Integral x*exp(x²) < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Fr 16.07.2004 | | Autor: | danimax |
Hallo Leute, entschuldigt den alten Hut, aber ich krieg die zwischenschritte seit stunden nicht hin.
Ich weiß dank maple dass
[mm] \integral_{a}^{b} x*exp(x²)\, [/mm] dx
gleich 1/2 * exp(x²) ist.
Kann mir bitte jemand mal die Zwischenschritte angeben, denn ich komme weder mit partieller integration noch mit kettenregel auf diesen term ...
VIelen Dank!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Fr 16.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Dani!
> Ich weiß dank maple dass
>
> [mm]\integral_{a}^{b} x*exp(x²)\,[/mm] dx
>
> gleich 1/2 * exp(x²) ist.
Also, links steht ein bestimmtes Integral, rechts eine Stammfunktion des Integranden. Das kann nicht das Gleiche sein. Du meinst:
$F(x) = [mm] \frac{1}{2}e^{x^2}$ [/mm] ist eine Stammfunktion von $f(x) = [mm] xe^{x^2}$.
[/mm]
Oder:
[mm] $\int\limits [/mm] x [mm] e^{x^2}\, [/mm] dx = [mm] \frac{1}{2} e^{x^2} [/mm] + C$ (Diese Darstellung ist zwar auch seltsam, aber anerkannt.)
Oder:
[mm] $\int\limits_a^b [/mm] x [mm] e^{x^2}\, [/mm] dx = [mm] \frac{1}{2} \left( e^{b^2} - e^{a^2} \right)$.
[/mm]
Das wären alles richtige Gleichungen gewesen, deine stimmt so nicht.
Versuchen wir also mal
[mm] $\int\limits [/mm] x [mm] e^{x^2}\, [/mm] dx = [mm] \frac{1}{2} e^{x^2} [/mm] + C$
zu zeigen. Substituiere doch mal
[mm] $z:=x^2$, [/mm] $dz = 2xdx$.
Dann hast du (mit dieser etwas unsauberen, aber anerkannten Schreibweise unbestimmter Integrale):
[mm] $\int\limits [/mm] x [mm] e^{x^2}\, [/mm] dx = [mm] \int\limits \frac{1}{2} e^{z}\, d\red{z} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} e^{z} [/mm] + C = [mm] \frac{1}{2} e^{x^2} [/mm] + C$
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 Fr 16.07.2004 | | Autor: | Micha |
> Versuchen wir also mal
>
> [mm]\int\limits x e^{x^2}\, dx = \frac{1}{2} e^{x^2} + C[/mm]
>
>
> zu zeigen. Substituiere doch mal
>
> [mm]z:=x^2[/mm], [mm]dz = 2xdx[/mm].
>
> Dann hast du (mit dieser etwas unsauberen, aber anerkannten
> Schreibweise unbestimmter Integrale):
>
> [mm]\int\limits x e^{x^2}\, dx = \int\limits \frac{1}{2} e^{z}\, dx = \frac{1}{2} e^{z} + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C[/mm]
>
Du meinst an der Stelle nach dem ersten Gleichheitszeichen das richtige aber der Form halber:
[mm]\int\limits x e^{x^2}\, dx = \int\limits \frac{1}{2} e^{z}\, dz = \frac{1}{2} e^{z} + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C[/mm]
also die Integration nach z und nicht x!
Grund:
Deine Definierte Funktion $z = [mm] x^2$ [/mm] hat
[mm] $\frac{dz}{dx} [/mm] = 2x [mm] \gdw [/mm] dx = [mm] \frac{dz}{2x}$ [/mm]
und dann das $dx$ auch ersetzen und du kommst eben auf die Form
[mm] $\int\limits \frac{1}{2} e^{z}\, [/mm] dz$
Gruß, Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 Fr 16.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ja klar, ich hatte mich nur verschrieben und verbessere es jetzt.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Fr 16.07.2004 | | Autor: | danimax |
Also ich danke euch schonmal, aber ich habe immer noch das Problem, dass ich gerade total auf dem Schlauch steh (vieleicht weil ich morgen klaussur schreibe)
wie kommt die KOnstante 1/2 zustande??
und wie kann ich merken, dass ich nicht die partielle integration anwenden darf, denn ich komme ja auch auf ein ergebniss, dass aber anscheinend falsch ist....
Gruß daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Fr 16.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Daniel!
Es war doch:
$z = [mm] x^2$,
[/mm]
also (ableiten! Potenzregel!):
$dz = [mm] 2x\, [/mm] dx$,
und damit:
[mm] $x\, [/mm] dx = [mm] \frac{1}{2}\, [/mm] dz$.
