Integral mit Hilfe von lim < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:42 Fr 04.11.2005 | | Autor: | Dea |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen I-net Seiten gestellt.
Hallo!
Ich soll eine Aufgabe bearbeiten und verstehe die Aufgabenstellung nicht genau:
"Seien [mm] b_{1}>b_{2}>...>b_{n} \in \IR, [/mm] n>1; [mm] \alpha_{m}>-1 [/mm] (m=1,...,n), [mm] \alpha_{1}+\alpha_{2}+...+\alpha_{n}<-1
[/mm]
f(z)= [mm] \produkt_{m=1}^{n}(z-b_{m})^{\alpha_{m}} [/mm] mit den HAuptwerten der Potenzen.
Der Cauchy-Integralsatz werde angewandt auf die von [mm] b_{1} [/mm] nach links längs der reellen Achse geschlitze Kreisscheibe [mm] |z|Max|b_{m}| [/mm] und der Grenzübergang [mm] r\to \infty [/mm] vollzogen."
Ich habe bereits herausgefunden, dass der lim über den Kreisrand gegen 0 strebt, nun soll man noch entlang des Schlitzes integrieren:
"Das Integral längs des Schlitzes ist von links nach rechts mit dem Granzwert des Integranden der oberen Halbebene zu erstrecken, von rechts nach links mit dem aus der unterem. Der Betrag des Integranden ist immer [mm] \produkt_{m=1}^{n}|z-b_{m}|^{\alpha_{m}} [/mm] , das Argument ist [mm] \pm\pi*i*\summe_{i=1}^{k}\alpha_{i} [/mm] für [mm] b_{k+1}
Also habe ich mal so angefangen, dass ich [mm] \lim_{r\rightarrow\infty}\integral_{-r}^{b_{1}}{f(z) dz}
[/mm]
aufgesplittet habe in
[mm] \summe_{k=1}^{n}\integral_{b_{k+1}}^{b_{k}}{f(z) dz}
[/mm]
wobei ich den Grenzübergang [mm] r\to \infty [/mm] gleich eingesetzt habe.
Nach der Augabenstellung soll ich nun wohl f(z) als Betrag*Amplitude schreiben. Der Betrag ist mir klar, aber wie komme ich auf die Amplitude? Ich kann mir überhaupt nicht erklären, woher diese [mm] \summe_{i=1}^{k}\alpha_{i} [/mm] kommen soll.
Ich sag schon mal vielen Dank für alle Tipps, die ihr mir geben könnt!
Gruß,
Dea
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Betrachte ein festes reelles [mm]z[/mm] mit
[mm]b_n < \ldots < b_{k+1} < z < b_k < \ldots < b_1[/mm]
Dann gilt:
[mm]z - b_{\nu} < 0[/mm] für [mm]\nu = 1, \ldots, k[/mm]
[mm]z - b_{\nu} > 0[/mm] für [mm]\nu = k+1, \ldots, n[/mm]
Man kann daher, wenn man aus der oberen Halbebene kommt, mit reellen [mm]s_{\nu} = \left| z - b_{\nu} \right|>0[/mm] schreiben:
[mm]z - b_{\nu} = s_{\nu} \operatorname{e}^{\operatorname{i} \pi}[/mm] für [mm]\nu = 1, \ldots, k[/mm]
[mm]z - b_{\nu} = s_{\nu}[/mm] für [mm]\nu = k+1, \ldots, n[/mm]
Dann ist
[mm]\left( z - b_{\nu} \right)^{\alpha_{\nu}} = s_{\nu}^{\alpha_{\nu}} \operatorname{e}^{\operatorname{i} \pi \alpha_{\nu}}[/mm] für [mm]\nu = 1, \ldots, k[/mm]
[mm]\left( z - b_{\nu} \right)^{\alpha_{\nu}} = s_{\nu}^{\alpha_{\nu}}[/mm] für [mm]\nu = k+1, \ldots, n[/mm]
Jetzt kann man das Argument berechnen:
[mm]f(z) = \prod_{\nu=1}^k~s_{\nu}^{\alpha_{\nu}} \operatorname{e}^{\operatorname{i} \pi \alpha_{\nu}} \, \cdot \, \prod_{\nu=k+1}^n~ s_{\nu}^{\alpha_{\nu}} = \left( \operatorname{e}^{\operatorname{i} \pi \sum_{\nu=1}^k~\alpha_{\nu}} \right) \, \prod_{\nu=1}^n~s_{\nu}^{\alpha_{\nu}}[/mm]
Es gilt also aus Richtung der oberen Halbebene (die imaginäre Einheit gehört übrigens beim Argument nicht mit dazu):
[mm]\arg(z) = \pi \sum_{\nu=1}^k~\alpha_{\nu}[/mm]
Und wenn man aus der unteren Halbebene kommt, ist in der ganzen Rechnung [mm]\pi[/mm] durch [mm]- \pi[/mm] zu ersetzen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:01 Fr 04.11.2005 | | Autor: | Dea |
Vielen Dank!
Ich bin nämlich an der Frage schon fast verzweifelt!
Liebe Grüße
Dea
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