Integral periodischer Funktion < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sein [mm] f:\IR->\IC [/mm] eine auf jedem Intervall [a,b] riemann-integrierbare Funktion und für ein T>0 gelte f(x+t)=f(x) für alle x [mm] \in \IR. [/mm] Man zeige nun, dass für alle s [mm] \in \IR [/mm] gilt:
[mm] \integral_{s}^{s+T}{f(x) dx}=\integral_{0}^{T}{f(x) dx} [/mm] |
Heyho 
ich habe jetzt aus der Aufgabenstellung entnommen, dass T periodisch ist. Was ich sonst noch weiß:
- Ober und Untersumme von f(x) stimmen überein
nun soll ich ja beweisen, dass die beiden oben genannten Integrale übereinstimmen. Allerdings weiß ich an dieser Stelle leider nicht, wie ich ansetzen soll. Da ich überhaupt Probleme habe die Ober- bzw. Untersumme zu bilden und effektiv für einen Beweis zu benutzen. Ich habe um mir die Aufgabe zu veranschaulichen erst einmal f(x)= sin(x) gewählt mit t= 2* [mm] \pi.. [/mm] wenn ich dann für f(x) einsetze stimmen die Integrale auch überein. Allerdings reicht dies ja kaum für einen Beweis.
Ich würde mich über Hilfe freuen
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Sa 03.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst doch in einem Integral einfach transformieren
y=x+s oder im anderen y=x-s dann benutzendie periode.
dx=dy, und die Grenzen entsprechend ändern.
Gruss leduart
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Hey
danke erstmal für die Antwort.
Was meinst du genau damit?
wenn ich y=x+s bzw. dann s=y-x wähle, erhalte ich:
f(T+y-s)=f(y-s)
und soll zeigen, dass:
[mm] \integral_{y-x}^{T-y+x}{f(x) dx}= \integral_{0}^{y-s}{f(x) dx}
[/mm]
aber was bringt mir das für meinen Beweis?
LG
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Hallo,
nimm das Integral
[mm] \int_0^T{f(x) dx}
[/mm]
als <i>bekannt an.
> Hey
> danke erstmal für die Antwort.
> Was meinst du genau damit?
> wenn ich y=x+s bzw. dann s=y-x wähle, erhalte ich:
> f(T+y-s)=f(y-s)
> und soll zeigen, dass:
> [mm]\integral_{y-x}^{T-y+x}{f(x) dx}= \integral_{0}^{y-s}{f(x) dx}[/mm]
>
>
> aber was bringt mir das für meinen Beweis?
So gar nichts, aber so war es auch nicht gemeint. Du musst die Substitution in den Integranden einsetzen und das Differential substituieren. Um die Vorgehensweise etwas verständlicher zu machen, tue doch mal so als ob du das Integral ausrechnset. Verwende hierzu eine 'virtuelle' Stammfunktion F(x) und jetzt rechne mal nach, wenn du die Substitution auf der linken Seite durchführst, mit der Stammfunktion F(x) das Integral darstellst und nun die Schranken einsetzt. Dann folgt nämlich die Behauptung, und das meinte leduart sinngemäß.
Gruß, Diophant
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Hey
also da mir die Begriffe nicht geläufig sind habe ich diese eben nachgeschlagen und erhalte dann:
Integrand: zu integrierende Funktion -> Hier: f(x)
Differential: hier: dx
mit y=x+s [mm] \gdw [/mm] x= y-s erhalte ich dann doch:
f(x)=f(y-s) oder?
Allerdings verstehe ich jetzt nicht ganz was zu machen ist. Die Funktion sin(y-s) kann ich ja noch nicht integrieren
Die ganzen Begriffe sind mir so fremd, dass ich leider hier nicht ganz weiter weiß, tut mir leid
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:04 So 04.05.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Hey
> also da mir die Begriffe nicht geläufig sind habe ich
> diese eben nachgeschlagen und erhalte dann:
> Integrand: zu integrierende Funktion -> Hier: f(x)
> Differential: hier: dx
> mit y=x+s [mm]\gdw[/mm] x= y-s erhalte ich dann doch:
> f(x)=f(y-s) oder?
