Integral von (ln2x)/x nach dx < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:32 So 19.03.2006 | | Autor: | jan32 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt?!.
Guten Abend, liebe Leute ich bin Schüler der 11. Klasse auf einem sächsischen Gymnasium un ich komme leider leider nicht weiter. Ich haffe ihr glaubt mir, dass ich schon vergeblich probiert habe die folgende Aufgabe selber zu lösen. Wie gesagt, ich möchte gerne den Lösungsweg bzw. die Lösung oder vielleicht auch nur einen Lösungsansatz, der mich hoffentlich auf die richtige Fährte bringt für: das Integral von (ln2x) / x nach dx. Ich weiß schon, dass ich das laut dem was wir bisher hatten mit Partieller Integration rechnen muss, ganz nach dem Motto: Integral von u * v' nach dx = u * v - (Integral von u' * v nach dx). Ich haffe ihr helft mir, biittteeee..... Ps.: Ich hoffe ich drückte mich hier so vornehm aus, dass ihr mich nicht als "für Interessierte" abstempeln werdet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:59 So 19.03.2006 | | Autor: | Arkus |
Hi jan32
Ich bin mir jetzt nicht sicher, ob du das nur mit der partiellen Integration rechnen musst oder denkst, dass du es müsstest.
Jedenfalls finde ich den Weg über Substitution wesentlich angenehmer :)
[mm] $\int \frac{\ln{2x}}{x} \, [/mm] dx$
Wir ersetzen [mm] $\ln{2x}$ [/mm] mit z und erhalten ein neues Integral:
[mm] $\int \frac{z}{x} \, [/mm] dx$
Nun folgt eine kleine Nebenrechnung:
[mm] $\ln{2x}:=z$
[/mm]
[mm] $\frac{dz}{dx}=\frac{1}{x}$ $\Rightarrow$ [/mm] $dx=x [mm] \cdot [/mm] dz$
Dies setzen wir in unser neues Integral und siehe da, das x kürzt sich raus :)
[mm] $\int [/mm] z [mm] \, [/mm] dz$
Dies integrieren wir:
[mm] $\int [/mm] z [mm] \, [/mm] dz = [mm] \frac{1}{2} \cdot z^2 [/mm] + C$
Für z setzen wir unser Substitution ein [mm] $\ln{2x}:=z$ [/mm] und erhalten unser gesuchtes Integral:
[mm] $\int \frac{\ln{2x}}{x} \, [/mm] dx = [mm] \frac{1}{2} \cdot (\ln{2x})^2 [/mm] + C$
Tata! :D
MfG Arkus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 So 19.03.2006 | | Autor: | jan32 |
Auf jeden Fall bedanke ich mich ersteinmal ganz herzlich.: Danke!, aber bist du dir wirklich ganz sicher, dass man hier Substitution anwenden kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:55 So 19.03.2006 | | Autor: | Arkus |
Logisch :)
Natürlich kann man auch per partieller Integration rechnen, aber das find ich in dem Fall viel zu umständlich.
Dieses Integral bzw ein Integral der Form [mm] $\int \frac{\ln{(n\cdot x+c)}}{x} \, [/mm] dx$ für n>0 und [mm] c\ge [/mm] 0 hab ich schon desöfteren mit Substitution gelöst.
Find jetzt aber kein Thread dazu :(
Naja jedenfalls kannst du auch einfach mal ne Beispielsfläche berechnen.
WinFunktion gibt z.B. für
[mm] $\int\limits_{1}^{2} \frac{\ln{2x}}{x} \, [/mm] dx$
0,721 FE aus.
Mit der Integration von ebend kommst du auf dasselbe Ergebnis :)
MfG Arkus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 Mo 20.03.2006 | | Autor: | chrisno |
Es geht sehr flott mit partielller Integration. ln(2x) = ln(2) + ln(x). Das Integral wird nun in zwei Summanden zerlegt, der mit ln(2) geht direkt. Für den anderen Summanden bietet sich nun ln(x) = u und 1/x = v' an. Dann steht Das Integral ln(x)/x zweimal da. Auf eine Seite bringen, durch 2 teilen, fertig.
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