Jetzt klar? 
> und wie kann ich merken, dass ich nicht die partielle
> integration anwenden darf, denn ich komme ja auch auf ein
> ergebniss, dass aber anscheinend falsch ist....
Dann führe uns doch deine Rechnung mit der partiellen Integration mal vor. Dann sehen wir ja, was du falsch gemacht hast.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Fr 16.07.2004 | | Autor: | danimax |
Ich glaub ich weiß grad garnichts mehr...
-Also stimmt, wenn ich bei partieller Integration für u=x und v' = exp(x²) nehme komme ich auf nichts sinnvolles, da sich das integral immer weiter nach hinten verschiebt und vornedran der Term gleich bleibt.
-Nun gut ich sollte also wenn ich dass partiell integriere merken, dass sich der Term nicht vereinfacht sondern "verschwierigt" und deswegen eine andere Methode benutzen... (damit komme ich klar)
-Und bei der Substitution ergibt sich dx also aus dem kehrwert oder ?....
Sprich: substituieren, davon die ableitung z=x² ; dz=2x ; dx = 1/2x
dann also die (substituierte) funktion und weil es ja ein integral ist (dx hinten steht) wird noch mit dx multipliziert...
Aber mein dx ist doch 1/2x warum kürzt sich das x weg?
(kann mir vorstellen das ihr mich hasst und für blöd haltet, aber ich dreh hier bald durch ich kapiers nicht...)
wie kann ich mir den vorgang der dx zu dt usw. leicht merken, habt ihr nen tipp?
->Verspreche euch das ist die letzte Frage...
Grüße daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Fr 16.07.2004 | | Autor: | Micha |
> Ich glaub ich weiß grad garnichts mehr...
Kühlen Kopf bewahren... ^^
>
> -Also stimmt, wenn ich bei partieller Integration für u=x
> und v' = exp(x²) nehme komme ich auf nichts sinnvolles, da
> sich das integral immer weiter nach hinten verschiebt und
> vornedran der Term gleich bleibt.
>
> -Nun gut ich sollte also wenn ich dass partiell integriere
> merken, dass sich der Term nicht vereinfacht sondern
> "verschwierigt" und deswegen eine andere Methode
> benutzen... (damit komme ich klar)
im Zweifel kann man mal u(x) und v'(x) vertauschen, aber bringt uns in diesem Fall nicht weiter.
>
> -Und bei der Substitution ergibt sich dx also aus dem
> kehrwert oder ?....
>
> Sprich: substituieren, davon die ableitung z=x² ; dz=2x ;
> dx = 1/2x
>
Was meinst du mit Kehrwert? Stelle dir z einfach als Funktion vor. Dann
folgt aus der Kettenregel der Differentialrechnung:
$(f [mm] \circ [/mm] z )'(x) = f'(z) [mm] \cdot [/mm] z'(x) = [mm] \frac{d(f \circ z )}{dz} \cdot \frac{dz}{dx} [/mm] $
Wenn wir nämlich $z = [mm] x^2$ [/mm] setzen, so machen wir eigentlich eine Verkettung der Funktion f(z) mit z(x).
Deshalb muss ich beim Integrieren auch diese "Ableitung" [mm] $\frac{dz}{dx}$ [/mm] mit ins spiel bringen, die ist im Beispiel gerade [mm] $\frac{dz}{dx} [/mm] = [mm] (x^2)' [/mm] = 2x$ und dann löse ich nach dx auf und kann das dann in das Integral einsetzen. Sonst habe ich nämlich ein Problem, weil nämlich ein Integral mit dx am Ende nicht berechnen kann, wenn ich nur z-Variablen drin habe.
GLÜCKLICHERWEISE, geht das x, was ich durch die Ableitung von z erhalten habe (zur Erinnerung z'(x) = 2x) gleich wieder heraus, weil ich nämlich:
$ [mm] \int\limits [/mm] x [mm] e^{x^2}\, [/mm] dx = [mm] \int\limits [/mm] x [mm] e^z \cdot \frac{dz}{2x} [/mm] = [mm] \dots [/mm] $ habe, und dann kürzt sich das x, was reingekommen ist, durch das x vorn weg (aber auch nur weil wir so clever substituiert haben *schweiß von stirn wisch*) Sonst hätten wir ein Problem gehabt! Nunja und der Rest ist dann einfaches integrieren:
$ [mm] \dots [/mm] = [mm] \int\limits \frac{1}{2} e^{z}\, [/mm] dz = [mm] \frac{1}{2} e^{z} [/mm] + C = [mm] \frac{1}{2} e^{x^2} [/mm] + C $
> dann also die (substituierte) funktion und weil es ja ein
> integral ist (dx hinten steht) wird noch mit dx
> multipliziert...
