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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:15 Mo 14.02.2011 | | Autor: | Kueken |
Hi!
Ich habe bei der Berechnung dieses Integrals [mm] \integral_{-\pi}^{\pi}{sin(nx)cos(mx) dx} [/mm] Probleme.
Man hat mir gesagt, dass ich das wegen des symmetrischen Intervalls lösen kann. Ich weiß aber nicht wie mir das weiterhilft. Außerdem hieß es noch das cos gerade und sin ungerade ist. Hab ich auch nicht wirklich verstanden was mir das hier helfen soll. n und m sind im Übrigen aus den ganzen Zahlen.
Dann noch eine Frage dazu. Wenn das Intervall jetzt nicht symmetrisch wäre, wie würde ich dann vorgehen. Also sagen wir z.B. von -3/4 [mm] \pi [/mm] bis [mm] \pi?
[/mm]
LG
Kerstin
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Hallo Kueken,
> Hi!
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> Ich habe bei der Berechnung dieses Integrals
> [mm]\integral_{\-pi}^{pi}{sin(nx)cos(mx) dx}[/mm] Probleme.
> Man hat mir gesagt, dass ich das wegen des symmetrischen
> Intervalls lösen kann. Ich weiß aber nicht wie mir das
> weiterhilft. Außerdem hieß es noch das cos gerade und sin
> ungerade ist. Hab ich auch nicht wirklich verstanden was
> mir das hier helfen soll. n und m sind im Übrigen aus den
> ganzen Zahlen.
Nun, dann ist der Integrand insgesamt eine ungerade Funktion.
Stammfunktion ist demnach eine gerade Funktion.
Dann ist der Wert dieser Stammfunktion von [mm]-\pi[/mm] bis [mm]+\pi[/mm] ...
> Dann noch eine Frage dazu. Wenn das Intervall jetzt nicht
> symmetrisch wäre, wie würde ich dann vorgehen. Also sagen
> wir z.B. von -3/4 [mm]\pi[/mm] bis [mm]\pi?[/mm]
Nun, dann musst Du hier die Stammfunktion berechnen.
>
> LG
> Kerstin
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Mo 14.02.2011 | | Autor: | Kueken |
Ja, aber erstens weiß ich ja eben nicht was mir gerade und ungerade sagt und auch nicht warum aus einer ungeraden eine gerade durch Integrieren wird.
Und zu der anderen Frage, es geht ja genau darum, dass ich nicht weiß, wie ich die Stammfunktion berechne.
Sorry, aber ich glaub du hast mich nicht ganz verstanden =) Aber danke dir trotzdem für den Versuch :)
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Hallo Kueken,
> Ja, aber erstens weiß ich ja eben nicht was mir gerade und
> ungerade sagt und auch nicht warum aus einer ungeraden eine
> gerade durch Integrieren wird.
Nun, eine gerade Funktion bedeutet:[mm]f\left(x\right)=f\left(-x\right)[/mm]
Ungerade Funktion bedeutet: [mm]f\left(x\right)=-f\left(-x\right)[/mm]
Eine gerade Funktion is t daher achsensymmetrisch zur y-Achse,
während eine ungerade Funktion punktsymmetrische zum Koordinatenursprung ist.
Mehr dazu: ![[]](/images/popup.gif) Gerade und ungerade Funktion
>
> Und zu der anderen Frage, es geht ja genau darum, dass ich
> nicht weiß, wie ich die Stammfunktion berechne.
Stelle den Integranden wie folgt dar:
[mm]\sin\left(nx\right)*\cos\left(mx\right)=a*\sin\left(\ \left(n+m\right)*x \ \right)+b*\sin\left(\ \left(n-m\right)*x \ \right)[/mm]
>
> Sorry, aber ich glaub du hast mich nicht ganz verstanden =)
> Aber danke dir trotzdem für den Versuch :)
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Mo 14.02.2011 | | Autor: | Kueken |
Ok, das mit dem ungerade , gerade ist mir jetzt klar. Danke dir!
Nochmal zum Anfangsintegral: Ich weiß also, dass sinus ungerade ist, der cosinus gerade. Wenn ich beide multipliziere kommt also was ungerades heraus. Und die Stammfunktion ist dann gerade. Soweit richtig? Aber was weiß ich über gerade Funktionen? Das Integral über eine gerade funktion ist doch nicht 0. Und n und m tauchen nirgends auf. Und die Periodizität des Intervalls acuh nicht.. aiaiaiai... *help*
Bei meiner kleinen Abweichung: Wie kommst du auf diese Darstellung?
