Integral mit exp-fkt. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Unter Berücksichtiung eines Integrals entlang des Rechtecks [mm] [-R,R]X[0,2\pi] [/mm] soll ich dieses Integral berechnen [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx} [/mm] |
Hi, also jetzt ist ja erstmal die erste Frage, welches Integral die dort haben wollen, was man entlang [mm] [-R,R]X[0,2\pi] [/mm] benutzen kann???
Kann mir vielleicht erst jemand damit helfen, dann schauen wir weiter?? Es wird ja wohl nicht die Fkt. [mm] e^{iz^2} [/mm] gemeint sein, oder??
Danke für hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 Mi 20.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Unter Berücksichtiung eines Integrals entlang des Rechtecks
> [mm][-R,R]X[0,2\pi][/mm] soll ich dieses Integral berechnen
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx}[/mm]
>
> Hi, also jetzt ist ja erstmal die erste Frage, welches
> Integral die dort haben wollen, was man entlang
> [mm][-R,R]X[0,2\pi][/mm] benutzen kann???
>
> Kann mir vielleicht erst jemand damit helfen, dann schauen
> wir weiter?? Es wird ja wohl nicht die Fkt. [mm]e^{iz^2}[/mm]
> gemeint sein, oder??
Sei $Q =[-R,R] [mm] \times [0,2\pi]$ [/mm] . Berechne zunächst
[mm] \integral_{\partial Q}^{}{\bruch{e^{z/2}}{1+e^z} dz}
[/mm]
mit dem Residuensatz. Der Integrand hat ein singularität in $i [mm] \pi$
[/mm]
FRED
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> Danke für hilfe.
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Hi, danke erstmal.
Das hatte ich mir schon gedacht, aber genau die Anwendung macht mir noch große Probleme. Wir haben ja:
[mm] f(x)=\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} =\bruch{g(x)}{h(x)} [/mm] mit [mm] g(b)\not=0, [/mm] sowie [mm] h'(b)\not=0 [/mm] aber h(b)=0. Dann hat f(x) einen Pol erster Ordnung und es gilt [mm] res(f,b)=\bruch{g(b)}{h'(b)}. [/mm] Es ist also [mm] h(z)=1+e^x [/mm] mit den Nullstellen B:= [mm] \{(2k+1)i\pi| k\in \IZ \}.
[/mm]
So, jetzt weiß ich aber nicht, wie ich das ganze auf
> Sei $ Q =[-R,R] [mm] \times [0,2\pi] [/mm] $ . Berechne zunächst
> $ [mm] \integral_{\partial Q}^{}{\bruch{e^{z/2}}{1+e^z} dz} [/mm] $
> mit dem Residuensatz.
anwende.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Mi 20.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hi, danke erstmal.
>
> Das hatte ich mir schon gedacht, aber genau die Anwendung
> macht mir noch große Probleme. Wir haben ja:
>
> [mm]f(x)=\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} =\bruch{g(x)}{h(x)}[/mm] mit
> [mm]g(b)\not=0,[/mm] sowie [mm]h'(b)\not=0[/mm] aber h(b)=0. Dann hat f(x)
> einen Pol erster Ordnung und es gilt
> [mm]res(f,b)=\bruch{g(b)}{h'(b)}.[/mm] Es ist also [mm]h(z)=1+e^x[/mm] mit
> den Nullstellen B:= [mm]\{(2k+1)i\pi| k\in \IZ \}.[/mm]
>
> So, jetzt weiß ich aber nicht, wie ich das ganze auf
>
>
> > Sei [mm]Q =[-R,R] \times [0,2\pi][/mm] . Berechne zunächst
>
> > [mm]\integral_{\partial Q}^{}{\bruch{e^{z/2}}{1+e^z} dz}[/mm]
>
> > mit dem Residuensatz.
>
> anwende.
Nach dem Residuensatz ist
[mm]\integral_{\partial Q}^{}{\bruch{e^{z/2}}{1+e^z} dz}= 2 \pi i *res(f, i \pi)[/mm]
FRED
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> Nach dem Residuensatz ist
> $ [mm] \integral_{\partial Q}^{}{\bruch{e^{z/2}}{1+e^z} dz}= [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] \cdot{}res(f, [/mm] i [mm] \pi) [/mm] $
hmmm, komme aber trotzdem nicht auf das ergebnis [mm] \integral_{\partial Q}^{}{\bruch{e^{z/2}}{1+e^z} dz}=\bruch{\pi}{sin(\pi/2)}, [/mm] weil ich wahrscheinlich, wie schon gesagt, mit em Res was falsch mache:
[mm] res(f,i\pi)=\limes_{z\rightarrow i\pi}(1+e^z)*f(z)=\limes_{x\rightarrow i\pi}\bruch{(1+e^z)(e^{z/2})}{1+e^z}=\limes_{x\rightarrow i\pi}e^{z/2}=e^{i\pi/2}=cos(\pi/2)+i*sin(\pi/2)=0+isin(\pi/2)
[/mm]
[mm] d.h.\integral_{\partial Q}^{}{\bruch{e^{z/2}}{1+e^z} dz}= [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] \cdot{}res(f, [/mm] i [mm] \pi)=2 \pi i*i*sin(\pi/2)\not=\bruch{\pi}{sin(\pi/2)}
[/mm]
wo steckt der fehler??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Mi 20.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Nach dem Residuensatz ist
>
> > [mm]\integral_{\partial Q}^{}{\bruch{e^{z/2}}{1+e^z} dz}= 2 \pi i \cdot{}res(f, i \pi)[/mm]
>
>
> hmmm, komme aber trotzdem nicht auf das ergebnis
> [mm]\integral_{\partial Q}^{}{\bruch{e^{z/2}}{1+e^z} dz}=\bruch{\pi}{sin(\pi/2)},[/mm]
> weil ich wahrscheinlich, wie schon gesagt, mit em Res was
> falsch mache:
>
> [mm]res(f,i\pi)=\limes_{z\rightarrow i\pi}(1+e^z)*f(z)=\limes_{x\rightarrow i\pi}\bruch{(1+e^z)(e^{z/2})}{1+e^z}=\limes_{x\rightarrow i\pi}e^{z/2}=e^{i\pi/2}=cos(\pi/2)+i*sin(\pi/2)=0+isin(\pi/2)[/mm]
>
> [mm]d.h.\integral_{\partial Q}^{}{\bruch{e^{z/2}}{1+e^z} dz}=[/mm] 2
> [mm]\pi[/mm] i [mm]\cdot{}res(f,[/mm] i [mm]\pi)=2 \pi i*i*sin(\pi/2)\not=\bruch{\pi}{sin(\pi/2)}[/mm]
>
> wo steckt der fehler??