> Allerdings verstehe ich jetzt nicht ganz was zu machen ist.
> Die Funktion sin(y-s) kann ich ja noch nicht integrieren
>
>
> Die ganzen Begriffe sind mir so fremd, dass ich leider hier
> nicht ganz weiter weiß, tut mir leid
Ja, ich denke ich habe da zu viel Vorwissen vorausgesetzt. Die zweite Antwort von leduart sollte dir den Weg weisen. Der Gedanke ist jedoch stets der gleiche: man schneidet vom Integral über der Primitivperisode [0;T] ein Stück s von links her weg und 'klebt' es rechts wieder an. Wegen der Periodizität klappt das, und der Wert des Integrals darf sich dadurch nicht ändern. Du transportierst ja, mal anschaulich gesprochen, bei der Riemann-Zerlegung nur einige dieser Ober- und Untersummen an eine andere Stelle.
Gruß, Diopahnt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 So 04.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist besser du schreibst mal eine Ober oder Untersumme für beide integrale hin,
für irgendeine Unterteilung. dann benutze die periodizität,, um zu zeigen, dass in beiden summen dieselben Summanden vorkommen.
wähle zuerst s<T und lege einen Unterteilungspunkt auf s.
Gruß leduart
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Hey
ja, genau da liegt momentan mein Problem, und auch sämtliche Lehrbücher helfen mir nicht wirklich weiter.
Also ich weiß:
Wenn Ober und Untersumme übereinstimmen ist das Integral der Grenzwert der Ober- bzw Untersumme.
Allerdings verstehe ich nicht wie man das Integral in die Summenschreibweise übertragen kann.
Ich habe ja:
[mm] \integral_{0}^{T}{f(x) dx}= \lim_{n \to \infty} O_{f}(P)= \sum_{i=1}^{n}f(x)*(x_{i}-x_{i-1}) [/mm]
stimmt das so?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 So 04.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
in der Summe steht [mm] f(x_i)oder f(\xi) [/mm] mit [mm] x_{i-1}\le\xi\\le x_i
[/mm]
und du musst sagen, was deine [mm] x_i [/mm] sind, indem du das Intervall 0 bis T bzw s bis T+s unterteilst, z.B in gleiche Schritte.
Gruss leduart
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Hey
du meinst ich soll eine Partition mit [mm] 0=x_{0}
ich weiß nur leider nicht genau wie man eine geeignete Partition findet :-(
Liebe Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Di 06.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:32 Di 06.05.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> Hallo
> in der Summe steht [mm]f(x_i)oder f(\xi)[/mm] mit
> [mm]x_{i-1}\le\xi \le x_i[/mm]
wir sollten auch die [mm] $\xi$ [/mm] indizieren [mm] ($\xi_i$ [/mm] oder [mm] $\xi_{i-1}$), [/mm] sonst blickt man da gar
nicht mehr durch! Und [mm] $x_i$ [/mm] können wir nicht mehr schreiben, die sind schon
vergeben...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:44 Di 06.05.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey
> ja, genau da liegt momentan mein Problem, und auch
> sämtliche Lehrbücher helfen mir nicht wirklich weiter.
> Also ich weiß:
> Wenn Ober und Untersumme übereinstimmen ist das Integral
> der Grenzwert der Ober- bzw Untersumme.
>
> Allerdings verstehe ich nicht wie man das Integral in die
> Summenschreibweise übertragen kann.