Dankeschön erstmal und
Viele Grüße
Kerstin
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> Ok, das mit dem ungerade , gerade ist mir jetzt klar. Danke
> dir!
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> Nochmal zum Anfangsintegral: Ich weiß also, dass sinus
> ungerade ist, der cosinus gerade. Wenn ich beide
> multipliziere kommt also was ungerades heraus. Und die
> Stammfunktion ist dann gerade. Soweit richtig?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Ja.
> Aber was
> weiß ich über gerade Funktionen? Das Integral über eine
> gerade funktion ist doch nicht 0.
wir müssen ja gar nicht mehr integrieren, sondern nur
noch die gerade Stammfunktion F auswerten:
[mm] $\integral_{-\pi}^{\pi} [/mm] f(x)\ dx\ =\ [mm] F(\pi)-F(-\pi)$ [/mm]
Weil F gerade ist, ist [mm] F(-\pi)=F(\pi), [/mm] also $\ [mm] F(\pi)-F(-\pi)\ [/mm] =\ 0$
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Mo 14.02.2011 | | Autor: | Kueken |
=) *strahl* Danke dir. Jetzt hats klick gemacht...
Ok, dann müsst ich ja jetzt nur noch wissen, wie man darauf kommt : $ [mm] \sin\left(nx\right)\cdot{}\cos\left(mx\right)=a\cdot{}\sin\left(\ \left(n+m\right)\cdot{}x \ \right)+b\cdot{}\sin\left(\ \left(n-m\right)\cdot{}x \ \right) [/mm] $
Für den Fall, dass mal gemeinere Integrale kommen...
Lg
Kerstin
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Hallo Kueken,
> =) *strahl* Danke dir. Jetzt hats klick gemacht...
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> Ok, dann müsst ich ja jetzt nur noch wissen, wie man
> darauf kommt :
> [mm]\sin\left(nx\right)\cdot{}\cos\left(mx\right)=a\cdot{}\sin\left(\ \left(n+m\right)\cdot{}x \ \right)+b\cdot{}\sin\left(\ \left(n-m\right)\cdot{}x \ \right)[/mm]
Auf der linken Seite steht das Produkt von sin(nx) und cos(mx)
Dieses Produkt kommt in den Additionstheoremen
[mm]\sin\left( \ \left(n+m\right)*x \ \right)[/mm]
und
[mm]\sin\left( \ \left(n-m\right)*x \ \right)[/mm]
vor.
>
> Für den Fall, dass mal gemeinere Integrale kommen...
>
> Lg
> Kerstin
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 Mo 14.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
rechte Seite Additionstheorem, dann Koeffizientenvergleich .
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Mo 14.02.2011 | | Autor: | Kueken |
Ok, das Additionstheorem hab ich gefunden, aber wovon hängen a und b ab?
Also wenn ich n=4 und m=7 beispielsweise setze, müssten für a und b ja bestimmte Werte in Abhängigkeit von den Werten rauskommen, die ich eingesetzt habe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Mo 14.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
hatte ich doch gesagt, hinschreiben und Koeffizientenvergleich. dabei siehst du auch, dass a,b nicht von n,m abhängen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:51 Mo 14.02.2011 | | Autor: | Kueken |
Ahso, muss ich selbst ausrechnen. Ok :) geschnallt.
Danke dir!
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> Hi!
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> Ich habe bei der Berechnung dieses Integrals
> [mm]\integral_{\-pi}^{pi}{sin(nx)cos(mx) dx}[/mm] Probleme.
> Man hat mir gesagt, dass ich das wegen des symmetrischen
> Intervalls lösen kann.
Hallo Kerstin,
wenn man das Integral, so wie es hier erscheint, für
bare Münze nimmt, dann sollte es gar kein Problem
geben: Untergrenze = Obergrenze = pi , also Integralwert = 0
TeX hat das Minuszeichen, das du in [mm] \backslash{-pi} [/mm] zwar
geschrieben hast, verschluckt ...
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:00 Mo 14.02.2011 | | Autor: | Kueken |
hab gesehen =) schon geändert, danke!
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