Hier:
$ [mm] res(f,i\pi)=\limes_{z\rightarrow i\pi}(1+e^z)\cdot{}f(z) [/mm] $
Wie Du darauf kommst, weiß ich nicht. Bei mir ist $ [mm] res(f,i\pi)= [/mm] -i$
Nebenbei: [mm] $sin(\pi/2) [/mm] = 1$
FRED
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Hi nochmal,
aber ist der Anfang auch schon falsch, also: [mm] res(f,i\pi)=\limes_{z\rightarrow i\pi}(1+e^z)\cdot{}f(z) [/mm] oder die Rechnung, die später folgt [mm] (res(f,i\pi)=\limes_{z\rightarrow i\pi}(1+e^z)\cdot{}f(z)=\limes_{x\rightarrow i\pi}\bruch{(1+e^z)(e^{z/2})}{1+e^z}=\limes_{x\rightarrow i\pi}e^{z/2}=e^{i\pi/2}=cos(\pi/2)+i\cdot{}sin(\pi/2)=0+isin(\pi/2))? [/mm] Wenn der Anfang falsch ist, wie fängt man denn sonst an?????
So, und wenn du $ [mm] res(f,i\pi)= [/mm] -i $ herausbekommst, dann kommt man ja auf:
[mm] \integral_{\partial Q}^{}{\bruch{e^{z/2}}{1+e^z} dz}= [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] \cdot{}res(f, [/mm] i [mm] \pi)=2 \pi [/mm] i [mm] \cdot{}-i=2\pi, [/mm] das stimmt aber ja irgendwie mit der Lösung auch nicht überein, die ja [mm] \bruch{\pi}{sin(\pi/2)}=\pi [/mm] sein soll??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Mi 20.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hi nochmal,
>
> aber ist der Anfang auch schon falsch, also:
> [mm]res(f,i\pi)=\limes_{z\rightarrow i\pi}(1+e^z)\cdot{}f(z)[/mm]
> oder die Rechnung, die später folgt
> [mm](res(f,i\pi)=\limes_{z\rightarrow i\pi}(1+e^z)\cdot{}f(z)=\limes_{x\rightarrow i\pi}\bruch{(1+e^z)(e^{z/2})}{1+e^z}=\limes_{x\rightarrow i\pi}e^{z/2}=e^{i\pi/2}=cos(\pi/2)+i\cdot{}sin(\pi/2)=0+isin(\pi/2))?[/mm]
> Wenn der Anfang falsch ist,
Der ist falsch. Machs doch so:$ [mm] res(f,b)=\bruch{g(b)}{h'(b)}. [/mm] $
> wie fängt man denn sonst
> an?????
>
> So, und wenn du [mm]res(f,i\pi)= -i[/mm] herausbekommst, dann kommt
> man ja auf:
>
> [mm]\integral_{\partial Q}^{}{\bruch{e^{z/2}}{1+e^z} dz}=[/mm] 2 [mm]\pi[/mm]
> i [mm]\cdot{}res(f,[/mm] i [mm]\pi)=2 \pi[/mm] i [mm]\cdot{}-i=2\pi,[/mm] das stimmt
> aber ja irgendwie mit der Lösung auch nicht überein, die ja
> [mm]\bruch{\pi}{sin(\pi/2)}=\pi[/mm] sein soll??
Mit der Berechnung von
[mm]\integral_{\partial Q}^{}{\bruch{e^{z/2}}{1+e^z} dz}[/mm]
ist doch Deine Aufgabe noch nicht gelöst !!!!!
FRED
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Hi nochmal.
Achso, dachte mit [mm] \integral_{\partial Q}^{}{\bruch{e^{z/2}}{1+e^z} dz}= [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] \cdot{}res(f, [/mm] i [mm] \pi) =2\pi [/mm] hat man schon das ergebnis.
Was muss man denn jetzt noch machen??? habe gerade nochmal nachgeschaut, jetzt fehlt ja noch die Umlaufzahl, weiß aber nicht, wie man die bestimmt. kann mir vielleicht jemand dabei nochmal helfen, wäre echt super nett.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 Mi 20.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Achso, dachte mit [mm]\integral_{\partial Q}^{}{\bruch{e^{z/2}}{1+e^z} dz}=[/mm]
> 2 [mm]\pi[/mm] i [mm]\cdot{}res(f,[/mm] i [mm]\pi) =2\pi[/mm] hat man schon das
> ergebnis.
