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| Aufgabe | Berechnung des Folgenden Integrals:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{\wurzel{a^{2}+x^{2}}}{x^{2}}dx} [/mm] |
Irgendwie bekomm ich dieses Integral nicht gelöst. Schon mal vielen Dank für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Do 04.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Träumer
Partielle Integration: [mm] v'=x^{-2} v=-x^{-1}
[/mm]
Gruss leduart
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Die Partielle Integration habe ich auch durchgeführt. Das Integral danach scheint jedoch noch kompliziertier zu sein. Ich habe Versucht dieses dann mit Hilfe der Substitution zu lösen, jedoch ohne Erfolg. Derive sagt übrigens, dass da [mm] -arcsin(\bruch{x}{Betrag x})-\bruch{\wurzel{a^{2}-x^{2}}}{x} [/mm] rauskommen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Fr 05.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie hast du denn partiell integriert?
[mm] v'=x^{-2} v=-x^{-1} [/mm]
[mm] $u=\wurzel{a^2+x^2}$ $u'=x/\wurzel{a^2+x^2}$
[/mm]
Damit bleibt das Integral u'v also unterm Integral [mm] $1/\wurzel{a^2+x^2}$
[/mm]
und das ist elementar, beinahe arcsin
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Di 09.05.2006 | | Autor: | dazivo |
hallo erstmal!! Also ich habe da einen anderen Vorschlag ohne irgendwelche Substitution, vorrausgesetzt man hat kreativität:
zunächst einmal kuckst du dir die Ableitung des bruches an:
[mm] \bruch{d }{dx}\bruch{\sqrt{x^2+a^2}}{x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\sqrt{x^2+a^2}} [/mm] - [mm] \bruch{\sqrt{x^2+a^2}}{x^2}
[/mm]
Das ganze Problem reduziert sich nur noch auf die Suche der Stammfunktion des Ausdrucks [mm] \bruch{1}{\sqrt{x^2+a^2}}.
[/mm]
Also:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\sqrt{x^2+a^2}}. dx}
[/mm]
Erweiterung mit dem Bruch [mm] \bruch{\sqrt{x^2+a^2}+x}{\sqrt{x^2+a^2}+x} [/mm] verändert die Lösungsmenge nicht, also
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\sqrt{x^2+a^2}} \bruch{\sqrt{x^2+a^2}+x}{\sqrt{x^2+a^2}+x} . dx}
[/mm]
Das ist ja gleich mit:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1+\bruch{x}{\sqrt{x^2+a^2}}}{\sqrt{x^2+a^2}+x} dx}
[/mm]
und das wiederum ist Ableitung durch Funktion, wobei $f(x)= [mm] \sqrt{x^2+a^2}+x$, [/mm] also
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{f'(x)}{f(x)} dx}= \ln [/mm] |f(x)|= [mm] \ln |\sqrt{x^2+a^2}+x|
[/mm]
Wenn du jetzt das auf die obere gleichung überträgst:
[mm] \bruch{d }{dx}\bruch{\sqrt{x^2+a^2}}{x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\sqrt{x^2+a^2}} [/mm] - [mm] \bruch{\sqrt{x^2+a^2}}{x^2}
[/mm]
und auf beiden seiten integrierst, musst du nur noch nach deinem gesuchten integral auflösen, sprich
[mm] \bruch{\sqrt{x^2+a^2}}{x} =\ln |\sqrt{x^2+a^2}+x| [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{\bruch{\sqrt{x^2+a^2}}{x^2} dx}
[/mm]
daraus resultiert :
[mm] $\integral_{}^{}{\bruch{\sqrt{x^2+a^2}}{x^2} dx} [/mm] = [mm] \ln |\sqrt{x^2+a^2}+x| [/mm] - [mm] \bruch{\sqrt{x^2+a^2}}{x} [/mm] +C, C [mm] \in \IR$
[/mm]
eben, es braucht ein bisschen kreativität ;)
Gruss dazivo
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