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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 Mi 20.07.2005 | | Autor: | espa |
Guten Tag!
Ich hatte bereits einmal die Frage gestellt, wie man folgendes Integral löst:
[mm] \integral [/mm] {log [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] dx} löst. Nun habe ich mich kundig gemacht und weiß, dass damit einfach die euklidische Norm gemeint ist.
Löst man dieses Integral nun mit Substitution? Was muss man denn dort einsetzen? log von Wurzel aus [mm] (x_{1})²+(x_{2})²+... [/mm] ) ?? Doch bis wohin geht das n von [mm] x_{n} [/mm] dann?
Für Ihre Hilfe bedanke ich mich im Vorhinein recht herzlich, Ihre espa
Wie mache ich dies ohne Grenzen?
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Hallo espa,
wenn ich dich richtig verstehe, möchtest Du das Integral
[mm]\integral_{\IR^n} {\ln||x|| d^nx}[/mm]
berechnen.
Hm, ich sage es mal so, wenn man die entsprechende technik beherrscht bzw. in der vorlesung gelernt hat, ist es ganz leicht.... 
Bei der Funktion [mm]\ln ||x||[/mm] handelt es sich um eine sogenannte rotationssymmetrische funktion, das heißt, der funktionswert hängt nur von [mm]||x||[/mm] ab. Anschaulich gesehen ist die funktion auf sphären also immer konstant.
integrieren kann man solche funktionen sehr leicht, wenn man sie auf polarkoordinaten transformiert (was man natürlich schon mal vorher gemacht haben sollte), dann erhält man nämlich
[mm]\integral_{\IR^n}{\ln ||x|| d^n x}=k_n*\integral_{0}^{\infty}{\ln r * r^{n-1} dr}[/mm]
[mm]k_n[/mm] ist dabei das volumen bzw. die oberfläche der (n-1)-dimensionalen Einheitssphäre.
Was du nach der transformation direkt erkennst ist, dass das integral für [mm]n=1,2,3,...[/mm] nicht endlich sein kann also 'nicht existiert', da für [mm] $r\to \infty$ [/mm] auch [mm] $\ln [/mm] r$ unendlich groß wird, wenn auch sehr langsam.
Interessant ist aber die Frage, für welche $n$ das Integral zB. auf der Einheitskugel existiert. Da der Logarithmus bei $0$ eine Polstelle hat, ist das ja keinesfalls selbstverständlich. Vielleicht ist deine aufgabe so gemeint.
Ich hoffe, ich konnte dir ein wenig helfen.
Viele Grüße
Matthias
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