Integral über Einheitskugel < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Ole-Wahn |
| Aufgabe | | Integrieren sie [mm] $\frac{1}{1+x^2+y^2+z^2}$ [/mm] über die 3-dimensionale Einheitskugel |
Hi,
also die Einheitskugel im [mm] $\IR^3$ [/mm] ist ja [mm] $K_3= \lbrace [/mm] (x,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] | [mm] x^2+y^2+z^2=1\rbrace$. [/mm]
D.h. gesucht ist der Wert
[mm] $\int_{K_3} {\frac{1}{1+x^2+y^2+z^2}}d(x,y,z)$
[/mm]
Die Funktion ist ja stetig diff'bar und [mm] $K_3$ [/mm] ist kompakt, also theoretisch könnte man Fubini anwenden. Allerdings kann ich meine Menge [mm] $K_3$ [/mm] ja nicht als kartesisches Produkt schreiben. Dann riechts nach Koordinatentranformation, oder?
Jemand, der ne Idee hat? Wär super!!
lg, Ole
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Die Überschrift deiner Aufgabe sagt es: Variablentransformation - hier natürlich Kugelkoordinaten. Übrigens dürfte hier mit "Einheitskugel" nicht der Kugelrand gemeint sein (der wäre ja dreidimensional betrachtet eine Nullmenge, so daß das Integral 0 wäre), sondern die Vollkugel.
[mm]x = r \cdot \cos{\varphi} \cdot \cos{\vartheta} \, , \ \ y = r \cdot \sin{\varphi} \cdot \cos{\vartheta} \, , \ \ z = r \cdot \sin{\vartheta} \, ; \ \ \mathrm{d}(x,y,z) = r^2 \cos{\vartheta}~\mathrm{d}(r , \varphi , \vartheta)[/mm]
Und bekanntermaßen gilt damit [mm]x^2 + y^2 + z^2 = r^2[/mm], so daß sich der Integrand recht einfach darstellt.
Und die "krumme" Einheitskugel zeigt sich in den neuen Koordinaten als kartesisches Produkt von Intervallen, somit als Quader: Fubinissime!
Ich habe als Integralwert [mm]4 \pi - \pi^2[/mm] erhalten. Ohne Gewähr!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Ole-Wahn |
Vielen Dank für die schnelle Antwort:
Klar, es muss heißen [mm] $K_3=\lbrace(x,y,z) \in \IR^3 :~x^2+y^2+z^2\leq 1\rbrace$.
[/mm]
Mit den Kugelkoordinaten krieg ich den Integranden [mm] $\frac{1}{1+r^2}$ [/mm] und die Menge über die integriert wird ist [mm] $K'=\lbrace (r,\varphi, \nu) \in \IR^3 :~r^2\leq 1\rbrace [/mm] = [-1,1] [mm] \times [/mm] [0, [mm] 2\pi] \times [/mm] [0, [mm] 2\pi]$. [/mm]
Soweit richtig? Dann krieg ich mit Fubini:
[mm] $\int_{K'} \frac{1}{1+r^2} r^2 \cos \nu d(r,\varphi, \nu) [/mm] = [mm] \int_0 ^{2\pi} \int [/mm] _0 [mm] ^{2\pi} [r-arctan(r)]^1_{-1} \cdot \cos \nu d\varphi d\nu [/mm] = [mm] (2-\frac{\pi}2 [/mm] ) [mm] \cdot \int_0^{2\pi} \int_0^{2\pi} d\varphi \cdot \cos \nu d\nu [/mm] $
[mm] $=(4\pi [/mm] - [mm] \pi^2) \int_0^{2\pi} [/mm] cos [mm] \nu d\nu =(4\pi-\pi^2)2\pi^2=8\pi^2-2\pi^4$
[/mm]
Also, wer hat sich verrechnet?
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> Vielen Dank für die schnelle Antwort:
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> Klar, es muss heißen [mm]K_3=\lbrace(x,y,z) \in \IR^3 :~x^2+y^2+z^2\leq 1\rbrace[/mm].
>
> Mit den Kugelkoordinaten krieg ich den Integranden
> [mm]\frac{1}{1+r^2}[/mm] und die Menge über die integriert wird ist
> [mm]K'=\lbrace (r,\varphi, \nu) \in \IR^3 :~r^2\leq 1\rbrace = [-1,1] \times [0, 2\pi] \times [0, 2\pi][/mm].
> Soweit richtig? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
siehe unten !