Nein, so geht das meist nie ohne weitere Argumentation ...
> Was muss man denn jetzt noch machen???
Teile das Integral in die Kanten auf! Also [m]\int_{\del Q}=\int_{[-R,R]\times \{0\} } + \int_{[-R,R]\times \{2\pi i\} } + \int_{\{-R\}\times[0*i,2\pi i] }+ \int_{\{R\}\times[0*i,2\pi i] [/m]. Die ersten beide Integrale sind gleich, die letzten beiden gehen gegen 0 für [m]R\to\infty[/m]. Das musst du noch zeigen?
> habe gerade nochmal
> nachgeschaut, jetzt fehlt ja noch die Umlaufzahl, weiß aber
> nicht, wie man die bestimmt. kann mir vielleicht jemand
> dabei nochmal helfen, wäre echt super nett.
Umlaufzahl? Bitte wo willst du die reinbringen? Das haben wir schon hinter uns - durch Angabe des Quaders, also des Integrationswegs.
SEcki
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi, das versteh ich gerade nicht so richtig, wie das gehen soll:
> $ \int_{\del Q}=\int_{[-R,R]\times \{0\} } + \int_{[-R,R]\times \{2\pi i\} } + \int_{\{-R\}\times[0\cdot{}i,2\pi i] }+ \int_{\{R\}\times[0\cdot{}i,2\pi i] $.
Wenn ich das so mache, dann hätte ich doch das Residum gar nicht berechnen müssen???
Weil wir haben doch die Residuenformel: \integral_{C}^{}{f(z) dz}=2i\pi\summe_{j=1}^{k}X(C;z_j)Res_{z=z_j}f
So, ich dachte jetzt, dass für unsere Rechnung nur noch \summe_{j=1}^{k}X(C;z_j)=Umlaufzahl fehlt, da wir ja 2i\pi Res_{z=z_j}f=2\pi schon berechnet haben????
Wie ich die Integrale oben berechen muss, dass wüsste ich jetzt ehrlich gesagt auch gar nicht.
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:05 Do 21.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> > [mm]\int_{\del Q}=\int_{[-R,R]\times \{0\} } + \int_{[-R,R]\times \{2\pi i\} } + \int_{\{-R\}\times[0\cdot{}i,2\pi i] }+ \int_{\{R\}\times[0\cdot{}i,2\pi i] [/mm].
>
> Wenn ich das so mache, dann hätte ich doch das Residum gar
> nicht berechnen müssen???
Doch, hast du überhaupt gelesen, was ich danach geschrieben habe?! Du kennst den Wert der Summe der Integrale wegen Residuensatz. Dann musst du noch die Identitäten und Abschätzungen machen und R gehen unendlich gehen lassen.
> So, ich dachte jetzt, dass für unsere Rechnung nur noch
> [mm]\summe_{j=1}^{k}X(C;z_j)=Umlaufzahl[/mm] fehlt, da wir ja [mm]2i\pi Res_{z=z_j}f=2\pi[/mm]
> schon berechnet haben????
Wir durchlaufen Den Quader einmal im mathematisch positiven Sinn (mal mal ein Bild mit Pfeilen für die Integrationsrichtung) - also ist die Umlaufzahl 1.
> Wie ich die Integrale oben berechen muss, dass wüsste ich
> jetzt ehrlich gesagt auch gar nicht.
Dafür ist der Residuensatz da ... du musst eben die andren Integrale "wegargumentieren". Fang zB mal damit an, dass die Integrale der Senkrechten für [m]R\to\infty[/m] verschwinden, in dem du sie nach oben abschätzt.
SEcki
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HI nochmal, also d.h. ich muss das jetzt so machen:
[mm] \int_{\del Q}{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx}=\int_{[-R,R]\times \{0\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx} [/mm] + [mm] \int_{[-R,R]\times \{2\pi i\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx} [/mm] + [mm] \int_{\{-R\}\times[0\cdot{}i,2\pi i] }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx}+ \int_{\{R\}\times[0\cdot{}i,2\pi i]}{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx}=2\pi
[/mm]
so und jetzt ist:
[mm] \int_{[-R,R]\times \{0\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx}=-\int_{[-R,R]\times \{2\pi i\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx}=2\pi
[/mm]
So, aber wie berechne ich diese Integrale mit dem Residuensatz??? weiß das gerade echt nicht. Und waran erkennt man auch so schnell, dass die gleich sind und die beiden Integrale da unten gegen 0 streben müssen???
d.h.: [mm] \int_{\{-R\}\times[0\cdot{}i,2\pi i] }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx}+ \int_{\{R\}\times[0\cdot{}i,2\pi i]}{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx} \to [/mm] 0 für R [mm] \to \infty
[/mm]
Bitte nochmal um hilfe.
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 Do 21.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> so und jetzt ist:
>
> [mm]\int_{[-R,R]\times \{0\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx}=-\int_{[-R,R]\times \{2\pi i\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx}=2\pi[/mm]
Nein. Ojemine - es soll [m]\int_{[-R,R]\times \{0\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx}=\int_{[-R,R]\times \{2\pi i\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx}[/m] gelten, wenn die beiden anderne Integrale gegen 0 gehen, folgt dann [m]2*\int_{[-R,R]\times \{0\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx} = 2\pi[/m], also dein Integral ist dann [m]\pi[/m].
