Integral mit cos und Sin < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:24 Fr 05.02.2010 | | Autor: | Nickles |
Hallo,
gegeben ist mir ein Integral mit $ [mm] \int_{0}^{\pi} (x+x*\sin [/mm] (x) - x* [mm] \cos (2x))\mathrm [/mm] dx $
Wie integriere ich das den nun am geschicktesten?
Mit partieller Integration nicht oder? Hab damit angefangen , aber nachdem sich in meiner Rechnung (kann gut sein das ich mich verrechnet hab) die Potenzen einfach immer weiter erhöht haben, hab ich das abgebrochen.
Mit geht noch Integration durch Substitution durch denk Kopf..weiß jetzt aber auch nicht wie ich das am besten hier anwenden würde.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:38 Fr 05.02.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Also hier ein Beispiel mit dem x*sin(x) - wahrscheinlich hast du immer x integriert (also x als eine Funktion f(x)' gesehen beim Ansatz der Paritellen Inegration), man kann aber auch den sin(x) integrieren...:
[mm] \integral_{}^{}{x*sin(x) dx} [/mm]
= x*-cos(x) - [mm] \integral_{}^{}{1*-cos(x) dx}
[/mm]
= -x*cos(x) + sin(x)
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> Hallo,
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> gegeben ist mir ein Integral mit [mm]\int_{0}^{\pi} (x+x*\sin (x) - x* \cos (2x))\mathrm dx[/mm]
>
> Wie integriere ich das den nun am geschicktesten?
> Mit partieller Integration nicht oder? Hab damit
> angefangen , aber nachdem sich in meiner Rechnung (kann gut
> sein das ich mich verrechnet hab) die Potenzen einfach
> immer weiter erhöht haben, hab ich das abgebrochen.
> Mit geht noch Integration durch Substitution durch denk
> Kopf..weiß jetzt aber auch nicht wie ich das am besten
> hier anwenden würde.
>
> Gruß
1.) x aus dem gesamten Integranden ausklammern
2.) partielle Integration (den Faktor x ableiten, den
Klammerausdruck integrieren)
LG
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:31 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Nickles |
>
> 1.) x aus dem gesamten Integranden ausklammern
> 2.) partielle Integration (den Faktor x ableiten, den
> Klammerausdruck integrieren)
>
> LG
>
Werd ich gleich mal ausprobieren, hab das jetzt erstmal ausführlich gemacht über
$ [mm] \int_{0}^{\pi} [/mm] x [mm] \mathrm [/mm] dx + [mm] \int_{0}^{\pi} [/mm] x * [mm] \sin [/mm] (x) [mm] \mathrm [/mm] dx - [mm] \int_{0}^{\pi} [/mm] x* [mm] \cos [/mm] (2x) [mm] \mathrm [/mm] dx $ Ich kann doch das Integral wenn es innendrin ne Summe ist auseinanderziehen oder?
$ [mm] \rightarrow [/mm] $ hab nämlich leider ein falsches ergebnis herausbekommen
$ [mm] \bruch{1}{2} {\pi}^2 [/mm] + [mm] \pi [/mm] $
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:46 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Nickles |
Hab grad gemerkt das mein Ergebnis doch richtig ist -.-
Gruß
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OK ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Nickles |
Hallo
habe zur gleichen Aufgabe noch ein Integral das diesmal so ausschaut
[mm] $\int_{0}^{\pi} {\sin}^2 [/mm] (x) [mm] \mathrm [/mm] dx - [mm] \int_{0}^{\pi} {\cos}^2 [/mm] (2x) [mm] \mathrm [/mm] dx $
$ [mm] \rightarrow [/mm] $ das Problem liegt ja hier bei der potenz ... beim Ableiten käme ja hier die Kettenregel zum Einsatz, aber wie mach ichs hier?
Grüße
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Hallo,
für den ersten Summanden gehe wie folgt vor:
Ersetze [mm] sin^2 [/mm] durch [mm] 1-cos^2. [/mm] Und [mm] cos^2 [/mm] kannst du dann partiell integrieren, dann kommst du wieder auf [mm] sin^2, [/mm] sodass du danach umstellen kannst.
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Nickles |
> Hallo,
>
> für den ersten Summanden gehe wie folgt vor:
>
> Ersetze [mm]sin^2[/mm] durch [mm]1-cos^2.[/mm] Und [mm]cos^2[/mm] kannst du dann
> partiell integrieren, dann kommst du wieder auf [mm]sin^2,[/mm]
Du meinst so ?
$ [mm] \int_{0}^{\pi} {\sin}^2 [/mm] (x) [mm] \mathrm [/mm] dx = [mm] \left [ x- {\cos}^2 (x) {\right ]}_{0}^{\pi} -\int_{0}^{\pi} [/mm] 2x * [mm] {\sin}^2 [/mm] (x) $
> sodass du danach umstellen kannst.
Wie meinst du Umstellen?
