Integral über Gebiet < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Integriert wird die Funktion f(x) = x + y über das Gebiet G :={(x,y) | [mm] x^2+y^2 [/mm] < R} Wie lautet das Integral in den neuen Koordinaten [mm] (r,\alpha) [/mm] mit
[mm] x:=r^2sin(\alpha),
[/mm]
[mm] y:=r^2cos(\alpha) [/mm] |
Ich komme auf [mm] -2\integral_{0}^{2\pi}\integral_{\wurzel{R}}^{0}{r^5(sin\alpha+cos\alpha) dr d\alpha} [/mm] ?
Also das die [mm] det(J(r,\alpha)) [/mm] mit [mm] -2r^3 [/mm] ist klar... Aber warum das Integral von [mm] \wurzel{R} [/mm] bis 0 und nicht umgekehrt????
Vielen Dank :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
scheint plausibel. Die Integrationsgrenzen dürfen durch das "-" vor dem Integral vertauscht werden und dann ergeben sie mehr Sinn...! Das innere Integral läuft dann von 0 bis [mm] \wurzel{R}
[/mm]
Grüße, Daniel
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Hallo Daniel,
Kapiere ich nicht ganz.. also das stammt von einer Probeklausur der Uni-München. Die Aufgabe war ein MC und es gab als Antwort auch noch das gleiche integral mit Integrationsgrenze 0 bis [mm] \wurzel{R} [/mm] was meine Antwort war. Ich hab die Aufgabe als falsch zurück bekommen und das oben genannte Integral in der Komplettlösung gefunden.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:31 Mo 11.02.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Integriert wird die Funktion f(x) = x + y über das Gebiet
> $G [mm] :=\{(x,y) | x^2+y^2 < R\}$ [/mm] Wie lautet das Integral in den
> neuen Koordinaten [mm](r,\alpha)[/mm] mit
> [mm]x:=r^2sin(\alpha),[/mm]
> [mm]y:=r^2cos(\alpha)[/mm]
> Ich komme auf
> [mm]-2\integral_{0}^{2\pi}\integral_{\wurzel{R}}^{0}{r^5(sin\alpha+cos\alpha) dr d\alpha}[/mm]
> ?
das ist falsch.
>
> Also das die [mm]det(J(r,\alpha))[/mm] mit [mm]-2r^3[/mm] ist klar... Aber
> warum das Integral von [mm]\wurzel{R}[/mm] bis 0 und nicht
> umgekehrt????
Ich denke Du bist auf dieses Ergebnis gekommen. Warum das so ist kann ich Dir nicht beantworten...
>
> Vielen Dank :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo Daniel,
>
> Kapiere ich nicht ganz.. also das stammt von einer
> Probeklausur der Uni-München. Die Aufgabe war ein MC und
Was auch immer 'ein MC' sein mag...
> es gab als Antwort auch noch das gleiche integral mit
> Integrationsgrenze 0 bis [mm]\wurzel{R}[/mm] was meine Antwort war.
Falls Du das meinst:
$ [mm] -2\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\wurzel{R}}{r^5(\sin\alpha+\cos\alpha)\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\alpha}$
[/mm]
stimmt das.
Das lässt sich mit der leicht zu beweisenden Beziehung:
[mm] $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=-\int_b^a f(x)\,\mathrm{d}x$
[/mm]
in:
[mm] $2\integral_{0}^{2\pi}\integral_{\wurzel{R}}^{0}{r^5(\sin\alpha+\cos\alpha)\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\alpha}$
[/mm]
umformen.
> Ich hab die Aufgabe als falsch zurück bekommen und das
> oben genannte Integral in der Komplettlösung gefunden.
>
Eben hattest Du das Integral noch selbst ausgerechnet...
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:30 Di 12.02.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Ingenieurnik,
> Also das die [mm]det(J(r,\alpha))[/mm] mit [mm]-2r^3[/mm] ist klar...
