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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Mi 25.04.2007 | | Autor: | Hrungnir |
| Aufgabe | Seien [mm] g_{n}: [0;\infty) \to [0;\infty) [/mm] stetig diff'bare Funktionen, sodaß [mm] g_{n+1} \le g_{n} [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} g_{n}(x) [/mm] = 0 für alle x [mm] \ge [/mm] 0. Es gelte [mm] \integral_{0}^{\infty}{g_{1}(x) dx} [/mm] < [mm] \infty. [/mm]
Zeige: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{\infty}{g_{n}(x) dx} [/mm] = 0. |
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Internetforum gestellt.
Hallo,
ich meine, eine Lösung für die Aufgabe zu haben; habe dabei allerdings nicht verwendet, daß [mm] g_{n} [/mm] stetig diffbar sind. Deshalb zweifele ich an der Richtigkeit. Es wäre toll, wenn sich jmd meine Beweisskizze durchschauen könnte.
Sei [mm] \epsilon [/mm] > 0.
1) da das Integral über g1 existiert, gibt es ein [mm] x_{0}, [/mm] sodaß [mm] \integral_{x_{0}}^{\infty}{g_{1}(x) dx} [/mm] < [mm] \bruch{\epsilon}{2}. [/mm] Ebenso gilt dies für alle [mm] \integral_{x_{0}}^{\infty}{g_{n}(x) dx}, [/mm] da [mm] g_{n} [/mm] monton fallend.
2) Nun betrachte ich [mm] g_{n} [/mm] auf [mm] [0;x_{0}]. [/mm] Da dies nun ein kompaktes Intervall ist, kann ich den Satz von Dini anwenden, und [mm] g_{n} [/mm] kv also glm gegen 0 auf dem Intervall. Daraus folgt, daß ein N [mm] \in \IN [/mm] ex., sodaß [mm] \integral_{0}^{x_{0}}{g_{n}(x) dx} \le \bruch{\epsilon}{2} [/mm] für alle n > N.
3) Für alle n > N ist dann [mm] \integral_{0}^{\infty}{g_{n}(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{x_{0}}{g_{n}(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{x_{0}}^{\infty}{g_{n}(x) dx} [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
Daraus folgt die Behauptung.
Habe ich irgendwo die stetige Diff'barkeit verwendet, ohne es zu merken? Oder ist sonst ein Fehler in meinem Beweis?
Vielen Dank im Voraus,
Lorenz
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Hallo lorenz,
> Seien [mm]g_{n}: [0;\infty) \to [0;\infty)[/mm] stetig diff'bare
> Funktionen, sodaß [mm]g_{n+1} \le g_{n}[/mm] und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} g_{n}(x)[/mm] = 0 für alle x [mm]\ge[/mm] 0.
> Es gelte [mm]\integral_{0}^{\infty}{g_{1}(x) dx}[/mm] < [mm]\infty.[/mm]
> Zeige: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{\infty}{g_{n}(x) dx}[/mm]
> = 0.
> Ich habe diese Frage auf keinem anderen Internetforum
> gestellt.
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> Hallo,
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> ich meine, eine Lösung für die Aufgabe zu haben; habe dabei
> allerdings nicht verwendet, daß [mm]g_{n}[/mm] stetig diffbar sind.
> Deshalb zweifele ich an der Richtigkeit. Es wäre toll, wenn
> sich jmd meine Beweisskizze durchschauen könnte.
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> Sei [mm]\epsilon[/mm] > 0.
> 1) da das Integral über g1 existiert, gibt es ein [mm]x_{0},[/mm]
> sodaß [mm]\integral_{x_{0}}^{\infty}{g_{1}(x) dx}[/mm] <
> [mm]\bruch{\epsilon}{2}.[/mm] Ebenso gilt dies für alle
> [mm]\integral_{x_{0}}^{\infty}{g_{n}(x) dx},[/mm] da [mm]g_{n}[/mm] monton
> fallend.
>
> 2) Nun betrachte ich [mm]g_{n}[/mm] auf [mm][0;x_{0}].[/mm] Da dies nun ein
> kompaktes Intervall ist, kann ich den Satz von Dini
> anwenden, und [mm]g_{n}[/mm] kv also glm gegen 0 auf dem Intervall.
> Daraus folgt, daß ein N [mm]\in \IN[/mm] ex., sodaß
> [mm]\integral_{0}^{x_{0}}{g_{n}(x) dx} \le \bruch{\epsilon}{2}[/mm]
> für alle n > N.
>
> 3) Für alle n > N ist dann [mm]\integral_{0}^{\infty}{g_{n}(x) dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{x_{0}}{g_{n}(x) dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{x_{0}}^{\infty}{g_{n}(x) dx}[/mm] < [mm]\epsilon[/mm]
> Daraus folgt die Behauptung.
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> Habe ich irgendwo die stetige Diff'barkeit verwendet, ohne
> es zu merken? Oder ist sonst ein Fehler in meinem Beweis?
fuer mich sieht der beweis richtig aus, gefaellt mir gut. Intuitiv wuerde ich auch sagen, dass man die diffbarkeit nicht braucht.
VG
Matthias
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> Vielen Dank im Voraus,
> Lorenz
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