Komplette Aufgabe
[mm] $y_s [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2*A} [/mm] *4 + [mm] \int_{0}^{\pi} {\sin}^2 [/mm] (x) [mm] \mathrm [/mm] dx - [mm] \int_{0}^{\pi} {\cos}^2 [/mm] (2x) [mm] \mathrm [/mm] dx $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:34 Sa 06.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
bestimmte Integrale muss man nicht immer mit ner Stammfkt ausrechnen!
wegen sin^2x+cos^2x=1 und
[mm] \integral_{0}^{\pi}{sin^2(x) dx}=\integral_{0}^{\pi}{cos^2(x) dx}
[/mm]
Hast du [mm] 2*\integral_{0}^{\pi}{sin^2(x) dx}=\integral_{0}^{\pi}{1* dx}
[/mm]
entsprechend das 2 te integral.
oder man verwendet [mm] sin^2(x)=1/2*(1-cos(2x)
[/mm]
Es ist oft so, dass bestimmte Integrale durch einfache Überlegungen mit wenig Rechnung, auf jeden Fall ohne Stammfkt auskommen.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Nickles |
> Hallo
> bestimmte Integrale muss man nicht immer mit ner Stammfkt
> ausrechnen!
> wegen sin^2x+cos^2x=1 und
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{sin^2(x) dx}=\integral_{0}^{\pi}{cos^2(x) dx}[/mm]
>
> Hast du [mm]2*\integral_{0}^{\pi}{sin^2(x) dx}=\integral_{0}^{\pi}{1* dx}[/mm]
>
> entsprechend das 2 te integral.
Ich hab damit das 2te Integral? [mm] $\int_{0}^{\pi} cos^2 [/mm] (2x) [mm] \mathrm [/mm] dx = [mm] \int_{0}^{\pi} [/mm] 1 [mm] \mathrm [/mm] dx $?
> oder man verwendet [mm]sin^2(x)=1/2*(1-cos(2x)[/mm]
$ [mm] \int_{0}^{\pi} sin^2 [/mm] (x) [mm] \mathrm [/mm] dx = [mm] \int_{0}^{\pi} \bruch{1}{2} [/mm] * (1 - cos(2x) ) [mm] \mathrm [/mm] dx = [mm] \bruch{1}{2} *\pi [/mm] - [mm] \left [ \bruch{1}{4} sin (2x) {\right [/mm] ] [mm] }_{0}^{\pi}$ [/mm] ?
> Es ist oft so, dass bestimmte Integrale durch einfache
> Überlegungen mit wenig Rechnung, auf jeden Fall ohne
> Stammfkt auskommen.
> gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Gauss |
Hallo,
> > Hallo
> > bestimmte Integrale muss man nicht immer mit ner
> Stammfkt
> > ausrechnen!
> > wegen sin^2x+cos^2x=1 und
> > [mm]\integral_{0}^{\pi}{sin^2(x) dx}=\integral_{0}^{\pi}{cos^2(x) dx}[/mm]
>
> >
> > Hast du [mm]2*\integral_{0}^{\pi}{sin^2(x) dx}=\integral_{0}^{\pi}{1* dx}[/mm]
>
> >
> > entsprechend das 2 te integral.
>
> Ich hab damit das 2te Integral? [mm]\int_{0}^{\pi} cos^2 (2x) \mathrm dx = \int_{0}^{\pi} 1 \mathrm dx [/mm]?
[mm] 2*\integral_{0}^{\pi}{cos^2 (2x) dx}=\integral_{0}^{\pi}{cos^2 (2x) dx}+\integral_{0}^{\pi}{sin^2 (2x) dx}=\integral_{0}^{\pi}{1 dx}=\pi.
[/mm]
Deshalb:
[mm] \integral_{0}^{\pi}{cos^2 (2x) dx}=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
>
> > oder man verwendet [mm]sin^2(x)=1/2*(1-cos(2x)[/mm]
>
> [mm]\int_{0}^{\pi} sin^2 (x) \mathrm dx = \int_{0}^{\pi} \bruch{1}{2} * (1 - cos(2x) ) \mathrm dx = \bruch{1}{2} *\pi - \left [ \bruch{1}{4} sin (2x) {\right ] }_{0}^{\pi}[/mm]
> ?
>
> > Es ist oft so, dass bestimmte Integrale durch einfache
> > Überlegungen mit wenig Rechnung, auf jeden Fall ohne
> > Stammfkt auskommen.
> > gruss leduart
>
Gruß, Gauss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Nickles |
> [mm]2*\integral_{0}^{\pi}{cos^2 (2x) dx}=\integral_{0}^{\pi}{cos^2 (2x) dx}+\integral_{0}^{\pi}{sin^2 (2x) dx}=\integral_{0}^{\pi}{1 dx}=\pi.[/mm]
>
> Deshalb:
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{cos^2 (2x) dx}=\bruch{\pi}{2}[/mm]
ok danke! ließe sich das auch durch $ [mm] cos^2(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * (1+ cos (2x) ) [mm] \text{ dann mit Substitution z = 2x } \rightarrow cos^2(z) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * (1+ cos (2z) ) [mm] \text{ dann wieder 2x für z eingesetzt } [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * (1+ cos (4x) ) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * cos(4x) $
Lösen? Ich meine, klar es kommt als ergebnis auch $ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \pi [/mm] $ heraus, aber das sagt ja noch nichts..