Was meinst Du mit [mm]det(J(r,\alpha))[/mm]?
Und wo kommt die 5.te Potenz von $r$ her?
Es ist ja zu bestimmen, wie groß das Integral in den
Polar-Koordinaten ist.
Nun, ich habe mir mal zwei kurze Programme
geschrieben, die das Integral mal in $(x,y)$ und
mal in [mm] $(r,\alpha)$ [/mm] liefern. Erwartungsgemäß sind
die beiden Werte identisch. Wie groß?
Gruß
Kai
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:26 Di 12.02.2013 | | Autor: | fred97 |
Einige Bemerkungen:
1.
$ [mm] x:=r^2*sin(\alpha), [/mm] $
$ [mm] y:=r^2*cos(\alpha) [/mm] $
beschreibt keine (!) Polarkoordinaten .
2. Laut Transformationssatz muß unterm Integral mit dem Betrag (!) der Funktionaldeterminante multipliziert werden.
Im vorliegenden Fall also mit [mm] 2r^3 [/mm] (und nicht mit [mm] -2r^3)
[/mm]
3. Steht in der Aufgabenstellung wirklich G [mm] :=\{(x,y) | x^2+y^2 < R\} [/mm] und nicht G [mm] :=\{(x,y) | x^2+y^2 < R^2\} [/mm] ?
Wenn da G [mm] :=\{(x,y) | x^2+y^2 < R\} [/mm] steht, so hat man wegen
$ [mm] x:=r^2sin(\alpha), [/mm] $ $ [mm] y:=r^2cos(\alpha) [/mm] $:
[mm] x^2+y^2=r^4.
[/mm]
Damit läuft r im Intervall [mm] [0,\wurzel[4]{R}) [/mm] und das transformierte Integral lautet:
$ [mm] 2\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\wurzel[4]{R}}{r^5(sin\alpha+cos\alpha) dr d\alpha} [/mm] $.
Steht da allerdings G [mm] :=\{(x,y) | x^2+y^2 < R^2\}, [/mm] so hat man
$ [mm] 2\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\wurzel[]{R}}{r^5(sin\alpha+cos\alpha) dr d\alpha} [/mm] $.
und das = $ [mm] -2\integral_{0}^{2\pi}\integral_{\wurzel{R}}^{0}{r^5(sin\alpha+cos\alpha) dr d\alpha} [/mm] $
FRED
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Hallo Fred,
jetzt ist es mir das erste Mal klar geworden  !!
Ich hab das mit dem Betrag übersehen... dann ist es klar...
Das Gebiet geht tatsächlich von G [mm]:=\{(x,y) | x^2+y^2 < R\}[/mm] kann ich daraus nicht schließen dass das Intervall von [mm][0,\wurzel[2]{R})[/mm] läuft mit groß R.
[mm]x^2+y^2=r^4.[/mm] bezieht sich dann doch auf klein r
Ansonsten ist die Aufgabe einfach falsch...
Vielen Dank dir an dieser Stelle und an alle beteiligten!
Dominik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:06 Di 12.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> jetzt ist es mir das erste Mal klar geworden !!
> Ich hab das mit dem Betrag übersehen... dann ist es
> klar...
> Das Gebiet geht tatsächlich von G [mm]:=\{(x,y) | x^2+y^2 < R\}[/mm]
> kann ich daraus nicht schließen dass das Intervall von
> [mm][0,\wurzel[2]{R})[/mm] läuft mit groß R.
> [mm]x^2+y^2=r^4.[/mm] bezieht sich dann doch auf klein r
Ja, und es ist 0 [mm] \le r^4=x^2+y^2
> Ansonsten ist die Aufgabe einfach falsch...
Vielleicht meint der Aufgabensteller doch G [mm] :=\{(x,y) | x^2+y^2 < R^2\}
[/mm]
und hat sich vertippt .....
FRED
>
> Vielen Dank dir an dieser Stelle und an alle beteiligten!
> Dominik
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