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Integral mit Parameter: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:58 Mi 24.06.2009
Autor: eygen

Aufgabe
[mm] f_k(x) = kx^2 + 2 [/mm]
A= [mm]\bruch{16}{3}[/mm]
Bestimmen Sie k so, dass das Schaubild der Funktion [mm]f_k[/mm] mit der x-Achse eine Fläche vom Flächeninhalt A einschließt. Für welche k ist die Aufgabenstellung sinnvoll?  

[mm] f_k(x) = kx^2 + 2 [/mm]

Nullstellen:

[mm] kx^2 +2 = 0 [/mm]

[mm] x^2 = - \bruch{2}{k} [/mm]

[mm] x_1_2 = \pm \wurzel{-\bruch{2}{k}} [/mm]

Da unter der Wurzel ja keine negative Zahl herauskommen darf, muss k negativ sein, damit unter der Wurzel eine positive Zahl entsteht also gilt:

k<0

Nun zum Integral:

Zunächst die Stammfunktion:

[mm] F_k(x) = \bruch{k}{3} x^3 + 2x [/mm]

Somit erhalte ich:

[mm] A= \integral_{- \wurzel{-\bruch{2}{k}}}^{ \wurzel{-\bruch{2}{k}}} f_k(x)\, dx = [\bruch{k}{3} x^3 + 2x ]_a^b [/mm]

Nun habe ich folgende Rechnung gemacht und bin mir nicht sicher, ob diese richtig ist, bzw. ob ich einen Rechen- oder Denkfehler gemacht habe.


[mm] A= \left(\bruch{k}{3} \* \left(\wurzel{-\bruch{2}{k}}\right) ^3 + 2 \left(\wurzel{-\bruch{2}{k}}\right)\right) - \left(\bruch{k}{3}*\left( - \wurzel{-\bruch{2}{k}} \right) ^3 + 2 \left( - \wurzel{-\bruch{2}{k}}) \right)\right)[/mm]

=

[mm] \left(\bruch{k}{3} \ * \left( -\bruch{2}{k}\right) \left(\wurzel{-\bruch{2}{k}}\right) + 2 \wurzel{-\bruch{2}{k}}\right) - \left( \bruch{k}{3}* \left( -\bruch{2}{k} \right) \left(- \wurzel{-\bruch{2}{k}} \right) + 2 \left( - \wurzel{-\bruch{2}{k}}\right) \right)[/mm]

= [mm]\left( -\bruch{2}{3} \* \wurzel{-\bruch{2}{k}} + 2 \* \wurzel{-\bruch{2}{k}}\right) - \left( -\bruch{2}{3} \* \left( -\wurzel{-\bruch{2}{k}} \right) + 2 \*\left(- \wurzel{-\bruch{2}{k}} \right) \right) [/mm]

= [mm] -\bruch{2}{3} \* \wurzel{-\bruch{2}{k}} + 2 \* \wurzel{-\bruch{2}{k}} - \bruch{2}{3} \* \wurzel{-\bruch{2}{k}} - 2 \* \wurzel{-\bruch{2}{k}} \right) [/mm]

= [mm] \wurzel{-\bruch{2}{k}} \left(- \bruch{2}{3}- \bruch{2}{3}\right) [/mm]


=    [mm] -\bruch{4}{3} \* \wurzel{-\bruch{2}{k}} [/mm]
            
Also bei :

A= [mm]\bruch{16}{3} = -\bruch{4}{3} \* \wurzel{-\bruch{2}{k}}[/mm]

bekomme ich k = - [mm] \bruch{1}{8} [/mm]


Ich habe allerdings die Lösung k = -0,5 von meinem Lehrer bekommen,
und das ist das 4-fache meiner Lösung und bin nicht auf meinen Rechenfehler gekommen! Bitte um Hilfe! Vielen Dank.

