2}du}
[/mm]
>
> Das ist jetzt ein Grundintegral und führt auf den
> Arkustangens
>
> => [mm]arctan*u+C=arctan(\bruch{x+1}{\wurzel{2}})+C
[/mm]
>
> So , ich hoffe ich hab jetzt keinen Denkfehler!
DOCH!
Siehe oben: Das richtige Ergebnis wäre
[mm] \wurzel{2}*arctan(u)+C=\wurzel{2}*arctan(\bruch{x+1}{\wurzel{2}})+C
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:48 Fr 18.03.2005 | | Autor: | Fabian |
Das kommt davon , wenn man früh morgens Fragen beantwortet!!!
Gruß Fabian
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Hi, brain,
> Hi Zwerglein,
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{x^2+a^2}dx}
[/mm]
>
> ich hab doch aber kein [mm]a^2[/mm] mein integral ist doch
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{x^2+2}dx}
[/mm]
>
> [mm]a^2=2?
[/mm]
>
> wäre das ergebnis dann
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}*arctan(\bruch{x}{\wurzel{2}})+C?
[/mm]
>
Richtig!
Jetzt musst Du nur noch beachten, dass bei Deiner ursprünglichen Aufgabe
(1) (x+1) statt x steht und
(2) das Integral noch mit 2 multipliziert wird.
Daher ist Dein Ergebnis: [mm] 2*\bruch{1}{\wurzel{2}}*arctan(\bruch{x+1}{\wurzel{2}})+C [/mm] = [mm] \wurzel{2}*arctan(\bruch{x+1}{\wurzel{2}})+C
[/mm]
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