Integral über Kreislinie < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:35 Mi 23.01.2008 | | Autor: | zetamy |
| Aufgabe | | Sei [mm] S(z_0,R) = \{z\in \IC : |z-z_0|=R\}[/mm]. Berechnen Sie [mm] \int_{S(0,1)}^{} \frac{e^z}{(z-2)^3}\, dz [/mm]. |
Hallo,
wir haben gerade mit komplexen Integralen angefangen und mehrere Aufgaben dazu bekommen - das ist die leichteste -, aber ich habe keine Ahnung was ich machen soll/muss/kann.
Für Cauchy müsste ich im Nenner doch (z-0)=z stehen haben oder nicht?
Brauche dringend einen Tipp!
Danke schonmal.
Gruß, zetamy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:06 Do 24.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]S(z_0,R) = \{z\in \IC : |z-z_0|=R\}[/mm]. Berechnen Sie
> [mm]\int_{S(0,1)}^{} \frac{e^z}{(z-2)^3}\, dz [/mm].
> Hallo,
>
> wir haben gerade mit komplexen Integralen angefangen und
> mehrere Aufgaben dazu bekommen - das ist die leichteste -,
> aber ich habe keine Ahnung was ich machen soll/muss/kann.
> Für Cauchy müsste ich im Nenner doch (z-0)=z stehen haben
> oder nicht?
Du meinst die Integralformel von Cauchy, nicht wahr? Da kann steht im Nenner [mm]z-z_0[/mm], das muss nicht [mm]z_0=0[/mm] sein.
Aber hier kannst du den Integralsatz von Cauchy direkt anwenden, denn der Integrand ist immer Innern des Kreises holomorph.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Do 24.01.2008 | | Autor: | zetamy |
Hallo,
ja, das dachte ich auch, aber leider geht das nicht, denn:
[mm]\int_{\delta U}^{} \frac{f(z)}{(z-z_0)}\, dz = \int_{S(0,1)}^{} \frac{e^z}{(z-2)^3}\, dz [/mm].
Nach der Cauchyschen Integralformel ist das
[mm] = 2*\pi*i*f(z_0) = 2*\pi*i*\frac{e^z_0}{z_0-z_0} = 2*\pi*i*\frac{e^2}{2-2} [/mm]
Also ist der Nenner Null, oder nicht? Wegen [mm] z-z_0 [/mm] ist doch [mm] f(z)=\frac{e^z}{(z-z_0)^2} [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Do 24.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
>
> ja, das dachte ich auch, aber leider geht das nicht, denn:
>
> [mm]\int_{\delta U}^{} \frac{f(z)}{(z-z_0)}\, dz = \int_{S(0,1)}^{} \frac{e^z}{(z-2)^3}\, dz [/mm].
>
> Nach der Cauchyschen Integralformel ist das
>
> [mm]= 2*\pi*i*f(z_0) = 2*\pi*i*\frac{e^z_0}{z_0-z_0} = 2*\pi*i*\frac{e^2}{2-2}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Der Pol z=2 liegt doch gar nicht im Inneren des Kreises, also ist der Integrand holomorph, und das Integral ist nach dem Cauchyschen Integralsatz gleich 0.
Und wenn er dort liegen würde, dürftest du die Integralformel so nicht anwenden, weil (wie du eben selbst ausgerechnet hast) die Funktion
[mm] \frac{e^z}{(z-2)^2} [/mm]
nicht holomorph wäre. Statt dessen müsstest du ![[]](/images/popup.gif) diese Form der Integralformel anwenden und bekämst
[mm] \bruch{2\pi i}{2!} \bruch{d^2}{dz^2} \exp(z) \Bigr|_{z=2} = \pi i \mathrm{e}^2[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:01 Do 24.01.2008 | | Autor: | zetamy |
Ja, klar... Integralsatz und Integralformel betrachten verschiedene Fälle. Jetzt sind auch die anderen Aufgaben klar.
Vielen Danl!
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