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| Aufgabe | Berechnen Sie: [mm] \integral_{0}^{2 \pi}{\bruch{sinx}{2+cosx} dx}
[/mm]
Verwenden Sie hierfür folgenden Satz:
Sei R(z) ein rationaler Ausdruck über [mm] \IR [/mm] in z, der höchstens einfache Pole hat für alle z [mm] \in \IR [/mm] und eine Nullstelle der Ordnung [mm] \ge [/mm] 1 bei [mm] \infty. [/mm] Dann hat f(z) nur endliche viele Singularitäten in [mm] H \cup \IR [/mm] (H ist die obere Halbebene)
Wenn die reellen Polstellen von f alle in [mm] \pi \IZ [/mm] liegen, gilt:
[mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{R(x) sinx dx}= 2 \pi \summe_{z_{0} \in H} Re(Res_{z_{0}}(R(z)e^{iz})) [/mm] |
Hallo!
Hier hängt es bei mir schon an mehreren Stellen direkt beim ersten Schritt, welcher wohl wie folgt aussehen soll:
[mm] \integral_{0}^{2 \pi}{\bruch{sinx}{2+cosx} dx} = 2 \pi \summe_{z_{0} \in B_{1}(0)} Res_{z_{0}}( \bruch{1}{z} \bruch{\bruch{z-z^{-1}}{2i}}{2+\bruch{z+z^{-1}}{2}}) [/mm]
1. [mm] B_{1}(0) [/mm] verwende ich hier, da das Integral eingeschränkt ist, wodurch auch nur der Satz angewendet kann, da es sonst unendlich viele Nullstellen gäbe, oder?
2. Ich denke mir, dass die Umformungen etwas damit zu tun haben, dass [mm] cos z=\bruch{e^{iz}+e^{-iz}}{2} [/mm] und [mm] sin z =\bruch{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} [/mm], aber ich komme nicht auf den richtigen Weg! Kann mir hier jemand einen Tipp geben?
Es wäre super, wenn mir damit jemand helfen könnte!
Grüßle, Lily
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Hallo Mathe-Lily,
> Berechnen Sie: [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{\bruch{sinx}{2+cosx} dx}[/mm]
>
> Verwenden Sie hierfür folgenden Satz:
> Sei R(z) ein rationaler Ausdruck über [mm]\IR[/mm] in z, der
> höchstens einfache Pole hat für alle z [mm]\in \IR[/mm] und eine
> Nullstelle der Ordnung [mm]\ge[/mm] 1 bei [mm]\infty.[/mm] Dann hat f(z) nur
> endliche viele Singularitäten in [mm]H \cup \IR[/mm] (H ist die
> obere Halbebene)
> Wenn die reellen Polstellen von f alle in [mm]\pi \IZ[/mm] liegen,
> gilt:
> [mm]\integral_{- \infty}^{\infty}{R(x) sinx dx}= 2 \pi \summe_{z_{0} \in H} Re(Res_{z_{0}}(R(z)e^{iz}))[/mm]
>
> Hallo!
> Hier hängt es bei mir schon an mehreren Stellen direkt
> beim ersten Schritt, welcher wohl wie folgt aussehen soll:
>
> [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{\bruch{sinx}{2+cosx} dx} = 2 \pi \summe_{z_{0} \in B_{1}(0)} Res_{z_{0}}( \bruch{1}{z} \bruch{\bruch{z-z^{-1}}{2i}}{2+\bruch{z+z^{-1}}{2}})[/mm]
>
> 1. [mm]B_{1}(0)[/mm] verwende ich hier, da das Integral
> eingeschränkt ist, wodurch auch nur der Satz angewendet
> kann, da es sonst unendlich viele Nullstellen gäbe, oder?
>
Nein, damit hat das nichts zu tun.
> 2. Ich denke mir, dass die Umformungen etwas damit zu tun
> haben, dass [mm]cos z=\bruch{e^{iz}+e^{-iz}}{2}[/mm] und [mm]sin z =\bruch{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} [/mm],
> aber ich komme nicht auf den richtigen Weg! Kann mir hier
> jemand einen Tipp geben?
>
Das ist genau die richtige Idee.
> Es wäre super, wenn mir damit jemand helfen könnte!
>
> Grüßle, Lily
Gruss
MathePower
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Hallo, ihr Lieben!
Vielen, vielen Dank für die viele Rückmeldung und nun habe ich schon mal 2 Wege, die funktionieren und die ich auch verstehe! Super! 