>
> Ich habe ja:
> [mm]\integral_{0}^{T}{f(x) dx}= \lim_{n \to \infty} O_{f}(P)= \sum_{i=1}^{n}f(x)*(x_{i}-x_{i-1})[/mm]
was ist [mm] $P\,$? [/mm] Das stimmt so nicht, ganz rechts hat Leduart Dir schon gesagt,
dass man anstatt der [mm] $f(x)\,$ [/mm] da bspw. [mm] $f(\xi_i)$ [/mm] schreiben sollte - zudem hast
Du den [mm] $\lim_{n \to \infty}$ [/mm] vergessen.
Tu' Dir aber am Besten selbst mal einen Gefallen: Schlag' Eure Definition
nach und schreibe am Besten alles, was abschreibbar ist, einfach ab.
Danach fängst Du an, Dir Gedanken zu machen wie etwa:
1.) Sei zunächst $s > [mm] 0\,$ [/mm] und $0 [mm] \le [/mm] s < [mm] T\,,$ [/mm] dann können wir eine Zerlegung
von [s, s+T] "verfeinern", indem wir den Punkt [mm] $T\,$ [/mm] (falls noch nicht
vorhanden) in die Zerlegung hinzufügen und es ergibt sich...
2.) Ist nun allgemeiner nur $s > [mm] 0\,$ [/mm] bekannt und ist [mm] $Z_n=\{x_1=s,...,x_n=s+T\}$ [/mm]
eine Zerlegung von [mm] $[s,s+T]\,,$ [/mm] so ist
[mm] $\widetilde{Z_n}=\{\widetilde{x_1}=\Delta s, ..., \widetilde{x_n}=\Delta s+T\}$
[/mm]
eine Zerlegung von
[mm] $[\Delta [/mm] s, [mm] \Delta [/mm] s+T]$
mit [mm] $\Delta s:=s-n_0*T$ [/mm] und [mm] $n_0:=\lfloor [/mm] ... [mm] \rfloor,$ [/mm] woraus
$0 [mm] \le \Delta [/mm] s < T$ folgt...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:48 So 04.05.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sein [mm]f:\IR->\IC[/mm] eine auf jedem Intervall [a,b]
> riemann-integrierbare Funktion und für ein T>0 gelte
> f(x+t)=f(x) für alle x [mm]\in \IR.[/mm] Man zeige nun, dass für
> alle s [mm]\in \IR[/mm] gilt:
> [mm]\integral_{s}^{s+T}{f(x) dx}=\integral_{0}^{T}{f(x) dx}[/mm]
man kann das auch so lösen (ein wenig Kenntnisse über Substitution
vorausgesetzt):
Zunächst sei $0 [mm] \le [/mm] s [mm] \le T\,,$ [/mm] dann folgt mit [mm] $r:=x-T\,$
[/mm]
[mm] $\int_{x=s}^{x=s+T}f(x)dx=\int_{x=s}^{x=T}f(x)dx+\int_{x=T}^{x={s+T}}f(x)dx=\int_{x=s}^{x=T}f(x)dx+\int_{r=0}^{r=s}\underbrace{f(r+T)}_{=f(r)}dr=\int_{x=0}^{x=T}f(x)dx$
[/mm]
die Behauptung.
Ist nun allgemeiner nur $s > [mm] 0\,$ [/mm] bekannt, so wähle
[mm] $n_0:=\lfloor s/T\rfloor \in \IN_0\,.$
[/mm]
(Hinweis: [mm] $\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor$ [/mm] ist die Gaußklammer von [mm] $x\,.$)
[/mm]
Dann folgt mit [mm] $s:=n_0*T+\Delta [/mm] s$
[mm] $\int_{x=s}^{x=s+T} f(x)dx=\int_{n_0*T+\Delta s}^{(n_0+1)*T+\Delta s}f(x)dx\,\red{\;=\;}\int_{\Delta s}^{\Delta s+T}f(x)dx\,,$
[/mm]
wobei das rote Gleichheitszeichen (von Dir) zu begründen ist!
Wegen $0 [mm] \le \Delta [/mm] s < T$ und der ersten Überlegung ergibt sich...?
