Integral sinc < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 Do 09.07.2009 | | Autor: | Achtzig |
Hallo!
Also ich soll zeigen dass das Integral der sinc-fkt = [mm] \pi/2 [/mm] ist. habs auch fast fertig mir fehlt nur ein zwischenschritt..
ich muss von exp(-tx) * sin(x) auf = [mm] 1/(1+x^2) [/mm] kommen
aber ich weiß nicht wieso das ist bzw was ich da für einen zwischenschritt verwenden kann? kann mir da jemand helfen?
Danke schonmal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:43 Do 09.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Achtzig!
Wäre schön, wenn Du uns die vollständige Aufgabenstellung (z.B. auch die Integrationsgrenzen) sowie die Rechenschritte posten würdest, wie Du auf dieses Ergebnis gekommen bist.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:52 Do 09.07.2009 | | Autor: | Achtzig |
http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_integral
genau die oberste zeile ist zu zeigen!
habs auch mittlerweile alles soweit gecheckt, ausser dasses bei uns vereinfacht ist, dass [mm] \beta [/mm] = 1 ist
jetzt verstehe ich den oben genannten schritt nur nicht. das ist im link der schritt wo steht:
This integral is made much simpler by recalling Euler's formula
gruß achtzig
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Hallo Achtzig,
> http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_integral
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> genau die oberste zeile ist zu zeigen!
> habs auch mittlerweile alles soweit gecheckt, ausser
> dasses bei uns vereinfacht ist, dass [mm]\beta[/mm] = 1 ist
> jetzt verstehe ich den oben genannten schritt nur nicht.
> das ist im link der schritt wo steht:
> This integral is made much simpler by recalling Euler's
> formula
Nun, aus den Eulerschen Identitäten
[mm]e^{ix}=\cos\left(x\right)+i*\sin\left(x\right)[/mm]
[mm]e^{-ix}=\cos\left(x\right)-i*\sin\left(x\right)[/mm]
folgt
[mm]\sin\left(x\right)=\bruch{1}{2i}*\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)[/mm]
Setzt Du das in den Integranden, wird dieser einfacher:
[mm]\integral_{}^{}{e^{-tx}*\sin\left(x\right) \ dx}=\bruch{1}{2i}\integral_{}^{}{e^{-tx}* \left(e^{ix}-e^{-ix}\right)\ dx}[/mm]
Und das ist wesentlich leichter zu integrieren.
>
> gruß achtzig
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Do 09.07.2009 | | Autor: | Achtzig |
ja okay deine schritte verstehe ich aber ich weiß ehrloich gesagt nicht wie ich das jetzt leicher integrieren kann?
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Hallo Achtzig,
> ja okay deine schritte verstehe ich aber ich weiß ehrloich
> gesagt nicht wie ich das jetzt leicher integrieren kann?
Fasse den Integranden etwas zusammen.
Dann hast Du die Differenz zweier Exponentialfunktionen.
Und die Stammfunktion von [mm]e^{ax}[/mm] ist ja bekannt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Do 09.07.2009 | | Autor: | Achtzig |
irgendwie führt mich das aber nicht dahin wo ich hin wollte.
weil ich weiß, dass die stammfunktion von [mm] 1/(1+x^2) [/mm] --> arctan(x) ist. (soll in der aufgabe ausgenutzt werden)
also brauch ich ja nur von dem exp(-tx) * sin(x) auf den Ausdruck [mm] 1/(1+x^2) [/mm] kommen und noch gar keine stammfunktion bilden
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Hallo Achtzig,
> irgendwie führt mich das aber nicht dahin wo ich hin
> wollte.
> weil ich weiß, dass die stammfunktion von [mm]1/(1+x^2)[/mm] -->
> arctan(x) ist. (soll in der aufgabe ausgenutzt werden)
> also brauch ich ja nur von dem exp(-tx) * sin(x) auf den
> Ausdruck [mm]1/(1+x^2)[/mm] kommen und noch gar keine stammfunktion
> bilden
[mm]\integral_{}^{}{e^{-tx}*\sin\left(x\right) \ dt}[/mm]
ist der Imaginärteil des Integrals [mm]\integral_{}^{}{e^{-tx}*e^{ix} \ dt}[/mm]
Dieser Imaginärteil ist dann gleichzusetzen mit [mm]\bruch{df}{dt}[/mm].
Dann mußt Du nur noch nach t integrieren.
Gruß
MathePower
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