Ich war etwas flappsig mit der Notation: du musst für [m]\int_{[-R,R]\times \{0\}[/m] das Integral von links nach rechts berechnen - also wie gewohnt, für [m]\int_{[-R,R]\times \{2\pi i\}[/m] geht unser Integrationsweg aber von rechts nach links, dh das Vorzeichen dreht sich um. Allerdings gilt ja [m]e^{(x+2*\pi i)/2}}{1+e^(x+2*\pi i)}=-\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} [/m] - da hebt sich das Vorzeichen weg mit der vertauschten Int.richtung weg.
Für die anderen beiden Integrale: Es geht [m]\bruch{e^{x/2}}{1+e^x}\to 0\mbox{ für }x\to \pm\infty[/m], also kann man die Beträge der Integrale geeignet so nach oben abschätzen, dass das Integral gegen 0 geht - probier das mal! Ein Hinweis noch: du integriest über den Weg [m][0,1]\to \IC, t\mapsto \bruch{e^{(\pm R+t*2*\pi i)/2}}{1+e^{(\pm R+t*2\pi i)}}[/m], dh diesen Ausdruck musst du geeignet abschätzen - und wohl für [m]+R[/m] und [m]-R[/m] getrennt.
> So, aber wie berechne ich diese Integrale mit dem
> Residuensatz?
Das tun wir nicht - wir müssen argumentieren, was im Grenzfall passiert und somit von dem Integral auf dem Quader auf das Integral auf [m][-R,R][/m] schließen. Hast du überhaupt schonmal ein Beispiel einer Anwendung des Residuensatz für die Berechnung von Integralen gesehen? Da muss man oft argumentieren, warum zB ein Halbkreis gegen 0 geht, damit man die Identität dann überhaupt erhält. Schau mal in deinen Skripten/Büchern mal nach.
SEcki
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
also ehrlich gesagt, versteh ich irgendwie die ganze geschichte mit dem Res.satz und so nicht. ich bringe mal ein anderes beispeil:
Zu berechnen ist I=\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{x^2 +1} dx}. So dann machen die:
\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{x^2 +1} dx}=2i\pi Res (\bruch{1}{z^2 +1}; i), mit i der einizige Pol von \bruch{1}{x^2 +1} in der oberen Halbeben. Es ist Res (\bruch{1}{z^2 +1}; i)=\bruch{1}{2i} und somit folgt I=\pi. Hier wurden das Integral doch auch irgendwie groß zerteilt und mehere Integrale betrachtet, sondern nur, das Residuum.
Liegt es an meiner Aufgabe vielleicht dran, dass noch "entlang des Rechtecks $ [-R,R]X[0,2\pi] $ " gegeben ist???
Habe gerade in meinen skript geschaut, da haben wir auch kein ähnliches beispiel, und auch im internet finde ich gerade nichts, wo dann die integrale eingeteilt werden, in teilintegrale :-(.
Fangen wir nochmal an, du sagst:
> es soll $ \int_{[-R,R]\times \{0\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx}=\int_{[-R,R]\times \{2\pi i\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx} $ gelten, wenn die beiden anderne Integrale gegen 0 gehen, folgt dann $ 2\cdot{}\int_{[-R,R]\times \{0\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx} = 2\pi $, also dein Integral ist dann $ \pi $.
So, aber ausgehend von dieser Gleichung
$ \int_{\del Q}{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx}=\int_{[-R,R]\times \{0\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx} $ + $ \int_{[-R,R]\times \{2\pi i\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx} $ + $ \int_{\{-R\}\times[0\cdot{}i,2\pi i] }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx}+ \int_{\{R\}\times[0\cdot{}i,2\pi i]}{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx} $
Dann haben wir ja \int_{[-R,R]\times \{0\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx} + \int_{[-R,R]\times \{2\pi i\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx} und das wäre doch
\int_{[-R,R]\times \{0\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx}=-\int_{[-R,R]\times \{2\pi i\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx}, wenn die anderen beiden gegen null gehen, deswegen versteh ich nicht, wie du auf
$ \int_{[-R,R]\times \{0\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx}=\int_{[-R,R]\times \{2\pi i\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx} $ kommst??? Die Integrale sollen gleich sein, ok, aber betrachtet von der gleichung oben (die ganz lange), so bekommt man das doch gar nicht hin, oder??
Du begründest es mit:
> du musst für $ \int_{[-R,R]\times \{0\} $ das Integral von links nach rechts berechnen - also wie gewohnt, für $ \int_{[-R,R]\times \{2\pi i\} $ geht unser Integrationsweg aber von rechts nach links, dh das Vorzeichen dreht sich um.
Aber woran erkennt man, wann man von links nach rechts, oder von rechts nach links integriert??
Und dann nochmal ne andere Frage, wenn ich jetzt so ein Integral \int_{[-R,R]\times \{0\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx} berechen will, wie gehe ich dort vor?? Weiß nämlich gerade nicht, wie ich da mit den Grenzen umgehen soll, also [-R,R]\times \{0\}??
> für $ \int_{[-R,R]\times \{2\pi i\} $ geht unser Integrationsweg aber von rechts nach links, dh das Vorzeichen dreht sich um. Allerdings gilt ja $ e^{(x+2\cdot{}\pi i)/2}}{1+e^(x+2\cdot{}\pi i)}=-\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} $ - da hebt sich das Vorzeichen weg mit der vertauschten Int.richtung weg.