P.S. Es bleibt dann noch der Fall $s < [mm] 0\,$; [/mm] also überlege Dir nun mal, wie Du
den Fall $s < [mm] 0\,$ [/mm] nun behandeln kannst!
P.P.S. Mach' Dir vielleicht das Ganze auch mal anhand einer Skizze klar (also
nicht nur die Behauptung, sondern auch die Vorgehensweise, die ich im
Beweis vorschlage)!
Gruß,
Marcel
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Hey
erstmal danke für die Hilfe und deine ausführliche Antwort.
> man kann das auch so lösen (ein wenig Kenntnisse über
> Substitution
> vorausgesetzt):
> Zunächst sei [mm]0 \le s \le T\,,[/mm] dann folgt mit [mm]r:=x-T\,[/mm]
>
> [mm]\int_{x=s}^{x=s+T}f(x)dx=\int_{x=s}^{x=T}f(x)dx+\int_{x=T}^{x={s+T}}f(x)dx=\int_{x=s}^{x=T}f(x)dx+\int_{r=0}^{r=s}\underbrace{f(r+T)}_{=f(r)}dr=\int_{x=0}^{x=T}f(x)dx[/mm]
die ersten Schritte verstehe ich. jedoch hänge ich bei dem letzten Schritt. Wie kommt dieser Zustande? wieso darf ich die Integrale in Abhängigkeit von x un r addieren?
>
> die Behauptung.
>
> Ist nun allgemeiner nur [mm]s > 0\,[/mm] bekannt, so wähle
>
> [mm]n_0:=\lfloor s/T\rfloor \in \IN_0\,.[/mm]
Wie kommst du darauf?
> (Hinweis: [mm]\lfloor x \rfloor[/mm]
> ist die Gaußklammer von [mm]x\,.[/mm])
>
> Dann folgt mit [mm]s:=n_0*T+\Delta s[/mm]
wie kommst du darauf?
>
> [mm]\int_{x=s}^{x=s+T} f(x)dx=\int_{n_0*T+\Delta s}^{(n_0+1)*T+\Delta s}f(x)dx\,\red{\;=\;}\int_{\Delta s}^{\Delta s+T}f(x)dx\,,[/mm]
>
> wobei das rote Gleichheitszeichen (von Dir) zu begründen
> ist!
ich finde es nur sehr schwer dies zu begründen. Ich denn ich erhalte als untere Grenze [mm] \delta [/mm] s +s und als obere Grenze [mm] \Delta [/mm] s + T + s
wieso fällt bei deinen Aufschriften jeweils das s weg?
>
> Wegen [mm]0 \le \Delta s < T[/mm] und der ersten Überlegung ergibt
> sich...?
>
>
> P.S. Es bleibt dann noch der Fall [mm]s < 0\,[/mm]; also überlege
> Dir nun mal, wie Du
> den Fall [mm]s < 0\,[/mm] nun behandeln kannst!
ich wähle wahrscheinlich wieder ein ein [mm] n_{0} [/mm] oder?
oder kann ich -s aus dem letzten Schritt verwenden? denn da habe ich ja angenommen, das s>0
also jetzt hier:
[mm] -s:=n_0*T+\Delta [/mm] s
[mm] \gdw: [/mm] s:= [mm] -n_0*T-\Delta [/mm] s
[mm]\int_{x=s}^{x=s+T} f(x)dx=\int_{-n_0*T-\Delta s}^{(-n_0+1)*T-\Delta s}f(x)dx\,\red{\;=\;}\int_{\Delta s}^{\Delta s+T}f(x)dx\,,[/mm]
wobei der letzte Schritt hier keinen sinn für mich macht...
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:30 Di 06.05.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey
> erstmal danke für die Hilfe und deine ausführliche
> Antwort.
