Integral mit Polarkoordinaten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:45 So 15.01.2012 | | Autor: | WWatson |
| Aufgabe | Berechnen Sie für R > 0 das Integral über [mm] K_{R} [/mm] = {(x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] : [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} \le R^{2}} [/mm] :
[mm] \integral_{K_{R(0)}}^{}{e^{-x^{2} + y^{2}}}
[/mm]
und berechnen Sie den Grenzwert für R [mm] \to \infty. [/mm]
Hinweis: Nutzen Sie Polarkoordinaten. |
Hallo zusammen,
ich weiß bei obiger Aufgabe leider nicht wirklich, wie ich am besten ansetzen kann. Mit dem Tipp kann ich auch nicht wirklich etwas anfangen, muss ich sagen.
Ich habe eigentlich gedacht, ich könnte das mit dem Satz von Fubini berechnen, aber dazu fehlen mir einige Angaben zu den Grenzen.
Kann mir vielleicht jemand helfen?
Gruß,
WWatson
|
|
| |
|
Hallo WWatson,
> Berechnen Sie für R > 0 das Integral über [mm]K_{R}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {(x,y)
> [mm]\in \IR^{2}[/mm] : [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2} \le R^{2}}[/mm] :
>
> [mm]\integral_{K_{R(0)}}^{}{e^{-x^{2} + y^{2}}}[/mm]
>
Das soll doch bestimmt so lauten:
[mm]\integral_{K_{R(0)}}^{}{e^{-\left\blue{(}x^{2} + y^{2}\right\blue{)}}}[/mm]
> und berechnen Sie den Grenzwert für R [mm]\to \infty.[/mm]
>
> Hinweis: Nutzen Sie Polarkoordinaten.
> Hallo zusammen,
>
> ich weiß bei obiger Aufgabe leider nicht wirklich, wie ich
> am besten ansetzen kann. Mit dem Tipp kann ich auch nicht
> wirklich etwas anfangen, muss ich sagen.
> Ich habe eigentlich gedacht, ich könnte das mit dem Satz
> von Fubini berechnen, aber dazu fehlen mir einige Angaben
> zu den Grenzen.
> Kann mir vielleicht jemand helfen?
>
Obiges Integral lautet ausgeschrieben:
[mm]\integral_{K_{R(0)}}^{}{e^{-\left(x^{2} + y^{2}\right)}}=\integral_{-R}^{+R}{\integral_{-\wurzel{R^{2}-x^{2}}}^{+\wurzel{R^{2}-x^{2}}}{e^{-\left(x^{2} + y^{2}\right)} \ dy} \ dx}[/mm]
> Gruß,
>
> WWatson
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:06 Mo 16.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Mit Polarkoordinaten [mm] $x=rcos(\phi), [/mm] y=r [mm] sin(\phi):$ [/mm] und der Transformationsregel:
$ [mm] \integral_{K_{R(0)}}^{}{e^{-(x^{2} + y^{2})} d(x,y)} =\integral_{0}^{2 \pi}{(\integral_{0}^{R}{e^{-r^2}*r dr}) d \phi}$
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Mo 16.01.2012 | | Autor: | WWatson |
OK, vielen Dank für Eure Antworten. Ich habe das Integral jetzt berechnet und komme als Ergebnis auf:
- [mm] \pi*e^{- \wurzel{R}} [/mm] - [mm] \pi [/mm] und somit für R [mm] \to \infty [/mm] auf - [mm] \pi
[/mm]
Ich habe aber noch nicht ganz verstanden, wie ich bei der Transformation auf die von Dir, fred, genannten Grenzen komme.
Kannst Du mir das vielleicht nochmal kurz erklären?
Gruß,
WWatson
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 Mo 16.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da solltest du selbst drauf kommen!
a)formal indem du die Grenzen für x,y verwadelst
b) anschaulich: du willst ja die ganze Kreisscheibe durchlaufen
2.dein Integral kann ja nicht negativ werden, da du über eine überall positive Funktion integrierst. also ist dein vorzeichen falsch!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:12 Mo 16.01.2012 | | Autor: | WWatson |
Ah, richtig, also heißt das anschaulich ja einfach, dass ich mit 0 bis 2 [mm] \pi [/mm] einmal über den kompletten Kreis integriere und das eben über alle Radien von 0 bis R. OK.
Den Vorzeichenfehler in meiner Rechnung habe ich auch ausgemacht. Grenzwert ist dann [mm] \pi [/mm] für R [mm] \to \infty.
[/mm]
Vielen Dank!
Gruß,
WWatson
|
|
|
|