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Sa 06.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja so gehts auch, aber um cos(2x) zu integrieren sollte man eigentlich nicht substituieren müssen!
du weisst, es muss a*sin(2x) rauskommen, wenn du das ableitest kommt 2a*cos(2x) raus also ist a=1/2
sowas sollte man sehen! aber dein Weg geht natürlich auch.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Nickles |
Klar in so nem Fall schon, nur ist es ja hier nicht einfach nur $ [mm] cos^2 [/mm] (x) $ sondern $ [mm] cos^2 [/mm] (2x) $ weshalb ich halt dachte, das wenn ich die Formel [mm] $cos^2(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \cdot{} [/mm] (1+ cos (2x) ) $ benutze ich eben substituieren muss, da diese Formel ja von einem "puren" [mm] $cos^2(x)$ [/mm] ausgeht.
Hab auch rausbekommen [mm] $\bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \cdot{} [/mm] cos(4x) $ nach Integration bei mir dann $ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] x + [mm] \bruch{1}{8} [/mm] *sin(4x)$
Doch falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Sa 06.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
natürlich gilt die Formel für alle z, ich hatte zu flüchtig gelesen und dachte du willst im Integral subst.
aber das ist ja keine Substitution sondern einfach einsetzen in ne Formel, die für jeden winkel gilt.
gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 Sa 06.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo
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> habe zur gleichen Aufgabe noch ein Integral das diesmal so
> ausschaut
>
> [mm]\int_{0}^{\pi} {\sin}^2 (x) \mathrm dx - \int_{0}^{\pi} {\cos}^2 (2x) \mathrm dx[/mm]
>
> [mm]\rightarrow[/mm] das Problem liegt ja hier bei der potenz ...
> beim Ableiten käme ja hier die Kettenregel zum Einsatz,
> aber wie mach ichs hier?
Hallo,
mit Kenntnis einiger wichtiger Additionstheoreme wird die Aufgabe richtig trivial.
Es gilt [mm] cos(2x)=cos^2 x-sin^2 [/mm] x.
Damit musst du nur (-cos(2x)) integrieren, was mit einer Substitution z=2x funktionieren sollte.
Aber auch dies ist gar nicht erforderlich, weil cos(2x) die kleinste Periode [mm] \pi [/mm] besitzt.
Du intergrierst von 0 bis [mm] \pi, [/mm] und in einer vollen Periode sind die Flächeninhalte ober- und unterhalb der x-Achse betragsmäßig gleich groß.
Das Ergebnis ist somit Null.
Gruß Abakus
>
> Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Nickles |
> Hallo,
> mit Kenntnis einiger wichtiger Additionstheoreme wird die
> Aufgabe richtig trivial.
> Es gilt [mm]cos(2x)=cos^2 x-sin^2[/mm] x.
Ist es egal das ich statt $ [mm] \cos [/mm] (2x)\ , [mm] \text{ hier } \cos^2 [/mm] (2x) $ vorliegen habe?
> Damit musst du nur (-cos(2x)) integrieren, was mit einer
> Substitution z=2x funktionieren sollte.
> Aber auch dies ist gar nicht erforderlich, weil cos(2x)
> die kleinste Periode [mm]\pi[/mm] besitzt.
> Du intergrierst von 0 bis [mm]\pi,[/mm] und in einer vollen Periode
> sind die Flächeninhalte ober- und unterhalb der x-Achse
> betragsmäßig gleich groß.
> Das Ergebnis ist somit Null.
> Gruß Abakus
> >
> > Grüße
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Sa 06.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hatte im anderen post die Formel schon weiter geschrieben. das war für das erste Integral gemeint.
die formel um [mm] cos^2 [/mm] in cos umzuwandeln versuch mal selbst.
Gruss leduart
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> Hallo
>
> habe zur gleichen Aufgabe noch ein Integral das diesmal so
> ausschaut
>
> [mm]\int_{0}^{\pi} {\sin}^2 (x) \mathrm dx - \int_{0}^{\pi} {\cos}^2 (2x) \mathrm dx[/mm]
>
> [mm]\rightarrow[/mm] das Problem liegt ja hier bei der potenz ...
> beim Ableiten käme ja hier die Kettenregel zum Einsatz,
> aber wie mach ichs hier?
>
> Grüße
Hallo Nickles,
diese speziellen Integrale könnte man auch durch
eine grafische Betrachtung ermitteln. Die Graphen
von [mm] sin^2(x) [/mm] und [mm] cos^2(2\,x) [/mm] gehen aus dem von $\ sin(x)$ durch
affine Transformationen (axiale Streckungen bzw.
Stauchungen und Verschiebungen in x- und y-Richtung
hervor. Mit wenigen Überlegungen erhält man etwa
die Nullstellen, die Hoch- und Tiefpunkte der Kurven
und kann dann die Werte der Integrale mit Rechtecks-
flächen vergleichen.
LG Al-Chw.
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