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| Aufgabe | Seien $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] mit $a<b$ und [mm] $I=(a,b)\subset \IR$ [/mm] ein Intervall.
Zeigen Sie, dass die Integralabbildung
[mm] $\mathcal{I} [/mm] : [mm] \mathcall{T}(I,\IR) \to \IR [/mm] , [mm] f\mapsto \integral_{(a,b)}{f}$
[/mm]
eine stetige lineare Abbildung in nominierten Räumen ist.
[i]Hinweis: Sie dürfen voraussetzen, dass der Raum der Treppenfunktionen [mm] \mathcal{T} (I,\IR)$ [/mm] mit der Supremumsnorm $|| [mm] \cdot ||_{\infty}$ [/mm] ein normierter Vektorraum ist. |
Hallo Alle zusammen,
ich arbeite gerade an der Aufgabe hier, aber weiß einfach nicht, wie ich anfangen soll, oder wie ich überhaupt vorgehen soll.
Würde mich über jede Hilfe freuen.
Vielen Dank
LG
Dudi
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Also um eine lineare Abbildung nachzuweisen muss ich ja Zeigen:
f(x+y)=f(x)+f(y)
und
f(ax)=af(x)
Kann ich das hier einfach auch so machen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:03 Mi 18.01.2012 | | Autor: | DudiPupan |
Und durch den Tipp, dass wir annehmen dürfen, dass $mathcal{T} [mm] (I,\IR)$ [/mm] normierter Raum mit der Supremumsnorm $|| [mm] \cdot [/mm] ||$ haben wir ja noch gegeben:
$|| [mm] \cdot ||_{\infty} [/mm] : [mm] \mathcal{T} (I,\IR [/mm] ) [mm] \to \IR, [/mm] f [mm] \mapto sup_{x \in I}||f(x)||$
[/mm]
[mm] $||f||_{\infty}=sup_{x \in I}||f(x)||\ge [/mm] 0$
[mm] $||f||_{\infty}=sup_{x \in I}||f(x)||=0 \gdw [/mm] f=0$
[mm] $||f+g||_{\infty}=sup_{x \in I}||f(x)+g(x)|| \le ||f||_{\infty}+||g||_{\infty}=sup_{x \in I}||f(x)||+sup_{x \in I}||g(x)||$
[/mm]
[mm] $||\lambda *f||_{\infty}=sup_{x \in I}||\lambda *f(x)||=|\lambda|*||f||_{\infty}=|\lambda |*sup_{x \in I}||f(x)||$
[/mm]
oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Do 19.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:51 Do 19.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]a,b \in \IR[/mm] mit [mm]a
> Intervall.
> Zeigen Sie, dass die Integralabbildung
> [mm]\mathcal{I} : \mathcall{T}(I,\IR) \to \IR , f\mapsto \integral_{(a,b)}{f}[/mm]
>
> eine stetige lineare Abbildung in nominierten Räumen ist.
>
> Hinweis: Sie dürfen voraussetzen, dass der Raum der
> Treppenfunktionen [mm]\mathcal{T} (I,\IR)$[/mm] mit der
> Supremumsnorm $|| [mm]\cdot ||_{\infty}$[/mm] ein normierter
> Vektorraum ist.
> Hallo Alle zusammen,
> ich arbeite gerade an der Aufgabe hier, aber weiß einfach
> nicht, wie ich anfangen soll, oder wie ich überhaupt
> vorgehen soll.
>
> Würde mich über jede Hilfe freuen.
>
> Vielen Dank
>
> LG
> Dudi
Linearität:
Zeige: [mm] \mathcal{I}(rf+sg)=r\mathcal{I}(f)+s\mathcal{I}(g) [/mm] für r,s [mm] \in \IR [/mm] und f,g [mm] \in [/mm] $ [mm] \mathcal{T} (I,\IR)$ [/mm]
Stetigkeit:
Bei linearen Abb. ist Stetigkeit gleichbedeutend mit Beschränkt heit. Zeige also: es gibt ein c [mm] \ge [/mm] 0 mit:
[mm] |\mathcal{I}(f)| \le c||f||_{\infty} [/mm] für alle f,g [mm] \in [/mm] $ [mm] \mathcal{T} (I,\IR)$
[/mm]
FRED
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