>
> > man kann das auch so lösen (ein wenig Kenntnisse über
> > Substitution
> > vorausgesetzt):
> > Zunächst sei [mm]0 \le s \le T\,,[/mm] dann folgt mit [mm]r:=x-T\,[/mm]
> >
> >
> [mm]\int_{x=s}^{x=s+T}f(x)dx=\int_{x=s}^{x=T}f(x)dx+\int_{x=T}^{x={s+T}}f(x)dx=\int_{x=s}^{x=T}f(x)dx+\int_{r=0}^{r=s}\underbrace{f(r+T)}_{=f(r)}dr=\int_{x=0}^{x=T}f(x)dx[/mm]
>
> die ersten Schritte verstehe ich. jedoch hänge ich bei dem
> letzten Schritt. Wie kommt dieser Zustande? wieso darf ich
> die Integrale in Abhängigkeit von x un r addieren?
ihr habt doch sicher die Regel
[mm] $\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b [/mm] f(x)dx$
mit $a [mm] \le [/mm] c [mm] \le [/mm] b$ gelernt - ansonsten kann man sich die auch schnell selbst
herleiten. Und ob ich nun
[mm] $\int_{a}^b [/mm] f(x)dx$
oder
[mm] $\int_{a}^b [/mm] f(v)dv$
oder
...
schreibe, ist doch egal - das ist rein per Definitionem des Symbols (Integral
über [mm] $f\,$ [/mm] in den Grenzen von [mm] $a\,$ [/mm] bis [mm] $b\,$) [/mm] klar!
> >
> > die Behauptung.
> >
> > Ist nun allgemeiner nur [mm]s > 0\,[/mm] bekannt, so wähle
> >
> > [mm]n_0:=\lfloor s/T\rfloor \in \IN_0\,.[/mm]
>
> Wie kommst du darauf?
Mach's Dir erstmal an einem Beispiel klar: Nehmen wir mal an, Du hast
eine $2,7$-periodische Funktion [mm] $f\,$ [/mm] - und nehmen wir an, es wäre
[mm] $\int_{9}^{11,7}f(s)ds$ [/mm] (beachte: [mm] $11,7=9+2,7\,$)
[/mm]
zu berechnen. Schreib' Dir mal speziell für dieses Beispiel hin, was ich da
mache!
> > (Hinweis: [mm]\lfloor x \rfloor[/mm]
> > ist die Gaußklammer von [mm]x\,.[/mm])
> >
> > Dann folgt mit [mm]s:=n_0*T+\Delta s[/mm]
>
> wie kommst du darauf?
Naja, dass man
[mm] $s=n_0*T+\Delta [/mm] s$
schreiben kann, ist doch klar - dafür würde man einfach
[mm] $\Delta s:=s-n_0*T$
[/mm]
definieren. Dass in der Tat
$0 [mm] \le \Delta [/mm] s < T$
gilt, ist eher das, was Du Dir per Definitionem von [mm] $n_0$ [/mm] dann überlegen
solltest.
Beispiel oben:
[mm] $T=2,7\,;$ $n_0=3$
[/mm]
liefert
[mm] $9-3*2,7=0,9=\Delta s\,$
[/mm]
und damit
$0 [mm] \le \Delta [/mm] s < [mm] 2,7\,.$
[/mm]
> >
> > [mm]\int_{x=s}^{x=s+T} f(x)dx=\int_{n_0*T+\Delta s}^{(n_0+1)*T+\Delta s}f(x)dx\,\red{\;=\;}\int_{\Delta s}^{\Delta s+T}f(x)dx\,,[/mm]
>
> >
> > wobei das rote Gleichheitszeichen (von Dir) zu begründen
> > ist!
>
> ich finde es nur sehr schwer dies zu begründen. Ich denn
> ich erhalte als untere Grenze [mm]\delta[/mm] s +s und als
> obere Grenze [mm]\Delta[/mm] s + T + s
>
> wieso fällt bei deinen Aufschriften jeweils das s weg?
