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| Aufgabe | | Sei f [mm] \in L^1(\mu). [/mm] Dann existiert zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] > 0, sodass [mm] \int_{E} [/mm] |f| [mm] d\mu [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] sofern, [mm] \mu(E) [/mm] < [mm] \delta. [/mm] |
Hallo zusammen!
Beschäftige mich gerade mit Maß- und Integrationstheorie und arbeite dazu mit Rudin reelle und komplexe Analysis. Darin findet sich obige Aufgabe, mit der ich gerade etwas kämpfe.
Wie würdet ihr das angehen?
Ich habe mir überlegt, das Integral folgendermaßen abzuschätzen:
[mm] \int_{E} [/mm] |f| [mm] d\mu [/mm] < sup|f| [mm] \mu(E).
[/mm]
Wenn |f| beschränkt ist, wäre das ja schon nicht schlecht, aber f kann ja auch unbeschränkt sein. Zumindest auf einer Menge vom Maß 0, sonst wäre f nicht mehr in L1.
Über Hilfe wäre ich sehr dankbar!
VG
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Hiho,
> Wie würdet ihr das angehen?
der Beweis ist nicht "schnell" hingeschrieben, aber schwer ist er auch nicht.
> Wenn |f| beschränkt ist, wäre das ja schon nicht
> schlecht, aber f kann ja auch unbeschränkt sein. Zumindest
> auf einer Menge vom Maß 0, sonst wäre f nicht mehr in
> L1.
Die Aussage stimmt nicht!
Die wenigsten f in [mm] L^1 [/mm] sind beschränkt!
Was aber gilt, ist, dass f nicht unendlich werden kann. Das heißt aber NICHT, dass es unbeschränkt ist!
Bspw ist $f(x) = [mm] \bruch{1}{\sqrt{x}} \in L^1\left([0,1]\right)$, [/mm] aber f ist auf jedem Intervall $[0,x], [mm] x\in [/mm] (0,1]$ unbeschränkt.
> Über Hilfe wäre ich sehr dankbar!
Definiere dir:
[mm] $g_n(x) [/mm] = [mm] \begin{cases} |f(x)|, & \mbox{für } |f(x)| \le n \\ n, & \mbox{für } |f(x)| > n \end{cases}$
[/mm]
dann gilt [mm] $g_n \to [/mm] |f|$ sowie (warum?):
[mm] $\lim_{n\to\infty} \integral_E\, g_n\,d\mu [/mm] = [mm] \integral_E\, |f|\, d\mu$
[/mm]
und damit für jedes [mm] \varepsilon [/mm] ein [mm] n_0 [/mm] so dass für alle [mm] $n\ge n_0$:
[/mm]
$0 [mm] \le \integral_E\, \left(|f| - g_n\right)\,d\mu [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon}{2}$
[/mm]
Setze [mm] $\delta [/mm] := [mm] \bruch{\varepsilon}{2n_0}$, [/mm] dann gilt:
[mm] $\integral_E\, |f|\, d\mu \le \integral_E\, [/mm] |f| - [mm] g_{n_0}\, d\mu [/mm] + [mm] \integral_E\, g_{n_0}\, d\mu \le \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] + [mm] n_0*\mu(E) \le \varepsilon$
[/mm]
MFG,
Gono.
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Vielen Dank für deine schnelle und verständliche Hilfe, Gono!
Habe jetzt ein bisschen drüber nachgedacht und verstanden was passiert.
Dein wieso? bezog sich auf das Vertauschen von GW und Integral, da kann ich doch den Satz von Lebesgue über dominierte Konvergenz anwenden. Die [mm] g_n [/mm] sind messbar und der Grenzwert existiert, |f| dominiert [mm] g_n [/mm] und ist eine [mm] L^1 [/mm] Funktion, damit sind die Voraussetzungen erfüllt, oder?
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Hiho,
> Dein wieso? bezog sich auf das Vertauschen von GW und
> Integral, da kann ich doch den Satz von Lebesgue über
> dominierte Konvergenz anwenden. Die [mm]g_n[/mm] sind messbar und
> der Grenzwert existiert, |f| dominiert [mm]g_n[/mm] und ist eine [mm]L^1[/mm]
> Funktion, damit sind die Voraussetzungen erfüllt, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und nächstemal die Frage noch als Frage formulieren und nicht als Mitteilung und alles ist toll 
MFG,
Gono.
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