Dann krieg ich mit Fubini:
>
> [mm]\int_{K'} \frac{1}{1+r^2} r^2 cos \nu d(r,\varphi, \nu) = \int_0 ^{2\pi} \int _0 ^{2\pi} [r-arctan(r)]^1_{-1} \cdot cos \nu d\varphi d\nu = ...=4\pi^2-2\pi^3[/mm]
>
> So kommts hin, oder?
Der Winkel [mm] \theta [/mm] (bzw. dein [mm] \nu [/mm] ) läuft nicht von 0 bis 2 [mm] \pi [/mm] ,
sondern von [mm] -\pi/2 [/mm] bis [mm] \pi/2 [/mm] !
Und r geht von 0 bis 1 (nicht von -1 bis 1)
Ich habe als Ergebnis ebenfalls [mm] 4*\pi-\pi^2 [/mm] erhalten, so wie Leopold.
Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Ole-Wahn |
Also, nun bin ich verwirrt:
Es ist doch
[mm] $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}2} \cos \nu d\nu [/mm] = [mm] \left|-\sin(0) + \sin(-\frac{\pi}2) - \sin(\frac{\pi}2) + \sin(0) \right| [/mm] = 2$
Dann wäre
[mm] $\int_{K'} f(r,\varphi,\nu) r^2 \cos \nu d(r,\varphi,\nu) [/mm] = [mm] (2-\frac{\pi}2) \int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} \int_0^{2\pi} d\varphi \cos \nu d\nu [/mm] = [mm] 8\pi [/mm] - [mm] 2\pi^2$
[/mm]
Oder muss [mm] $\varphi$ [/mm] auch von [mm] $-\frac{\pi}2$ [/mm] nach [mm] $\frac{\pi}2$ [/mm] laufen? Dann würds ja hinkommen mit eurem Ergebnis.
Und woher weiß ich, wie ich die Intervalle wähle?
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> Also, nun bin ich verwirrt:
>
> Es ist doch
> [mm]\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}2} \cos \nu d\nu = \left|-\sin(0) + \sin(-\frac{\pi}2) - \sin(\frac{\pi}2) + \sin(0) \right| = 2[/mm]
die [mm] \sin(0) [/mm] sind natürlich überflüssig !
einfacher: [mm]\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}2} \cos \nu d\nu =\sin(\nu)|_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}} = sin(\bruch{\pi}{2})-sin(-\bruch{\pi}{2}) = 2[/mm]
>
> Dann wäre
> [mm]\int_{K'} f(r,\varphi,\nu) r^2 \cos \nu d(r,\varphi,\nu) = (2-\frac{\pi}2) \int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} \int_0^{2\pi} d\varphi \cos \nu d\nu = 8\pi - 2\pi^2[/mm]
Vorsicht: du hast für die Untergrenze von r noch
den falschen Wert -1 anstatt 0 benützt.
Anstatt [mm] (2-\frac{\pi}2) [/mm] sollten wir [mm] (1-\frac{\pi}4) [/mm] haben.
> Oder muss [mm]\varphi[/mm] auch von [mm]-\frac{\pi}2[/mm] nach [mm]\frac{\pi}2[/mm]
> laufen? Dann würds ja hinkommen mit eurem Ergebnis.
nein, [mm] \varphi [/mm] läuft von 0 bis 2 [mm] \pi [/mm] (oder z.B. von [mm] -\pi [/mm] bis [mm] \pi),
[/mm]
einfach einmal "rund um die Welt"...
> Und woher weiß ich, wie ich die Intervalle wähle?
Google mal "Kugelkoordinaten" !
Analogie mit den geografischen Koordinaten Länge und Breite auf der
Erdoberfläche: die Länge läuft einmal rund um den Aequator, also
von -180° bis +180° (oder von [mm] -\pi [/mm] bis [mm] \pi) [/mm] oder z.B. von 0° bis 360° (0 bis 2 [mm] \pi)
[/mm]
Die Breite läuft vom Südpol bis zum Nordpol, also von
-90° bis 90° oder von [mm] -\bruch{\pi}{2} [/mm] bis [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
Der "Breitenwinkel" entspricht dem [mm] \theta [/mm] bzw. [mm] \nu [/mm] der vorliegenden Aufgabe.
Gruß
al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Ole-Wahn |
Eine Frage noch: Wie kommst du auf
[mm] $d(x,y,z)=r^2 \cos \nu d(r,\varphi,\nu)$? [/mm]
Ist doch wie bei stinknormaler Substitution oder? Kannst du mir das vielleicht einmal "vormachen"?
Danke,
Ole
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
Das kommt von der Transformationsformel - da muss ja die Determinante der Transformationsmatrix reinmultipliziert werden.
![[]](/images/popup.gif) Kugelkoordinaten bei Wikipdia. Hier steht die Transformationsmatrix drin.
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