> Für die anderen beiden Integrale: Es geht $ \bruch{e^{x/2}}{1+e^x}\to 0\mbox{ für }x\to \pm\infty $, also kann man die Beträge der Integrale geeignet so nach oben abschätzen, dass das Integral gegen 0 geht - probier das mal! Ein Hinweis noch: du integriest über den Weg $ [0,1]\to \IC, t\mapsto \bruch{e^{(\pm R+t\cdot{}2\cdot{}\pi i)/2}}{1+e^{(\pm R+t\cdot{}2\pi i)}} $, dh diesen Ausdruck musst du geeignet abschätzen - und wohl für $ +R $ und $ -R $ getrennt.
Diese Geschichten habe ich leider auch noch nicht so verstanden, wie die zustanden kommen. Aber vielleicht erstmal das oben.
Ich weiß, sind bestimmt viele dumme Fragen, würde mich dennoch freuen, wenns vielleicht jemand erklären könnte.
Besten dank.
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Do 21.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
sorry, bin bei der anderen antwort auf ne falsche zeit gekommen. deswegen nochmal, sorry.
also ehrlich gesagt, versteh ich irgendwie die ganze geschichte mit dem Res.satz und so nicht. ich bringe mal ein anderes beispeil:
Zu berechnen ist $ I=\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{x^2 +1} dx}. $ So dann machen die:
$ \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{x^2 +1} dx}=2i\pi $ Res $ (\bruch{1}{z^2 +1}; $ i), mit i der einizige Pol von $ \bruch{1}{x^2 +1} $ in der oberen Halbeben. Es ist Res $ (\bruch{1}{z^2 +1}; i)=\bruch{1}{2i} $ und somit folgt $ I=\pi. $ Hier wurden das Integral doch auch irgendwie groß zerteilt und mehere Integrale betrachtet, sondern nur, das Residuum.
Liegt es an meiner Aufgabe vielleicht dran, dass noch "entlang des Rechtecks $ [-R,R]X[0,2\pi] $ " gegeben ist???
Habe gerade in meinen skript geschaut, da haben wir auch kein ähnliches beispiel, und auch im internet finde ich gerade nichts, wo dann die integrale eingeteilt werden, in teilintegrale :-(.
Fangen wir nochmal an, du sagst:
> es soll $ \int_{[-R,R]\times \{0\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx}=\int_{[-R,R]\times \{2\pi i\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx} $ gelten, wenn die beiden anderne Integrale gegen 0 gehen, folgt dann $ 2\cdot{}\int_{[-R,R]\times \{0\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx} = 2\pi $, also dein Integral ist dann $ \pi $.
So, aber ausgehend von dieser Gleichung
$ \int_{\del Q}{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx}=\int_{[-R,R]\times \{0\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx} $ + $ \int_{[-R,R]\times \{2\pi i\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx} $ + $ \int_{\{-R\}\times[0\cdot{}i,2\pi i] }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx}+ \int_{\{R\}\times[0\cdot{}i,2\pi i]}{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx} $
Dann haben wir ja $ \int_{[-R,R]\times \{0\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx} $ + $ \int_{[-R,R]\times \{2\pi i\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx} $ und das wäre doch
$ \int_{[-R,R]\times \{0\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx}=-\int_{[-R,R]\times \{2\pi i\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx}, $ wenn die anderen beiden gegen null gehen, deswegen versteh ich nicht, wie du auf
$ \int_{[-R,R]\times \{0\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx}=\int_{[-R,R]\times \{2\pi i\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx} $ kommst??? Die Integrale sollen gleich sein, ok, aber betrachtet von der gleichung oben (die ganz lange), so bekommt man das doch gar nicht hin, oder??
Du begründest es mit:
> du musst für $ \int_{[-R,R]\times \{0\} $ das Integral von links nach rechts berechnen - also wie gewohnt, für $ \int_{[-R,R]\times \{2\pi i\} $ geht unser Integrationsweg aber von rechts nach links, dh das Vorzeichen dreht sich um.
Aber woran erkennt man, wann man von links nach rechts, oder von rechts nach links integriert??
Und dann nochmal ne andere Frage, wenn ich jetzt so ein Integral $ \int_{[-R,R]\times \{0\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx} $ berechen will, wie gehe ich dort vor?? Weiß nämlich gerade nicht, wie ich da mit den Grenzen umgehen soll, also $ [-R,R]\times \{0\}?? $
> für $ \int_{[-R,R]\times \{2\pi i\} $ geht unser Integrationsweg aber von rechts nach links, dh das Vorzeichen dreht sich um. Allerdings gilt ja $ e^{(x+2\cdot{}\pi i)/2}}{1+e^(x+2\cdot{}\pi i)}=-\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} $ - da hebt sich das Vorzeichen weg mit der vertauschten Int.richtung weg.
> Für die anderen beiden Integrale: Es geht $ \bruch{e^{x/2}}{1+e^x}\to 0\mbox{ für }x\to \pm\infty $, also kann man die Beträge der Integrale geeignet so nach oben abschätzen, dass das Integral gegen 0 geht - probier das mal! Ein Hinweis noch: du integriest über den Weg $ [0,1]\to \IC, t\mapsto \bruch{e^{(\pm R+t\cdot{}2\cdot{}\pi i)/2}}{1+e^{(\pm R+t\cdot{}2\pi i)}} $, dh diesen Ausdruck musst du geeignet abschätzen - und wohl für $ +R $ und $ -R $ getrennt.
Diese Geschichten habe ich leider auch noch nicht so verstanden, wie die zustanden kommen. Aber vielleicht erstmal das oben.
Ich weiß, sind bestimmt viele dumme Fragen, würde mich dennoch freuen, wenns vielleicht jemand erklären könnte.