Es gilt mit [mm] $v:=x-n_0*T$
[/mm]
[mm] $\int_{x=s}^{x=s+T} f(x)dx=\int_{x=n_0*T+\Delta s}^{x=n_0*T+\Delta s+T} f(x)dx=\int_{v=\Delta s}^{v=\Delta s+T}f(v+n_0*T)dv\,,$
[/mm]
und nun beachte
[mm] $f(v+n_0*T)=f(v)\,$ [/mm] (warum?).
>
> >
> > Wegen [mm]0 \le \Delta s < T[/mm] und der ersten Überlegung ergibt
> > sich...?
> >
> >
> > P.S. Es bleibt dann noch der Fall [mm]s < 0\,[/mm]; also überlege
> > Dir nun mal, wie Du
> > den Fall [mm]s < 0\,[/mm] nun behandeln kannst!
>
> ich wähle wahrscheinlich wieder ein ein [mm]n_{0}[/mm] oder?
> oder kann ich -s aus dem letzten Schritt verwenden? denn
> da habe ich ja angenommen, das s>0
> also jetzt hier:
> [mm]-s:=n_0*T+\Delta[/mm] s
>
> [mm]\gdw:[/mm] s:= [mm]-n_0*T-\Delta[/mm] s
> [mm]\int_{x=s}^{x=s+T} f(x)dx=\int_{-n_0*T-\Delta s}^{(-n_0+1)*T-\Delta s}f(x)dx\,\red{\;=\;}\int_{\Delta s}^{\Delta s+T}f(x)dx\,,[/mm]
>
> wobei der letzte Schritt hier keinen sinn für mich
> macht...
> LG
Schreib' Dir halt vielleicht erstmal alles analog auf, wenn Du bei obigen
Beispiel
[mm] $\int_{-9}^{-6,3} [/mm] f(r)dr$
für eine [mm] $2,7\,$-periodische [/mm] Funktion wählen wolltest. Hier könnte man
ein analoges [mm] $n_0$ [/mm] wählen:
Hier würde man doch
[mm] $-9=\blue{(-4)}*2,7+1,8$
[/mm]
schreiben wollen... und [mm] $-4=\lfloor [/mm] -9/2,7 [mm] \rfloor$ [/mm] passt...
Was man aber auch machen kann, wenn man sich dazu nicht allzu viele
Gedanken machen wollte:
Ist $s < [mm] 0\,,$ [/mm] so beachtet man mit [mm] $y:=-x\,$
[/mm]
[mm] $\int_{x=s}^{x=s+T}f(x)dx=\int_{y=-s}^{y=-s-T}f(-y)*(-dy)=\int_{y=-(s+T)}^{-s}f(-y)dy$
[/mm]
Mit [mm] $\phi(y):=-y$ [/mm] ist aber auch
$f [mm] \circ \phi$
[/mm]
[mm] $T\,$-periodisch [/mm] (warum?), so dass wir oben (welche Substitution?)
schreiben können
[mm] $=\int_{w=-s}^{w=-s+T} [/mm] (f [mm] \circ \phi)(w)dw\,.$
[/mm]
Am Ende benutzt Du dann mit [mm] $u:=-w\,$
[/mm]
[mm] $\int_{w=0}^{w=T}(f \circ \phi)(w)dw=\int_{u=-0}^{u=-T}f(u)*(-du)$
[/mm]
und bist fast fertig - nach noch einer kleinen Substitution.
P.S. Eventuell kann man hier - mit einer geeignete(ren) Substitution - das
Ganze auch noch ein wenig verkürzen. Aber das habe ich nun noch nicht
genauer getestet...
P.P.S Ich habe den Artikel nicht detailliert geprüft, wäre also nett, wenn
jemand Zeit und Lust hat, wenn jemand drüberguckt und mir ggf.
Hinweise auf eventuelle Fehler gibt.
Gruß,
Marcel
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