Integral von Sinus und Cosinus < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:49 Do 12.01.2006 | | Autor: | JeanLuc |
| Aufgabe | | Berechen Sie mit Substitution [mm] \integral cos^{3}x+sin^{2}x [/mm] dx |
Ich habe es mit der Substitution [mm] y=sin^{2}x [/mm] versucht, allerdings komme ich da nicht richtig hin.
Passt das mit der Substitution y, oder ist was anderes besser?
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Und wenn du das Integral aufspaltest in [mm] \integral cos^{3}x [/mm] dx + [mm] \integral sin^{2}x?
[/mm]
Und dann jedes Integral mit partieller Integration löst?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Do 12.01.2006 | | Autor: | matrinx |
Hallo!
Macht meiner Meinung nach auch mehr Sinn. Als Substitution käme was mim tangens in Frage, ich zweifel aber dran. Zum Testen mal
[mm] u = tan (\frac{x}{2})[/mm]
dann ist
[mm] sin x = \frac{2u}{1+u^{2}} [/mm], [mm] cos x = \frac{1-u^{2}}{1+u^{2}} [/mm] und
[mm] dx = \frac{2}{1+u^{2}} du [/mm]
dann ist das Integral nur noch n "normaler" Bruch, Partialbruchzerlegung evtl.?
Grüsse
[mm] Martin [/mm]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Do 12.01.2006 | | Autor: | JeanLuc |
sorry, habe mich vertippt. es muss [mm] sin^{2}x*cos^{2}x [/mm] heißen, sorry
mfg
jeanluc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 Do 12.01.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
hast Du Dich vielleicht nochmal vertippt?
[mm]\int \cos^3 x \sin^2 x dx[/mm] wäre nämlich gar nicht tragisch....
Substituiere [mm] y = \sin x [/mm], dann ist
[mm]\frac{dy}{dx} = \cos x[/mm]
also
[mm]dy = \cos x dx[/mm]
Beachtet man dann noch, dass [mm]\cos^2 x = 1 - \sin^2 x[/mm] ist man eigentlich schon am Ziel.
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:41 Do 12.01.2006 | | Autor: | JeanLuc |
ja, hatte mich ochmal vertippt. Danke, die Idee, dass mit sinx=1-cosx ist mir auch schon gekommen, hatte ich aber schnell verworfen, da ich mir nicht sicher war ob das so geht!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Do 12.01.2006 | | Autor: | JeanLuc |
so, und in der durchführung hängst nun mal wieder:
[mm] \integral cos^{3}x*sin^{2}x [/mm] dx wäre ja somit [mm] \integral \bruch{cos^{3}x}{cosx}*y^2 [/mm] dy
Allerdings darf ich ja kein x mehr haben, und wenn ich die Subsitution y=sinx nach x umstelle, müsste ich ja den arcsin betrachten, das kanns aber ja auch nicht sein..........., oder?
Da hilft dann auch die umstelllung nach [mm] 1-sin^{2}x [/mm] nichts....
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Hallo JeanLuc,
> so, und in der durchführung hängst nun mal wieder:
>
> [mm]\integral cos^{3}x*sin^{2}x[/mm] dx wäre ja somit [mm]\integral \bruch{cos^{3}x}{cosx}*y^2[/mm]
> dy
>
> Allerdings darf ich ja kein x mehr haben, und wenn ich die
> Subsitution y=sinx nach x umstelle, müsste ich ja den
> arcsin betrachten, das kanns aber ja auch nicht
> sein..........., oder?
Umstellen ist hier fehl am Platze. Die Substitution muß abgeleitet werden:
[mm]
\begin{gathered}
y\; = \;\sin \;x \hfill \\
\Rightarrow \;dy\; = \;\cos \;x\;dx \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
>
> Da hilft dann auch die umstelllung nach [mm]1-sin^{2}x[/mm]
> nichts....
Bei richtiger Anwendung hilft diese Umstellung schon.
Gruß
MathePower
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