Keine Ahnung, warum unser Dozent dann wollte, dass wir das so lösen.
Aber ich würde gerne den Weg trotzdem verstehen, auch zur Übung für andere Aufgaben!
> > Berechnen Sie: [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{\bruch{sinx}{2+cosx} dx}[/mm]
>
> >
> > Verwenden Sie hierfür folgenden Satz:
> > Sei R(z) ein rationaler Ausdruck über [mm]\IR[/mm] in z, der
> > höchstens einfache Pole hat für alle z [mm]\in \IR[/mm] und eine
> > Nullstelle der Ordnung [mm]\ge[/mm] 1 bei [mm]\infty.[/mm] Dann hat f(z) nur
> > endliche viele Singularitäten in [mm]H \cup \IR[/mm] (H ist die
> > obere Halbebene)
> > Wenn die reellen Polstellen von f alle in [mm]\pi \IZ[/mm]
> liegen,
> > gilt:
> > [mm]\integral_{- \infty}^{\infty}{R(x) sinx dx}= 2 \pi \summe_{z_{0} \in H} Re(Res_{z_{0}}(R(z)e^{iz}))[/mm]
>
> >
> > Hallo!
> > Hier hängt es bei mir schon an mehreren Stellen direkt
> > beim ersten Schritt, welcher wohl wie folgt aussehen soll:
> >
> > [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{\bruch{sinx}{2+cosx} dx} = 2 \pi \summe_{z_{0} \in B_{1}(0)} Res_{z_{0}}( \bruch{1}{z} \bruch{\bruch{z-z^{-1}}{2i}}{2+\bruch{z+z^{-1}}{2}})[/mm]
>
> >
> > 1. [mm]B_{1}(0)[/mm] verwende ich hier, da das Integral
> > eingeschränkt ist, wodurch auch nur der Satz angewendet
> > kann, da es sonst unendlich viele Nullstellen gäbe, oder?
> >
>
>
> Nein, damit hat das nichts zu tun.
Hm, mit was denn dann?
>
>
> > 2. Ich denke mir, dass die Umformungen etwas damit zu tun
> > haben, dass [mm]cos z=\bruch{e^{iz}+e^{-iz}}{2}[/mm] und [mm]sin z =\bruch{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} [/mm],
> > aber ich komme nicht auf den richtigen Weg! Kann mir hier
> > jemand einen Tipp geben?
> >
>
>
> Das ist genau die richtige Idee.
Super! Könnte mir hier jemand einen Tipp geben, wie ich dann von dieser Idee weiter komme?
Grüßle, Lily
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Hallo Mathe-Lily,
> Hallo, ihr Lieben!
> Vielen, vielen Dank für die viele Rückmeldung und nun
> habe ich schon mal 2 Wege, die funktionieren und die ich
> auch verstehe! Super!
> Keine Ahnung, warum unser Dozent dann wollte, dass wir das
> so lösen.
>
> Aber ich würde gerne den Weg trotzdem verstehen, auch zur
> Übung für andere Aufgaben!
>
> > > Berechnen Sie: [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{\bruch{sinx}{2+cosx} dx}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Verwenden Sie hierfür folgenden Satz:
> > > Sei R(z) ein rationaler Ausdruck über [mm]\IR[/mm] in z, der
> > > höchstens einfache Pole hat für alle z [mm]\in \IR[/mm] und eine
> > > Nullstelle der Ordnung [mm]\ge[/mm] 1 bei [mm]\infty.[/mm] Dann hat f(z) nur
> > > endliche viele Singularitäten in [mm]H \cup \IR[/mm] (H ist die
> > > obere Halbebene)
> > > Wenn die reellen Polstellen von f alle in [mm]\pi \IZ[/mm]
> > liegen,
> > > gilt:
> > > [mm]\integral_{- \infty}^{\infty}{R(x) sinx dx}= 2 \pi \summe_{z_{0} \in H} Re(Res_{z_{0}}(R(z)e^{iz}))[/mm]
>
> >
> > >
> > > Hallo!
> > > Hier hängt es bei mir schon an mehreren Stellen
> direkt
> > > beim ersten Schritt, welcher wohl wie folgt aussehen soll:
> > >
> > > [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{\bruch{sinx}{2+cosx} dx} = 2 \pi \summe_{z_{0} \in B_{1}(0)} Res_{z_{0}}( \bruch{1}{z} \bruch{\bruch{z-z^{-1}}{2i}}{2+\bruch{z+z^{-1}}{2}})[/mm]
>
> >
> > >
> > > 1. [mm]B_{1}(0)[/mm] verwende ich hier, da das Integral
> > > eingeschränkt ist, wodurch auch nur der Satz angewendet
> > > kann, da es sonst unendlich viele Nullstellen gäbe, oder?