>
> Aber mein dx ist doch 1/2x warum kürzt sich das x weg?
>
>
siehe oben...
>
> (kann mir vorstellen das ihr mich hasst und für blöd
> haltet, aber ich dreh hier bald durch ich kapiers
> nicht...)
>
Niemand wird dich hier hassen, dafür ist der Matheraum da!
> wie kann ich mir den vorgang der dx zu dt usw. leicht
> merken, habt ihr nen tipp?
>
dafür gibt es die Abkürzende Schreibweise mit [mm] $\frac{dt}{dx}$ [/mm] wie ich versucht habe oben zu erklärn. Normal wüsste man nämlich nicht, warum man nun aus dem Ausdruck [mm] $\frac{dt}{dx}$, [/mm] der ja eigentlich kein Bruch ist, einfach den Nenner auf die andere Seite bringen kann und so, aber immerhin funktionierts. Damit sollte dem armen Mathematiker der Integrieren muss eine Hilfe gegeben werden
> ->Verspreche euch das ist die letzte Frage...
> Grüße daniel
>
Es muss nicht die letzte sein, frag ruhig wenn noch was unklar ist.
Gruß, Micha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Fr 16.07.2004 | | Autor: | danimax |
Viiieeelen Dank!!!!
-Also jetzt kann auch ich's verstehen.
Ich hatte die Bestimmung der dz's bei dieser Aufgabe nicht mit den anderen Beispielen die ich gefunden habe verbinden... deswegen habe ich wohl nochmal alles was ich wusste in Frage gestellt.
Doch eine Frage würde mir schon noch einfallen...
Also wir haben jetzt einen Audruck mit 'z' ersetzt, dewegen ändert sich auch dx in dz.
Der Ausdruck dz/dx ist kein Bruch sondern die Ableitung von z. also die Bezeichnung für die Ableitung des substituierten Audruckes.
deswegen ersetze ich dx durch meine Ableitung, hier 2x(dz) wobei man dz nur (meine frage) noch dahinterschreibt um sich die "Rücksubstitution" zu merken.
Denn ich habe ja noch keine Integration (Stammfunktion bilden) durchgeführt.
Also müsste ich doch, wenn ich habe
[mm] \int_{}^{} x*exp(z)dz\, [/mm] = [mm] \int_{}^{} x*exp(z)dz/2\, [/mm] = [mm] \int_{}^{} 1/2*exp(z)dz\,
[/mm]
(rücksubstitution)
[mm] \int_{}^{} x*exp(x²)dx\, [/mm]
wieder das dx dahinter haben., warum habe ich durch alleiniges substituieren nun die Stammfunktion gefunden? oder ist das nur hier wegen exp() ?
ich kann das akzeptieren aber verstehen tu ichs noch nicht ganz.
Grüße Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Fr 16.07.2004 | | Autor: | Micha |
Vielleicht solltest du dir erst klarmachen, was das dx beim Integral zu bedeuten hat:
Das dx soll darauf hindeuten, dass ich das was davor steht mit winzig kleinen teilen x multipliziere. Daher kommt das dx. (So wurde mir das jedenfalls erklärt).
Wenn ich nun $ [mm] \int [/mm] f(x) [mm] \, [/mm] dx $habe, dann nehme ich die Funktion f und unterteile meine x-Achse in viele kleine Abschnitte und bilde den Flächeninhalt der rechtecke mit diesen abschnitten und den jeweiligen Funktionswerten.
Wenn ich nun $z(x) = [mm] x^2$ [/mm] setze, dann verändere ich grundsätzlich meine Funktion, weil ich ja nicht mehr [mm] $e^{(x^2)}$ [/mm] stehen habe, sondern [mm] $e^z$.
[/mm]
Die Funktion exp(a) sieht anders aus, als die Funktion [mm] exp(a^2). [/mm] Wenn ich nun mit dem Rechteck-Flächeninhaltsschema arbeiten will, muss ich auch meine "x-Achse" verändern, und zwar genau um den Wert der Ableitung...
(Wenn ich ne Skizze machen könnt wärs anschaulicher.)
deswegen kommt die ersetzung dx [also meine alte Aufteilung der x-Achse] = dz / z'
und setze ins integral ein.
Naja vielleicht hilft dir die Erklärung etwas.
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