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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Mo 19.11.2012 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | Berechnen Sie für [mm] $\alpha [/mm] > 0$ das Integral
[mm] $\frac{1}{\omega_d}\int_{B_1(0)} |x|^{-\alpha}\;d\lambda^d(x)$. [/mm]
Unter welchen Bedingungen an $d$ und [mm] $\alpha$ [/mm] ist das Integral endlich?
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Eigene Hinweise zur Aufgabe:
Verwenden werden soll wir folgende Beziehung:
Für Maßraum [mm] $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ [/mm] und messbare Funktion [mm] $f\colon \Omega \to [/mm] [0, [mm] \infty]$ [/mm] gilt:
[mm] $\int_{\Omega} f\; d\mu [/mm] = [mm] \int_{[0, \infty)} \mu (\{x\in\Omega : f(x)> t\})\;d\lambda^1(t)$. $(\star)$
[/mm]
Außerdem: [mm] $\omega_d:= \lambda^d(B_1(0))$ [/mm] und für [mm] $x\in\mathbb{R}^d$ [/mm] sei [mm] $|x|:=\lVert x\rVert_2$. [/mm] |
Hallo mal wieder,
da ich bei dieser Aufgabe nicht wirklich weiter komme, brauche ich mal wieder eure Hilfe. Bis jetzt habe ich nur Folgendes:
[mm] $\frac{1}{\omega_d}\int_{B_1(0)} |x|^{-\alpha}\;d\lambda^d(x) \overset{\star}{=} \frac{1}{\omega_d}\int_{[0, \infty)} \Big(\lambda^d\left(\{x\in B_1(0) : |x|^{-\alpha} > t\}\right)\Big)\; d\lambda^1(x)$ [/mm]
Ich habe bis jetzt also nur erfolgreich eingesetzt. Ich habe jetzt aber keine Ahnung, wie ich weitermachen kann. Ich habe schon mal [mm] $\lambda^d\left(\{x\in B_1(0) : |x|^{-\alpha} > t\}\right)$ [/mm] aufgeteilt in [mm] $\lambda^d\left(B_1(0)\right)-\lambda^d\left(\{x\in B_1(0) : |x|^{-\alpha} \leqslant t\}\right)$, [/mm] und habe gehofft, dass bringt mich weiter, aber irgendwie tut es das ja nicht.
Ich habe auch [mm] $(\star)$ [/mm] schon in einer vorherigen Aufgabe bewiesen (glaube ich zumindest, da ich die Korrektur noch nicht gesehen habe), aber anwenden kann ich es scheinbar nicht.
Könnt ihr mir hier weiterhelfen? Vielleicht reicht mir ja auch schon ein Beispiel, um zu sehen, wie das überhaupt funktioniert, aber ich habe zu der Gleichung [mm] $(\star)$ [/mm] auch literaturtechnisch nichts gefunden (ich hatte mal auf ein Beispiel gehofft), nur etwas zur Tschebyscheff-Ungleichung, die ja praktisch genauso aussieht, mit der ich aber nichts anfangen kann, da ich von Wahrscheinlichkeitstheorie keine Ahnung habe.
Ich werde ja wahrscheinlich irgendwie [mm] $\lambda^d\left(\{x\in B_1(0) : |x|^{-\alpha} > t\}\right)$ [/mm] als Funktion von $t$ ausdrücken müssen, damit ich dann irgendwie argumentieren kann, dass ich das Ganze "Riemann-integrieren" kann, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:13 Di 20.11.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechnen Sie für [mm]\alpha > 0[/mm] das Integral
>
> [mm]\frac{1}{\omega_d}\int_{B_1(0)} |x|^{-\alpha}\;d\lambda^d(x)[/mm].
>
> Unter welchen Bedingungen an [mm]d[/mm] und [mm]\alpha[/mm] ist das Integral
> endlich?
>
>
>
>
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> Eigene Hinweise zur Aufgabe:
>
> Verwenden werden soll wir folgende Beziehung:
>
> Für Maßraum [mm](\Omega, \mathcal{A}, \mu)[/mm] und messbare
> Funktion [mm]f\colon \Omega \to [0, \infty][/mm] gilt:
>
> [mm]\int_{\Omega} f\; d\mu = \int_{[0, \infty)} \mu (\{x\in\Omega : f(x)> t\})\;d\lambda^1(t)[/mm].
> [mm](\star)[/mm]
>
> Außerdem: [mm]\omega_d:= \lambda^d(B_1(0))[/mm] und für
> [mm]x\in\mathbb{R}^d[/mm] sei [mm]|x|:=\lVert x\rVert_2[/mm].
>
> Hallo mal wieder,
>
> da ich bei dieser Aufgabe nicht wirklich weiter komme,
> brauche ich mal wieder eure Hilfe. Bis jetzt habe ich nur
> Folgendes:
>
> [mm]\frac{1}{\omega_d}\int_{B_1(0)} |x|^{-\alpha}\;d\lambda^d(x) \overset{\star}{=} \frac{1}{\omega_d}\int_{[0, \infty)} \Big(\lambda^d\left(\{x\in B_1(0) : |x|^{-\alpha} > t\}\right)\Big)\; d\lambda^1(x)[/mm]
Übertragungsfehler:
[mm]\frac{1}{\omega_d}\int_{B_1(0)} |x|^{-\alpha}\;d\lambda^d(x) \overset{\star}{=} \frac{1}{\omega_d}\int_{[0, \infty)} \Big(\lambda^d\left(\{x\in B_1(0) : |x|^{-\alpha} > t\}\right)\Big)\; d\lambda^1(\red{t})[/mm]
> Ich habe bis jetzt also nur erfolgreich eingesetzt. Ich
> habe jetzt aber keine Ahnung, wie ich weitermachen kann.
