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| Aufgabe | Berechnen sie:
[mm] \integral_{0}^{1}{x*arctan(x) dx} [/mm] |
Hallo,
ich vestehe leider nicht, wie ich hier vorgehen soll.
Ich integriere partiell:
[mm] \integral_{0}^{1}{x*arctan(x) dx} [/mm] =
[mm] [arctan(x)*0.5x^2]^1_0 [/mm] - 0.5* [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{\bruch{1}{x^2}+1} dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{\pi}{8}-0.5* \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{\bruch{1}{x^2}+1} dx}
[/mm]
Wie berechne ich dieses hintere Integral?
Ich weiß, dass x-arctan(x) rauskommt, aber wie kommt man darauf?
Die Musterlösung macht dies ganz anders, es wäre schön, wenn mir das auch jemand erklären könnte:
wir setzen g(x) = arctan(x); g'(x)= [mm] \bruch{1}{x^2+1}
[/mm]
und h'(x) = x; h(x) = [mm] \bruch{x^2+1}{2}
[/mm]
Dann ist das gesuchte Integral gleich
[mm] [arctan(x)*\bruch{x^2+1}{2}]^1_0 [/mm] - [mm] \integral_{0}^{1}{0.5 dx}
[/mm]
Wieso wird hier h(x) = [mm] \bruch{x^2+1}{2} [/mm] gesetzt?
Ich weiß, dass sich dann beim partiell Integrieren in dem neuen Integral das x rauskürzt, aber wieso darf man das bzw. wie kommt man darauf?
Vielen Dank!
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Hallo,
> Berechnen sie:
> [mm]\integral_{0}^{1}{x*arctan(x) dx}[/mm]
> Hallo,
> ich vestehe leider nicht, wie ich hier vorgehen soll.
> Ich integriere partiell:
> [mm]\integral_{0}^{1}{x*arctan(x) dx}[/mm] =
> [mm][arctan(x)*0.5x^2]^1_0[/mm] - 0.5*
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{\bruch{1}{x^2}+1} dx}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\pi}{8}-0.5* \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{\bruch{1}{x^2}+1} dx}[/mm]
>
> Wie berechne ich dieses hintere Integral?
Dein Kardinalfehler war hier der, zu Kürzen. Zerlege mal den Integrand
[mm] \bruch{x^2}{x^2+1}
[/mm]
per Polynomdivision in zwei Summanden, dann sollte dir die Erleuchtung schnell kommen. 
> Ich weiß, dass x-arctan(x) rauskommt, aber wie kommt man
> darauf?
Was heißt 'x-arctan(x) rauskommt'? Das ist eine Stammfunktion für das verbleibende Integral, aber kein Resultat dieser Aufgabe. So etwas führt hier immer wieder zu Missverständnissen und sollte präziser ausformuliert werden.
>
> Die Musterlösung macht dies ganz anders, es wäre schön,
> wenn mir das auch jemand erklären könnte:
> wir setzen g(x) = arctan(x); g'(x)= [mm]\bruch{1}{x^2+1}[/mm]
> und h'(x) = x; h(x) = [mm]\bruch{x^2+1}{2}[/mm]
> Dann ist das gesuchte Integral gleich
> [mm][arctan(x)*\bruch{x^2+1}{2}]^1_0[/mm] - [mm]\integral_{0}^{1}{0.5 dx}[/mm]
>
> Wieso wird hier h(x) = [mm]\bruch{x^2+1}{2}[/mm] gesetzt?
Weil für eine Funktion f(x), von der man eine Stammfunktion F(x) kennt, jede Funktion vom Typ F(x)+C eine Stammfunktion ist, und weil das hier gerade geschickt ist. Ich würde so etwas bspw. vergleichen mit einem Übersteiger im Fußball. Da fragt man doch auch nicht, wozu man so etwas macht? 
Gruß, Diophant
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Ok, ich verstehe warum
[mm] \bruch{x^2}{x^2-1}=1-\bruch{1}{x^2-1} [/mm] gilt, von da aus verstehe ich auch, warum eine Stammfunktion dann x-arctanx ist. (Sorry für die Sprechweise, ich meine schon das richtige).
Woher weiß ich denn, wann ich kürzen darf und wann nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:24 Do 28.08.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ok, ich verstehe warum
> [mm]\bruch{x^2}{x^2-1}=1-\bruch{1}{x^2-1}[/mm] gilt, von da aus
> verstehe ich auch, warum eine Stammfunktion dann x-arctanx
> ist. (Sorry für die Sprechweise, ich meine schon das
> richtige).
Das ist doch vollkommen korrekt formuliert.
> Woher weiß ich denn, wann ich kürzen darf und wann
> nicht?
Du darfst immer kürzen, hier ist es nur nicht Sinnvoll.
Denn eine Stammfunktion zu [mm] \frac{1}{x^{2}-1} [/mm] ist ja mit [mm] \arctan(x) [/mm] bekannt. Und genau darum geht es ja bei der Partiellen Integration.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:43 Do 28.08.2014 | | Autor: | RunOrVeith |
Vielen Dank, alles klar. Das mit der Sprechweise hat sich noch auf meine Originalfrage bzw. die erste Antwort bezogen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:55 Do 28.08.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Vielen Dank, alles klar. Das mit der Sprechweise hat sich
> noch auf meine Originalfrage bzw. die erste Antwort
> bezogen.
Ja, und von mir war das als Anregung gedacht, bitte also nicht falsch verstehen. Was du meinst habe ich natürlich verstanden, ich sehe in solchen Formulierungen nur die Gefahr von Missverständnissen (semantisch könnte man das unter Umgehung seines mathematischen Verstandes auch so lesen, dass du die Stammfunktion für das komplette Integral meinst).
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:59 Do 28.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ok, ich verstehe warum
> [mm]\bruch{x^2}{x^2-1}=1-\bruch{1}{x^2-1}[/mm] gilt,
Da hast Du Dich wohl vertippt, und meinst
[mm]\bruch{x^2}{x^2+1}=1-\bruch{1}{x^2+1}[/mm]
FRED
> von da aus
> verstehe ich auch, warum eine Stammfunktion dann x-arctanx
> ist. (Sorry für die Sprechweise, ich meine schon das
> richtige).
> Woher weiß ich denn, wann ich kürzen darf und wann
> nicht?
>
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