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Integral mit Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:25 Mi 24.06.2009
Autor: M.Rex

Hallo und [willkommenmr]

> [mm]f_k(x) = kx^2 + 2[/mm]
>  A= [mm]\bruch{16}{3}[/mm]
>  Bestimmen Sie k so, dass das Schaubild der Funktion [mm]f_k[/mm]
> mit der x-Achse eine Fläche vom Flächeninhalt A
> einschließt. Für welche k ist die Aufgabenstellung
> sinnvoll?
> [mm]f_k(x) = kx^2 + 2[/mm]
>  
> Nullstellen:
>  
> [mm]kx^2 +2 = 0[/mm]
>
> [mm]x^2 = - \bruch{2}{k} [/mm]
>
> [mm]x_1_2 = \pm \wurzel{-\bruch{2}{k}}[/mm]
>
> Da unter der Wurzel ja keine negative Zahl herauskommen
> darf, muss k negativ sein, damit unter der Wurzel eine
> positive Zahl entsteht also gilt:
>
> k<0
>  
> Nun zum Integral:
>
> Zunächst die Stammfunktion:
>  
> [mm]F_k(x) = \bruch{k}{3} x^3 + 2x[/mm]
>  
> Somit erhalte ich:
>
> [mm]A= \integral_{- \wurzel{-\bruch{2}{k}}}^{ \wurzel{-\bruch{2}{k}}} f_k(x)\, dx = [\bruch{k}{3} x^3 + 2x ]_a^b[/mm]


Das sieht mal sehr gut aus.

>  
> Nun habe ich folgende Rechnung gemacht und bin mir nicht
> sicher, ob diese richtig ist, bzw. ob ich einen Rechen-
> oder Denkfehler gemacht habe.
>  
>
> [mm]A= \left(\bruch{k}{3} \* \left(\wurzel{-\bruch{2}{k}}\right) ^3 + 2 \left(\wurzel{-\bruch{2}{k}}\right)\right) - \left(\bruch{k}{3}*\left( - \wurzel{-\bruch{2}{k}} \right) ^3 + 2 \left( - \wurzel{-\bruch{2}{k}}) \right)\right)[/mm]

Das ist der korrekte Ansatz.

Ich fürchte aber, du hast beim Zusammenfassen nen Dreher drin:

Also:
[mm] \bruch{16}{3}=\green{\bruch{k}{3}*\left(\wurzel{-\bruch{2}{k}}\right)^{3}+2\left(\wurzel{-\bruch{2}{k}}\right)}-\blue{\left(\bruch{k}{3}*\left(-\wurzel{-\bruch{2}{k}}\right)^{3}+2\left(- \wurzel{-\bruch{2}{k}})\right)\right)} [/mm]
[mm] \gdw \bruch{16}{3}=\green{\bruch{k}{3}*\left(-\bruch{2}{k}\right)*\wurzel{-\bruch{2}{k}}+2\left(\wurzel{-\bruch{2}{k}}\right)}-\blue{\left(\bruch{k}{3}*\left(-\bruch{2}{k}\right)*\left(-\wurzel{-\bruch{2}{k}}\right)+2\left(- \wurzel{-\bruch{2}{k}})\right)\right)} [/mm]
[mm] \gdw \bruch{16}{3}=\green{\left(-\bruch{2}{3}+2\right)*\wurzel{-\bruch{2}{k}}}-\blue{\left(\left(-\bruch{2}{3}+2\right)*\left(-\wurzel{-\bruch{2}{k}}\right)\right)} [/mm]
[mm] \gdw \bruch{16}{3}=\green{\bruch{4}{3}\wurzel{-\bruch{2}{k}}}-\blue{-\left(\bruch{4}{3}\wurzel{-\bruch{2}{k}}\right)} [/mm]
[mm] \gdw \bruch{16}{3}=\bruch{8}{3}*\wurzel{-\bruch{2}{k}} [/mm]
[mm] \gdw 2=\wurzel{-\bruch{2}{k}} [/mm]

Und damit komme ich dann auf k=-0,5

Marius

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