Integral mit Stokes lösen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \partial [/mm] G={ x,y,z | x = cos t, y = sin t, z = cos t; 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le 2\pi} [/mm] Löse das Integral mit dem Satz von Stokes.
[mm] \integral_{\partial G}^{}{yz^2 dx + (xz^2-2y) dy + 2xyz dz} [/mm] |
Kann mir mitte jemand helfen? Den Satz von Stokes kenn ich weiß aber nicht wie ich das jetzt genau anwende. [mm] \integral_{}^{}\integral_{G}^{}{rot (F) dG} [/mm] = [mm] \integral_{\partial G}^{}{F ds}
[/mm]
für die rotation komme ich auf [mm] \pmat{ 2x(z-2y) \\ 2y(y-z) \\ 0 } [/mm] , keine Ahnung wie ich den Normalvektor ausrechne und keine Ahnung welche Grenzen ?????
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Beachte, daß für [mm]F = F(x,y,z) = xyz^2 - y^2[/mm] gerade [mm]\mathrm{d}F = yz^2 \, \mathrm{d}x \ + \ \left( xz^2 - 2y \right) \, \mathrm{d}y \ + \ 2xyz \, \mathrm{d}z[/mm] gilt.
Die Bezeichnung [mm]\partial{G}[/mm] finde ich etwas merkwürdig. Welches Gebiet soll denn diese Kurve im [mm]\mathbb{R}^3[/mm] beranden? Wäre es nicht sinnvoller, die Kurve selbst z.B. [mm]K[/mm] zu nennen. Dann gilt nach Stokes
[mm]\int_{K}~\mathrm{d}F = \int_{\partial{K}}~F[/mm]
Der Ausdruck rechts ist definiert als [mm]F(\text{Endpunkt}) - F(\text{Anfangspunkt})[/mm]. Und da die Kurve geschlossen ist, ist der Integralwert somit 0.
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Auf 0 hätte ich auch selber kommen können hmmm... hätte es mir überlegen müssen nachdem die grenzen von t zwischen 0 und [mm] 2\pi [/mm] sind.
Aber mich würde es noch interessieren wie das ganze aussehen würde wenn die grenzen jetzt zb. zwischen 0 und [mm] \pi/2 [/mm] liegen würden?
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[mm]\text{Anfangspunkt} = (1,0,1)[/mm] (für [mm]t=0[/mm])
[mm]\text{Endpunkt} = (0,1,0)[/mm] (für [mm]t = \frac{\pi}{2}[/mm])
Daher gilt
[mm]\int_{K}~\mathrm{d}F \ = \int_{\partial{K}}~F \ = \ F(0,1,0) - F(1,0,1) = -1 - 0 = -1[/mm]
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