> > >
> >
> >
> > Nein, damit hat das nichts zu tun.
>
> Hm, mit was denn dann?
>
Das ist eine Definition.
> >
> >
> > > 2. Ich denke mir, dass die Umformungen etwas damit zu tun
> > > haben, dass [mm]cos z=\bruch{e^{iz}+e^{-iz}}{2}[/mm] und [mm]sin z =\bruch{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} [/mm],
> > > aber ich komme nicht auf den richtigen Weg! Kann mir hier
> > > jemand einen Tipp geben?
> > >
> >
> >
> > Das ist genau die richtige Idee.
>
> Super! Könnte mir hier jemand einen Tipp geben, wie ich
> dann von dieser Idee weiter komme?
Setze diese Überlegungen zunächst in den Integranden ein.
Substituiere [mm]w=e^{i*z}[/mm], vereinfache dann den
erhaltenen Ausdruck und berechne dann die Pole,
die innerhalb des Einheitskreises liegen.
>
> Grüßle, Lily
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:38 Di 26.08.2014 | | Autor: | Mathe-Lily |
Vielen Dank für deine Hilfe, mit viel Grübelei, deiner Hilfestellung und genauem Studium des Skripts hat es nun geklappt!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:45 Fr 22.08.2014 | | Autor: | fred97 |
Zum üben des Residuensatzes ist der vorgeschlagene Weg zur Berechnung des Integrals $ [mm] \integral_{0}^{2 \pi}{\bruch{sinx}{2+cosx} dx} [/mm] $ ja ganz nett.
Aber mal ehrlich, der vorgeschlagene Weg ist doch mit Kanonen auf Spatzen geschossen.
Mit der Substitution [mm] $t=2+\cos(x)$ [/mm] sieht man doch ratz-fatz und so umgehend wie geschwind, dass
$ [mm] \integral_{0}^{2 \pi}{\bruch{sinx}{2+cosx} dx} [/mm] =0$
ist.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:51 Fr 22.08.2014 | | Autor: | abakus |
> Zum üben des Residuensatzes ist der vorgeschlagene Weg zur
> Berechnung des Integrals [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{\bruch{sinx}{2+cosx} dx}[/mm]
> ja ganz nett.
>
> Aber mal ehrlich, der vorgeschlagene Weg ist doch mit
> Kanonen auf Spatzen geschossen.
>
> Mit der Substitution [mm]t=2+\cos(x)[/mm] sieht man doch ratz-fatz
> und so umgehend wie geschwind, dass
>
> [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{\bruch{sinx}{2+cosx} dx} =0[/mm]
>
> ist.
>
> FRED
Hallo Fred,
auch die Substitution ist so, als würde man mit Kanonen nach Spatzen werfen.
Der Zähler ist - abgesehen vom nicht vorhandenen Minuszeichen - fast die Ableitung des Nenners.
Eine Stammfunktion ist also -ln(2+ cos x).
Gruß Abakus
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> > Zum üben des Residuensatzes ist der vorgeschlagene Weg
> zur
> > Berechnung des Integrals [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{\bruch{sinx}{2+cosx} dx}[/mm]
>
> > ja ganz nett.
> >
> > Aber mal ehrlich, der vorgeschlagene Weg ist doch mit
> > Kanonen auf Spatzen geschossen.
> >
> > Mit der Substitution [mm]t=2+\cos(x)[/mm] sieht man doch
> ratz-fatz
> > und so umgehend wie geschwind, dass
> >
> > [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{\bruch{sinx}{2+cosx} dx} =0[/mm]
> >
> > ist.
> >
> > FRED
> Hallo Fred,
> auch die Substitution ist so, als würde man mit Kanonen
> nach Spatzen werfen.
> Der Zähler ist - abgesehen vom nicht vorhandenen
> Minuszeichen - fast die Ableitung des Nenners.
> Eine Stammfunktion ist also -ln(2+ cos x).
> Gruß Abakus
Na, ist denn dies nicht dasselbe wie die von Fred vorgeschlagene
Substitution, eben für den Spezialfall eines Integranden der Form
[mm] $\frac{h'(x)}{h(x)}$ [/mm] ??
