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| Aufgabe | Berechne das Integral [mm] $\integral_{0}^{\infty}{sin(x^2) dx}$ [/mm] auf folgende Weise:
- Es sei $R>0$
- Parametrisiere den geschlossenen Weg, der in gerader Linie von 0 bis $R$, dann in gerader Linie von $R$ bis $R + i*R$ und dann in gerader Linie von $R + i*R$ bis 0 läuft. |
Zugegeben kann ich mit der Aufgabe wenig anfangen. Also ich weiß, was so eine Weg-Parametrisierung ist und auch was ein geschlossener Weg ist. Aber wie ich auf die Parametrisierung hier komme, weiß ich nicht. Wir haben nie gelernt, wie man darauf kommt oder die angibt. Der Dozent meinte immer nur "Sei [mm] $\gamma(t)$ [/mm] ein Weg..." Und jetzt soll ich so einen explizit angeben.
Ich bräuchte erstmal Hilfe beim Weg, dann würde ich das Integral danach vielleicht hinkriegen, müsste ich dann sehen. Bin für jede Hilfe dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:41 Mi 08.05.2024 | | Autor: | fred97 |
> Berechne das Integral [mm]\integral_{0}^{\infty}{sin(x^2) dx}[/mm]
> auf folgende Weise:
> - Es sei [mm]R>0[/mm]
> - Parametrisiere den geschlossenen Weg, der in gerader
> Linie von 0 bis [mm]R[/mm], dann in gerader Linie von [mm]R[/mm] bis [mm]R + i*R[/mm]
> und dann in gerader Linie von [mm]R + i*R[/mm] bis 0 läuft.
> Zugegeben kann ich mit der Aufgabe wenig anfangen. Also
> ich weiß, was so eine Weg-Parametrisierung ist und auch
> was ein geschlossener Weg ist. Aber wie ich auf die
> Parametrisierung hier komme, weiß ich nicht. Wir haben nie
> gelernt, wie man darauf kommt oder die angibt. Der Dozent
> meinte immer nur "Sei [mm]\gamma(t)[/mm] ein Weg..." Und jetzt soll
> ich so einen explizit angeben.
> Ich bräuchte erstmal Hilfe beim Weg, dann würde ich das
> Integral danach vielleicht hinkriegen, müsste ich dann
> sehen. Bin für jede Hilfe dankbar.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Sind a und b Punkte in der komplexen Ebene, so lautet eine Parametrisierung eines Weges von a nach b wie folgt:
[mm] $\gamma [/mm] (t)=a+t(b-a)$, $0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1$.
Hilft das weiter?
Gruß Fred
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| Aufgabe | Weiterführende Frage:
- Begründe, dass das Integral von [mm] $exp(-z^2)$ [/mm] über diesen Weg (aus der vorherigen Teilaufgabe) verschwindet
- Zeige, dass das Integral von [mm] $exp(-z^2)$ [/mm] über die Linie von $R$ bis $R+i*R$ verschwindet |
Hallo und erstmal vielen Dank für die Hilfe bei der Parametrisierung. Ich habe jetzt folgende Parametrisierung bezogen auf die vorherige Frage gefunden:
[mm] $\gamma_1(t)=t*R;$ [/mm] für [mm] $0\leq t\leq [/mm] 1$
[mm] $\gamma_2(t)=(2-t)*R+(t-1)*(R+i*R);$ [/mm] für [mm] $1
[mm] $\gamma_3(t)=(3-t)*(R+i*R);$ [/mm] für [mm] $2
Die Parametrisierung habe ich schon mit jemand besprochen und der hatten das genauso. Aber vielleicht kann das von euch auch jemand bestätigen?
Mir ist jetzt nur nicht klar, wie ich überhaupt zeige, dass ein Integral über diesen Weg verschwindet. Also das heißt ja, das Integral ist 0, einmal über den gesamten Weg und einmal nur über das Stück von $R$ nach $R+i*R$. Was setze ich denn da wo ein, damit da 0 rauskommt?
Vielen Dank abermals für die Hilfe und ich habe auch diese Frage nirgendwo sonst gestellt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:36 Fr 10.05.2024 | | Autor: | Infinit |
Hallo F-Theoretikerin,
die Überprüfung der Aussage geht in zwei Schritten:
1) Überprüfe mit Hilfe von Cauchy-Riemann, ob die komplexe Funktion in diesem Gebiet anaytisch ist, sprich: gelten die CR-Gleichungen?
2) Ist dies der Fall, so darfst Du, da es sich um eine geschlossene Kurve im Komplexen handelt, den Residuensatz anwenden.
[mm] \int f(z)\, dz = 2 \pi i \cdot \summe{ \Rm{Res}\, f(z) [/mm]
Die Frage ist also, ob Pole der Funktion in diesem Gebiet liegen und falls ja, trägt jeder dieser Pole zum Integral bei. Ist dies nicht der Fall, so kommt eine glatte Null raus.
Für die zweite Aufgabe langt es, eine Stammfunktion für das Integral zu bestimmen und dann den parametrisierten Weg einzusetzen. Dabei sollte dann eine Null herauskommen.
Es ist also schon etwas Arbeit, die Du da zu machen hast.
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo und danke für die schnelle Antwort,
dazu ne kurze Rückfrage: für welche Funktion soll ich denn überprüfen, ob "ob die komplexe Funktion in diesem Gebiet analytisch ist" - für [mm] $exp(-z^2)$ [/mm] oder für [mm] $sin(x^2)$? [/mm] Ich soll ja das Integral vom Sinus über den Umweg Exponentialfunktion berechnen...
Aber beide Funktionen hätten doch keine Polstellen irgendwo - oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:15 Fr 10.05.2024 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
ja, das sehe ich auch so, da sind keine Pole enthalten. Checke aber doch bitte noch mal den Zusammenhang mit dem Integral über [mm] \sin(x^2) [/mm]. [mm] e^{-z^2} [/mm] ist ja der Kehrwert von [mm] e^{z^2} [/mm] und durch das Quadrat tauchen da eine Menge weiterer Terme auf, da [mm] z^2 = (x +jy)^2 = x^2 -y^2 +2jxy [/mm]. Ist die Aufgabe wirklich so formuliert?
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo, danke für eure Mühe.
Ja, die Frage war tatsächlich so formuliert und den Residuenssatz hatten wir zu dem Zeitpunkt noch nicht, daher hätten wir den auch nicht benutzen dürfen...
Zwischenzeitlich haben wir aber auch die Lösung zu der Aufgabe bekommen, die Frage hat sich damit erübrigt.
Vielen Dank für die hilfreichen Tipps!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:29 So 12.05.2024 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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