> Ich habe schon mal [mm]\lambda^d\left(\{x\in B_1(0) : |x|^{-\alpha} > t\}\right)[/mm]
> aufgeteilt in
> [mm]\lambda^d\left(B_1(0)\right)-\lambda^d\left(\{x\in B_1(0) : |x|^{-\alpha} \leqslant t\}\right)[/mm],
> und habe gehofft, dass bringt mich weiter, aber irgendwie
> tut es das ja nicht.
>
> Ich habe auch [mm](\star)[/mm] schon in einer vorherigen Aufgabe
> bewiesen (glaube ich zumindest, da ich die Korrektur noch
> nicht gesehen habe), aber anwenden kann ich es scheinbar
> nicht.
>
> Könnt ihr mir hier weiterhelfen? Vielleicht reicht mir ja
> auch schon ein Beispiel, um zu sehen, wie das überhaupt
> funktioniert, aber ich habe zu der Gleichung [mm](\star)[/mm] auch
> literaturtechnisch nichts gefunden (ich hatte mal auf ein
> Beispiel gehofft), nur etwas zur Tschebyscheff-Ungleichung,
> die ja praktisch genauso aussieht, mit der ich aber nichts
> anfangen kann, da ich von Wahrscheinlichkeitstheorie keine
> Ahnung habe.
>
> Ich werde ja wahrscheinlich irgendwie [mm]\lambda^d\left(\{x\in B_1(0) : |x|^{-\alpha} > t\}\right)[/mm]
> als Funktion von [mm]t[/mm] ausdrücken müssen, damit ich dann
> irgendwie argumentieren kann, dass ich das Ganze
> "Riemann-integrieren" kann, oder?
Die Ungleichung [mm] $|x|^{-\alpha} [/mm] > t$ beschreibt doch einen offenen Ball vom Radius [mm] $t^{-1/\alpha}$, [/mm] also ist
[mm]\{x\in B_1(0) : |x|^{-\alpha} > t\} = B_{t^{-1/\alpha}}(0)\cap B_1(0)[/mm] .
Damit kannst du den Integranden als Funktion von t angeben.
Viele Grüße
Rainer
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> Die Ungleichung [mm]|x|^{-\alpha} > t[/mm] beschreibt doch einen
> offenen Ball vom Radius [mm]t^{-1/\alpha}[/mm], also ist
>
> [mm]\{x\in B_1(0) : |x|^{-\alpha} > t\} = B_{t^{-1/\alpha}}(0)\cap B_1(0)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> .
>
> Damit kannst du den Integranden als Funktion von t
> angeben.
>
> Viele Grüße
> Rainer
>
Hallo Rainer, danke für deine Hife! Ich bin in der Zwischenzeit, bevor ich deinen Tipp gelesen habe, auch noch durch Hinweise von jemand anders ein bisschen weitergekommen:
$\frac{1}{\omega_d}\int_{B_1(0)} |x|^{-\alpha}\;d\lambda^d(x) =\frac{1}{\omega_d}\int_{[0, \infty)} \Big(\lambda^d\left(\{x\in B_1(0) : |x|^{-\alpha} > t\}\right)\Big)\; d\lambda^1(t)=\frac{1}{\omega_d}\int_{[0, \infty)} \Big(\lambda^d\left(\{x\in \mathbb{R}^d : |x| > t^{-\alpha^{-1}} \wedge |x|\leqslant 1\}\right)\Big)\; d\lambda^1(t)$
$=\frac{1}{\omega_d}\left[\int_{[0, 1)} \lambda^d(B_1(0))\; d\lambda^1(t)-\int_{(1, \infty)} \lambda^d({x\in\mathbb{R}^d: |x|\leqslant t^{-\alpha^{-1}})\; d\lambda^1(t)\right]=\frac{1}{\omega_d}\;\omega_d-\frac{1}{\omega_d}\int_{(1, \infty)} \lambda^d({x\in\mathbb{R}^d: |x|\leqslant t^{-\alpha^{-1}})\; d\lambda^1(t)=1-\frac{1}{\omega_d}\int_{(1, \infty)} \lambda^d({x\in\mathbb{R}^d: |x|\leqslant t^{-\alpha^{-1}})\; d\lambda^1(t)=1-\frac{1}{\omega_d}\int_{(1, \infty)} \lambda^d(B_{t^{-\alpha^{-1}}}(0))\; d\lambda^1(t)$
Kann ich dann $\lambda^d(B_{t^{-\alpha^{-1}}}(0))$ darstellen als Produkt von $\lambda^d(B_1(0))$ mit $t$, in irgendeiner Form? Ich denke mal, dass dann an dieser Stelle die Dimension mit einfließen würde. Es ist aber nicht einfach $\lambda^d(B_{t^{-\alpha^{-1}}}(0))=\lambda^d(B_1(0))\cdot t^{-d/\alpha}=\omega_d\cdot t^{-d/\alpha}$, oder? Meinst(est) du sowas mit "Damit kannst du den Integranden als Funktion von t angeben."
Oder auch: Kann man $B_{t^{-1/\alpha}}(0)$ ausdrücken als $B_{t^{-1/\alpha}}(0)=(t^{-1/\alpha}\cdot E_d) \big(B_1(0)\big)$ mit $E_d$ als Einheitsmatrix? Dann wäre ja $\lambda^d(B_{t^{-1/\alpha}}(0))=\left\lvert \det(t^{-1/\alpha}\cdot E_d) \right\rvert \lambda^d(B_1(0))=t^{-d/\alpha}\cdot \omega_d$.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 22.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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