Da leistest du dir eben neben der ziemlich universellen Substi-
tutionskeule noch ein Extra-Keulchen für diesen (ziemlich
trivialen oder fast läppischen) Spezialfall ... 
LG , Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:47 Fr 22.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
Hallo Al,
ich ich leiste mir gerne dieses und auch andere "Extra-Keulchen" (etwa lineare Subst.), da sie es oft ermöglichen, ohne lästiges Anschreiben von Substitution und Rücksubstitution direkt die Lösung hinzuschreiben.
Ich kann es nur empfehlen, sich der eigenen Bequemlichkeit zuliebe ein paar dieser "Extra-Keulchen" ins Repertoire zu nehmen.
Gruß RMix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:22 Sa 23.08.2014 | | Autor: | fred97 |
Hallo Abakus,
neulich lauschte ich, Fred (F), einer Diskussion zwischen Alfred (A) und Belfred (B):
A: Hey Du B, stell Dir vor, ich habe eine stetig differenzierbare und positive Funktion f auf einem Intervall I. Wie kann ich eine Stammfunktion von f'/f auf I berechnen ?
B: Das ist doch ganz einfach: eine Stammfunktion ist z.B.
(*) [mm] \phi(x):= \ln(f(x)).
[/mm]
A: Toll, wenn ich [mm] \phi [/mm] differenziere komme ich tatsächlich auf f'/f. Prima ! Aber wie kommt man auf (*) ?
B: keine Ahnung.
Nun war es an der Zeit, dass Fred sich einschaltet:
F: substituiere $t=f(x)$.
A: herzlichen Dank, Fred.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:38 Sa 23.08.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo Abakus,
>
> neulich lauschte ich, Fred (F), einer Diskussion zwischen
> Alfred (A) und Belfred (B):
>
> A: Hey Du B, stell Dir vor, ich habe eine stetig
> differenzierbare und positive Funktion f auf einem
> Intervall I. Wie kann ich eine Stammfunktion von f'/f auf I
> berechnen ?
>
>
> B: Das ist doch ganz einfach: eine Stammfunktion ist z.B.
>
> (*) [mm]\phi(x):= \ln(f(x)).[/mm]
>
>
> A: Toll, wenn ich [mm]\phi[/mm] differenziere komme ich tatsächlich
> auf f'/f. Prima ! Aber wie kommt man auf (*) ?
>
>
> B: keine Ahnung.
>
> Nun war es an der Zeit, dass Fred sich einschaltet:
>
>
> F: substituiere [mm]t=f(x)[/mm].
>
> A: herzlichen Dank, Fred.
>
>
> FRED
Nette Geschichte, F!
ich kenne auch eine. Ein Schüler namens Merkfred (nennen wir ihn kurz "M") erhielt die Aufgabe, von einigen Funktionen die Ableitung zu bilden.
Darundenb war auch die verkettete Funktion
g(x)=ln(f(x)).
M erhielt die Ableitung [mm] $g'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}$.
[/mm]
M überlegte: Sollte ich jemals eine Funktion der [mm] Form $\frac{f'(x)}{f(x)}$ [/mm] integrieren sollen, kenne ich sofort eine Stammfunktion. Zu jenem Zeitpunkt ahnte M noch nicht einmal, dass ihm Subfred (S) später noch andere Integrationsregeln beibringen würde.
Gruß Abakus
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Dann schieße ich mal mit Kirschsteinen auf Tauben.
Da Sinus und Cosinus [mm]2 \pi[/mm]-periodisch sind, muß auch [mm]x \mapsto \frac{\sin x}{2 + \cos x}[/mm] die Periode [mm]2 \pi[/mm] besitzen. Daher gilt:
[mm]\int_0^{2 \pi} \frac{\sin x}{2 + \cos x} ~ \mathrm{d}x = \int_{- \pi}^{\pi} \frac{\sin x}{2 + \cos x} ~ \mathrm{d}x = 0[/mm]
Der Integrand ist als Quotient aus einer ungeraden und einer geraden Funktion ja wieder ungerade.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:59 Fr 22.08.2014 | | Autor: | abakus |
> Dann schieße ich mal mit Kirschsteinen auf Tauben.
Das ist ja fies!
Dann werfe ich mit Wattebällchen - bis einer weint!
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> Dann schieße ich mal mit Kirschsteinen auf Tauben.
Naja, wenn es dir genügt, die Tauben für einen Moment
wegzuscheuchen, bis dir wieder eine auf den Kopf ...
Al
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Mensch! Früher! War da das Leben schön!