Integral von 1/(1+e^x) dx < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 Do 25.06.2015 | | Autor: | jengo32 |
| Aufgabe | | [mm] \integral{\bruch{1}{1+e^x} dx} [/mm] |
Hallo,
ich komme bei obiger Aufgabe nicht auf die Musterlösung und würde gerne von euch meine Lösung auf Fehler überprüfen lassen.
Ich möchte das Integral mit der Substitutionsmethode lösen.
Substituiert wird [mm] 1+e^x:
[/mm]
[mm] z=1+e^x [/mm]
[mm] \bruch{dz}{e^x}=dx
[/mm]
wenn [mm] z=1+e^x [/mm] ist, dann ist [mm] 1=z-e^x
[/mm]
Daraus ergibt sich:
[mm] \integral{\bruch{z-e^x}{z}\bruch{dz}{e^x} }
[/mm]
Das ist wiederum
[mm] \integral{\bruch{z}{ze^x}dz }-\integral{\bruch{e^x}{ze^x}dz }
[/mm]
Und das ist doch nichts anderes als:
[mm] \integral{ \bruch{1}{e^x} dz } [/mm] - [mm] \integral{\bruch{1}{z}dz }
[/mm]
F(X) = [mm] -e^{-x}-ln(1+e^x)+c
[/mm]
Aber irgendwas stimmt hier nicht...
Bin auf eure Antworten gespannt 
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Do 25.06.2015 | | Autor: | jengo32 |
Eventuell habe ich den Fehler selber gefunden.
> [mm]\integral{ \bruch{1}{e^x} dz }[/mm] - [mm]\integral{\bruch{1}{z}dz }[/mm]
Da ich ja dz betrachte und nicht mehr dx, kann ich nicht [mm] \bruch{1}{e^x} [/mm] zu -e^(-x) ableiten, richtig? ich müsste [mm] e^x [/mm] vorher mit (z-1) eventuell substituieren?
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Hiho,
> Eventuell habe ich den Fehler selber gefunden.
>
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> > [mm]\integral{ \bruch{1}{e^x} dz }[/mm] - [mm]\integral{\bruch{1}{z}dz }[/mm]
>
> Da ich ja dz betrachte und nicht mehr dx, kann ich nicht
> [mm]\bruch{1}{e^x}[/mm] zu -e^(-x) ableiten, richtig? ich müsste
> [mm]e^x[/mm] vorher mit (z-1) eventuell substituieren?
korrekt, auch wenn es etwas wirr ist, was du schreibst.
Nach einer Substitution darf keine alte Variable mehr vorkommen. In deinem Fall halt das x.
Schneller geht es, wenn du das so schreibst:
$z = 1 + [mm] e^x$
[/mm]
$dz = [mm] e^x [/mm] dx = (z-1) dx$
d.h. du erhältst:
[mm] $\int \bruch{1}{z(z-1)} [/mm] dz$
Du kannst ja mal auch nur [mm] $z=e^x$ [/mm] Substituieren. Was erhältst du dann? Wieso ist das konsistent?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Do 25.06.2015 | | Autor: | jengo32 |
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> d.h. du erhältst:
>
> [mm]\int \bruch{1}{z(z-1)} dz[/mm]
>
Das kann ich soweit nachvollziehen.
Könnte ich hier dann nicht einfach mit Partialbruchzerlegung weitermachen?
[mm] \bruch{A}{z} [/mm] + [mm] \bruch{B}{z-1}
[/mm]
Für A würde ich -1 bekommen und B = 1
Somit:
[mm] -1\integral{\bruch{1}{z} dz} [/mm] + [mm] \integral{\bruch{1}{z-1} dz}
[/mm]
F(x) = -ln(z)+ln(z-1)+c
F(x) = [mm] -ln(1+e^x)+ln(e^x)+c [/mm] ?
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Hiho,
> [mm]ln(\bruch{e^x}{1+e^x})+c[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Oder eben: [mm] $-\ln(1+e^x) [/mm] + x + c$
> Mir ist nämlich noch nicht wirklich klar warum
>
> [mm]ln(e^x-1)+x+c[/mm] ebenso eine lösung ist...
Ist es nicht. Wie kommst du darauf?
Gruß,
Gono
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