Besten dank.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Fr 22.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Zu berechnen ist
> [mm]I=\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{x^2 +1} dx}.[/mm] So
> dann machen die:
Wer ist eigentlich "die"?
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{x^2 +1} dx}=2i\pi[/mm]
> Res [mm](\bruch{1}{z^2 +1};[/mm] i), mit i der einizige Pol von
> [mm]\bruch{1}{x^2 +1}[/mm] in der oberen Halbeben. Es ist Res
> [mm](\bruch{1}{z^2 +1}; i)=\bruch{1}{2i}[/mm] und somit folgt [mm]I=\pi.[/mm]
> Hier wurden das Integral doch auch irgendwie groß zerteilt
> und mehere Integrale betrachtet, sondern nur, das
> Residuum.
Das ist aber nur verkürzt - warum gilt denn die Gleichheit? Wird das irgendwo begründet? Diese Formel muss man erst herleiten - und bei der Herleitung geht es ähnlich wie in deinem Fall vor. Man integriert über den Halbkreis mit Mittelpunkt 0, Radius R groß genug, und Mittelsehen auf der x-Achse. Dann muss man aber Bedingungen an den Integranten haben, dass das Integral über den Halbbogen von R nach -R verschwindet für [mm] 8m]R\to\infty[/m].
[/mm]
> Habe gerade in meinen skript geschaut, da haben wir auch
> kein ähnliches beispiel, und auch im internet finde ich
> gerade nichts, wo dann die integrale eingeteilt werden, in
> teilintegrale :-(.
![[]](/images/popup.gif) Der Wiki-Artikel war wohl zu einfach?!
> Dann haben wir ja [mm]\int_{[-R,R]\times \{0\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx}[/mm]
> + [mm]\int_{[-R,R]\times \{2\pi i\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx}[/mm]
> und das wäre doch
Bitte was haben wir? Dir ist schon klar, dass da eine Gleichung steht, der linken Seite wir schon mit dem Residuensatz berechnet haben?
> [mm]\int_{[-R,R]\times \{0\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx}=-\int_{[-R,R]\times \{2\pi i\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx},[/mm]
> wenn die anderen beiden gegen null gehen, deswegen versteh
> ich nicht, wie du auf
Nein, natürlich nicht - die Summe hat einen Wert, den wir durch den Residuensatz berechnet haben. Das wäre nur richtig, wenn wir 0 als auf der linken Seite hätten - haben wir aber nicht, sondern [m]2*\pi[/m]
> [mm]\int_{[-R,R]\times \{0\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx}=\int_{[-R,R]\times \{2\pi i\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx}[/mm]
> kommst??? Die Integrale sollen gleich sein, ok, aber
> betrachtet von der gleichung oben (die ganz lange), so
> bekommt man das doch gar nicht hin, oder??
Man muss sich eben genau anschauen, über was man hier integriert, das erhalte ich mit Nachrechnen im Integral, nicht mit Manipulation der Summe.
> Aber woran erkennt man, wann man von links nach rechts,
> oder von rechts nach links integriert??
Du hast Q, den Quader. Um über Q zu intergrieren, musst du eine Kurve angeben, die Q einmal durchläuft - und eigentlich integrieren wir über diese Kurve. Wir starten unten links, gehen nach rechts, gehen nach obene, gehen nach links, gehen nach unten - umbedingt ein Bildchen malen, wenn dies nicht einleuchtet! Diesen Quader durchläuft man nun in mathematisch positiver Richtung - wenn wir die Richtungen alle umdrehen, handeln wir uns ein -1 bei der Umlaufzahl und auch bei den Integralen ein. Dies hebt sich dann weg.
> Und dann nochmal ne andere Frage, wenn ich jetzt so ein
> Integral [mm]\int_{[-R,R]\times \{0\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx}[/mm]
> berechen will, wie gehe ich dort vor?? Weiß nämlich gerade
> nicht, wie ich da mit den Grenzen umgehen soll, also
> [mm][-R,R]\times \{0\}??[/mm]
Wie sehen denn die Argumente im Integranten aus? Das habe ich auch schon geschrieben, btw.
SEcki
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Hi nochmal. habe es leider immer noch nicht hinbekommen, diese Aufgabe zu lösen :-(.
> Wer ist eigentlich "die"?
Das war ne aufgabe ausm netz mit lösung, deswegen die.
> $ [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{x^2 +1} dx}=2i\pi [/mm] $
> Res $ [mm] (\bruch{1}{z^2 +1}; [/mm] $ i), mit i der einizige Pol von
> $ [mm] \bruch{1}{x^2 +1} [/mm] $ in der oberen Halbeben. Es ist Res
> $ [mm] (\bruch{1}{z^2 +1}; i)=\bruch{1}{2i} [/mm] $ und somit folgt $ [mm] I=\pi. [/mm] $
> Hier wurden das Integral doch auch irgendwie groß zerteilt und mehere Integrale betrachtet, sondern nur, das Residuum.
> Das ist aber nur verkürzt - warum gilt denn die Gleichheit? Wird das irgendwo begründet?
Ne, mehr stand da als begründung echt nicht dazu. war halt ein bsp. ausm internet. Wie müsste man das integral denn dann komplett aufschreiben bei $ [mm] I=\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{x^2 +1} dx}. [/mm] $ ??? Hier ist es dann wohl so, wie im Artikel bei Wikipedia oder? Einmal die Strecke von -R bis R und dann der Halbkreis?? Und weil das übern Halbkreis eh 0 ist, schreiben dies erst gar nicht auf??
