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| Aufgabe | Berechne Sie das folgende Integral!
[mm] \integral_{0}^{ \pi/2} {cos^{3}x dx}! [/mm] |
Ich glaube, das ich es mit der Substitution machen muss, bin mir aber nicht sicher, wie das geht. Kann mir einer helfen?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sternchen!
Nein, mit Substitution kommst Du hier nicht weiter.
Aber mit partieller Integration: [mm]\integral_{}^{}{\cos^3(x) \ dx} \ = \ \integral_{}^{}{ \underbrace{\cos(x)}_{=u'}*\underbrace{\cos^2(x)}_{=v} \ dx}[/mm]
Anschließend den trigonometrischen Pythagoras anwenden:
[mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x) [/mm] \ = \ 1$ [mm] $\gdw$ $\sin^2(x) [/mm] \ = \ [mm] 1-\cos^2(x)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort. Aber leider komme ich immer noch nicht drauf. Ich schreib mal den Ansatz, soweit ich ihn habe:
[mm] \integral_{0}^{\pi/2} {cos^{3}x dx}=
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\pi/2} {cosx*cos^{2}x dx}=
[/mm]
[mm] sinx*cos^{2}x- \integral_{0}^{\pi/2} {sinx*cos^{2}x dx}=
[/mm]
[mm] sinx*cos^{2}x- \integral_{0}^{\pi/2} {sinx*(1-sin^{2}) dx}
[/mm]
Dann wäre ich ja wieder da, wo ich zu beginn war.
Könntest du mir sagen, ob es bis hierhin schon falsch ist udn wenn nicht, wie ich dann weitermachen muss?
Wär echt lieb!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:35 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo sternchen!
> [mm]sinx*cos^{2}x- \integral_{0}^{\pi/2} {sinx*cos^{2}x dx}=[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du hast $v' \ = \ [mm] \left[ \ \cos^2(x) \ \right]'$ [/mm] falsch ermittelt bzw. eingesetzt:
$v' \ = \ [mm] 2*\cos^1(x)*[-\sin(x)] [/mm] \ = \ [mm] -2*\sin(x)*\cos(x)$
[/mm]
Nach Einsetzen des trigonometrischen Pythagoras' entsteht auf der rechten Seite wieder unser gesuchtes Integral. Nun kann man durch Äquivalenzumformung der Gleichung nach diesem umstellen.
Gruß
Loddar
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Hallo sternchen19.8,
> Berechne Sie das folgende Integral!
> [mm]\integral_{0}^{ \pi/2} {cos^{3}x dx}![/mm]
Genauso wie bei der Exponentialfunktion kann man auch beim Sinus und Kosinus ausnutzen, daß diese sich beim Ableiten "abwechseln" (aus Sinus wird Kosinus und umgekehrt; das Vorzeichen ändert sich dabei auch.)
Damit kann man nämlich durch "sinnvolles Raten" auf die Lösung kommen.
Was ist, wenn wir [mm]\cos^3 x[/mm] ableiten?
[mm]\frac{\partial}{\partial x}\cos^3 x = -3\sin x \cos^2 x[/mm]
Loddar hat ja die Beziehung
[mm]\sin^2 x + \cos^2 x = 1[/mm]
bereits erwähnt.
Mit dieser Beziehung erhalten wir oben aber einen Term, der nur aus Sinus-Termen besteht. Was wäre denn, wenn wir stattdessen [mm]\sin^3 x[/mm] abgeleitet hätten? Wegen der Periodizität dieser Funktionen, müßten wir am Ende auf Kosinus-Terme kommen, was sehr vorteilhaft ist:
[mm]\frac{\partial}{\partial x}\sin^3 x = 3\cos x \sin^2 x[/mm]
Wegen der obigen Beziehung gilt:
[mm]3\cos(x) \left(1-\cos^2 x\right) = 3\cos x - 3\cos^3 x[/mm]
Dann gilt aber im Umkehrschluß:
[mm]\int{\left(3\cos x - 3\cos^3 x\right)\mathrm{d}x} = \sin^3 x[/mm]
Über die Linearität der Integrale kannst Du daraus nun eine geschlossene Darstellung von [mm]\int{\cos^3(x) \mathrm{d}x}[/mm] bestimmen.
Viele Grüße
Karl
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