Und bei uns ist alles bisschen komplizierter, weil in der Aufgabe dieses Rechteck geben ist, sehe ich das richtig???
Ok, dann nochmal zur Aufgabe. Wir haben ja:
$ [mm] \int_{\del Q}{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx}=\int_{[-R,R]\times \{0\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx} [/mm] $ + $ [mm] \int_{[-R,R]\times \{2\pi i\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx} [/mm] $ + $ [mm] \int_{\{-R\}\times[0\cdot{}i,2\pi i] }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx}+ \int_{\{R\}\times[0\cdot{}i,2\pi i]}{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx}=2\pi [/mm] $
Also ich weiß nicht, ob ich es schon mal gefragt hatte, aber woher erkennst du so schnell, dass es diese beiden Integrale sind, die gegen 0 gehen, und nicht die ersten beiden??
[mm] \int_{\{-R\}\times[0\cdot{}i,2\pi i] }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx}+ \int_{\{R\}\times[0\cdot{}i,2\pi i]}{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx}
[/mm]
Liegt das an den grenzen, weil man hier nur [mm] \{-R\} [/mm] und [mm] \{R\} [/mm] hat, ergibt es deswegen 0? Will halt wissen, wie man das so schnell sieht, das Prinzip habe ich jetzt so einigermaßen verstanden.
so die beiden gehen gegen 0, d.h. es bleibt:
$ [mm] \int_{\del Q}{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx}=\int_{[-R,R]\times \{0\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx} [/mm] $ + $ [mm] \int_{[-R,R]\times \{2\pi i\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx} $=2\pi [/mm]
So hier jetzt nochmal, die Frage hatte ich schon mal gestellt, das weiß ich:
[mm] \int_{[-R,R]\times \{0\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx} [/mm] + [mm] \int_{[-R,R]\times \{2\pi i\} }{\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} dx} [/mm]
Was bedeutet [mm] [-R,R]\times \{0\} [/mm] und [mm] [-R,R]\times \{2\pi i\}?? [/mm] heißt das erste vielleicht:
[mm] \integral_{-R}^{R}{ \bruch{e^{x/2}}{1+e^x}dx}, [/mm] aber bei dem zweiten dann [mm] \integral_{-R}^{R}{ \bruch{e^{x/2}}{1+e^x}dx} [/mm] und was mach ich dann mit den [mm] 2i\pi
[/mm]
Wie gesagt, dass mit den Grenzen habe ich so noch gar nicht verstanden.
In deinem Beitrag vorher hattest du geschrieben:
> für $ [mm] \int_{[-R,R]\times \{2\pi i\} $ geht unser Integrationsweg aber von rechts nach links, dh das Vorzeichen dreht sich um. Allerdings gilt ja $ e^{(x+2\cdot{}\pi i)/2}}{1+e^(x+2\cdot{}\pi i)}=-\bruch{e^{x/2}}{1+e^x} [/mm] $ - da hebt sich das Vorzeichen weg mit der vertauschten Int.richtung weg.
Wie kommst du hier auf [mm] \bruch{e^{(x+2i\pi)/2}}{1+e^{x+2i\pi}}, [/mm] sind das die [mm] 2i\pi [/mm] von [mm] [-R,R]\times \{2\pi i\}, [/mm] so dass integral dann so wäre: [mm] \integral_{-R}^{R}{ \bruch{e^{(x+2i\pi)/2}}{1+e^{x+2i\pi}}dx}, [/mm] mit R gegen unendlich natürlich??
Und dann ist jetzt: [mm] \integral_{-R}^{R}{ \bruch{e^{x/2}}{1+e^x}dx}=\integral_{-R}^{R}{ \bruch{e^{(x+2i\pi)/2}}{1+e^{x+2i\pi}}dx}
[/mm]
Und dann noch eine Frage hierzu:
> Es geht $ [mm] \bruch{e^{x/2}}{1+e^x}\to 0\mbox{ für }x\to \pm\infty [/mm] $, also kann man die Beträge der Integrale geeignet so nach oben abschätzen, dass das Integral gegen 0 geht - probier das mal! Ein Hinweis noch: du integriest über den Weg $ [mm] [0,1]\to \IC, t\mapsto \bruch{e^{(\pm R+t\cdot{}2\cdot{}\pi i)/2}}{1+e^{(\pm R+t\cdot{}2\pi i)}} [/mm] $, dh diesen Ausdruck musst du geeignet abschätzen - und wohl für +R und -R getrennt.
Wie kommst du auf [mm] \bruch{e^{(\pm R+t\cdot{}2\cdot{}\pi i)/2}}{1+e^{(\pm R+t\cdot{}2\pi i)}}, [/mm] wir haben ja die grenzen [mm] \{-R\}\times[0\cdot{}i,2\pi [/mm] i] und [mm] \{R\}\times[0\cdot{}i,2\pi [/mm] i]. Die grenzen im allgemeinen bereiten mir noch große probleme.
Viele Lücken, ich weiß. Danke für hilfe.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:30 Mo 25.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> > Wer ist eigentlich "die"?
>
> Das war ne aufgabe ausm netz mit lösung, deswegen die.
Nun gut, ich habe den Wiki-Artikel verlinkt, wo dies genauer bewiesen wird.
> Ne, mehr stand da als begründung echt nicht dazu. war halt
> ein bsp. ausm internet. Wie müsste man das integral denn
> dann komplett aufschreiben bei
> [mm]I=\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{x^2 +1} dx}.[/mm] ???
> Hier ist es dann wohl so, wie im Artikel bei Wikipedia
> oder? Einmal die Strecke von -R bis R und dann der
> Halbkreis?? Und weil das übern Halbkreis eh 0 ist,
> schreiben dies erst gar nicht auf??
Nein, es ist nicht 0! Sicher nicht - aber es geht gegen 0, der Beweis steht im Wiki.
> Und bei uns ist alles bisschen komplizierter, weil in der
> Aufgabe dieses Rechteck geben ist, sehe ich das richtig???
Es ist ein bisschen komplizierter, da du das Integral in 4 Teile teilst.
> Also ich weiß nicht, ob ich es schon mal gefragt hatte,
> aber woher erkennst du so schnell, dass es diese beiden
> Integrale sind, die gegen 0 gehen, und nicht die ersten
> beiden??
Intuition?! Eines sollte nicht gegen 0 gehen - das soll nämlich unser GW werden. Das andere ist gleich dem Integral. Dann sollte der Rest gegen 0 gehen. Oder auch so: wenn man eine Funktion über Stücke integriert, die als ganzes immer weiter weg von der 0 liegen (und das ist hier bei den senkrechten der Fall), und der Integrant gegen 0 geht im Unendlichen, dann sollten diese Stücke verschwinden im Unendlichen - das ähnlich wie bei den Kreisringen.
> Liegt das an den grenzen, weil man hier nur [mm]\{-R\}[/mm] und
> [mm]\{R\}[/mm] hat, ergibt es deswegen 0? Will halt wissen, wie man
> das so schnell sieht, das Prinzip habe ich jetzt so
> einigermaßen verstanden.
Es ergibt nicht 0, sondern es geht gegen 0 - dazu muss man den Integranten abschätzen.
> Was bedeutet [mm][-R,R]\times \{0\}[/mm] und [mm][-R,R]\times \{2\pi i\}??[/mm]
> heißt das erste vielleicht:
Das habe ich merhmal schon geschrieben ... ich meinte die Abschnitte im Integrationsweg, die dieser überlaufen muss - und habe schon auch geschrieben, dass es etwas unsauber war.
> [mm]\integral_{-R}^{R}{ \bruch{e^{x/2}}{1+e^x}dx},[/mm] aber bei dem
> zweiten dann [mm]\integral_{-R}^{R}{ \bruch{e^{x/2}}{1+e^x}dx}[/mm]
> und was mach ich dann mit den [mm]2i\pi[/mm]
> Wie gesagt, dass mit den Grenzen habe ich so noch gar
> nicht verstanden.
Man hat einen Integrationsweg - den kann man hier in 4 Teile aufteilen. Hast du jemals ein Bildchen gemalt? Das [m]2\pi i[/m] bedeutet, das wir, wenn wir über diesen Teil des Weges integrieren, Zahlen der Form [m]x+2\pi i[/m] einsetzen mit [m]-R\le x \le R[/m] - aber von R nach -R integrieren.
> Wie kommst du hier auf
> [mm]\bruch{e^{(x+2i\pi)/2}}{1+e^{x+2i\pi}},[/mm] sind das die [mm]2i\pi[/mm]
> von [mm][-R,R]\times \{2\pi i\},[/mm] so dass integral dann so wäre:
> [mm]\integral_{-R}^{R}{ \bruch{e^{(x+2i\pi)/2}}{1+e^{x+2i\pi}}dx},[/mm]
> mit R gegen unendlich natürlich??
>
> Und dann ist jetzt: [mm]\integral_{-R}^{R}{ \bruch{e^{x/2}}{1+e^x}dx}=\integral_{-R}^{R}{ \bruch{e^{(x+2i\pi)/2}}{1+e^{x+2i\pi}}dx}[/mm]
>
>
> Und dann noch eine Frage hierzu:
>
> > Es geht [mm]\bruch{e^{x/2}}{1+e^x}\to 0\mbox{ für }x\to \pm\infty [/mm],
> also kann man die Beträge der Integrale geeignet so nach
> oben abschätzen, dass das Integral gegen 0 geht - probier
> das mal! Ein Hinweis noch: du integriest über den Weg
> [mm][0,1]\to \IC, t\mapsto \bruch{e^{(\pm R+t\cdot{}2\cdot{}\pi i)/2}}{1+e^{(\pm R+t\cdot{}2\pi i)}} [/mm],
> dh diesen Ausdruck musst du geeignet abschätzen - und wohl
> für +R und -R getrennt.
>
> Wie kommst du auf [mm]\bruch{e^{(\pm R+t\cdot{}2\cdot{}\pi i)/2}}{1+e^{(\pm R+t\cdot{}2\pi i)}},[/mm]
> wir haben ja die grenzen [mm]\{-R\}\times[0\cdot{}i,2\pi[/mm] i]
> und [mm]\{R\}\times[0\cdot{}i,2\pi[/mm] i]. Die grenzen im
> allgemeinen bereiten mir noch große probleme.
Ich setze einfach die Zahlen ein, die auf dem Teil des Quaders sind. Dieses Weg(Kurven)integral muss man berechnen - schau mal nach, wie man Kurven integriert. Man muss parametrisieren und dann ein Integral [m]\int_a^b[/m] berechnen - wobei a, b wieder reell sind, aber den Anfangs- und Endpunkt des Weges [m]\gamm:[a,b]\to \IC[/m] sind. Ich glaube, du solltest die Grundlagen nachholen! Du wirst sonst die Argumente kaum nachvollziehen können.
SEcki
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