Integralberechnung < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen Sie [mm] \integral_{K}^{}{(1-x^2-y^2) d(x,y)} [/mm] für [mm] K={(x,y)\in \IR^2;0\le x+y\le 4 und 0\le y-x\le 2}
[/mm]
Hinweis: Verwenden Sie neue Koordinaten u,v mit u=x+y und v=y-x |
So, versuche mal die Aufgabe, aber bin mir sehr unsicher.
Also mit den neuen Koordinaten gilt dann:
0 [mm] \le [/mm] u [mm] \le [/mm] 4
0 [mm] \le [/mm] v [mm] \le [/mm] 2
Aus u=x+y => y=u-x und dies in v=y-x eingesetzt ergibt x=-1/2v+1/2u und daraus ergibt sich y=1/2v+1/2u
Nun muss ich die Determinante von der Jacobi-Matrix von der Umkehrfunktion berechnen, also [mm] det(\pmat{ 1/2 & -1/2 \\ 1/2 & 1/2 })=1/2
[/mm]
Mit dem Transformationssatz bekommt man dann:
[mm] \integral_{G}^{}{\bruch{1}{2}(1-(\bruch{1}{2}u-\bruch{1}{2}v)^2-(\bruch{1}{2}u+\bruch{1}{2}v)^2)d(u,v)}
[/mm]
G ist die inverse Funktion von K
Nach Umformungen bekomme ich
[mm] \integral_{G}^{}{(\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}u^2-\bruch{1}{4}v^2) d(u,v)}
[/mm]
Dann Fubini-Tonelli anwenden
[mm] =\integral_{0}^{4}(\integral_{0}^{2}{\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}u^2-\bruch{1}{4}v^2 du)} [/mm] dv
Dann Stammfunktionen finden und einsetzen. Ich bekomme am Ende dann
[mm] ...=\bruch{8}{3}-\bruch{32}{3}=-8 [/mm] Kann überhaupt ein negatives Ergebnis rauskommen? Muss ich einfach den Betrag davon nehmen, also ist 8 das Ergebnis?
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte und mir meine Fehler berichtigen könnte.
Vielen Dank
TheBozz-mismo
|
|
| |
|
Hallo
Also bis zum Ausrechnen der Stammfunktionen scheint dein Weg zu stimmen.. habs nachgerechnet und bekomme das gleiche.
Nur ist mein Ergebnis anders.. du hast -8, ich bekomme jedoch [mm] $-\frac{28}{3}$. [/mm]
Hast du dich verrechnet oder ich? ;)
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
Ich hab mich verrechnet, dein Ergebnis stimmt und hab ich jetzt auch raus.
Danke für die Hilfe
TheBozz-mismo
|
|
|
| |
|
Hallo!
> Berechnen Sie [mm]\integral_{K}^{}{(1-x^2-y^2) d(x,y)}[/mm] für
> [mm]K={(x,y)\in \IR^2;0\le x+y\le 4 und 0\le y-x\le 2}[/mm]
>
> Hinweis: Verwenden Sie neue Koordinaten u,v mit u=x+y und
> v=y-x
> So, versuche mal die Aufgabe, aber bin mir sehr unsicher.
> Also mit den neuen Koordinaten gilt dann:
> 0 [mm]\le[/mm] u [mm]\le[/mm] 4
> 0 [mm]\le[/mm] v [mm]\le[/mm] 2
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aus u=x+y => y=u-x und dies in v=y-x eingesetzt ergibt
> x=-1/2v+1/2u und daraus ergibt sich y=1/2v+1/2u
>
> Nun muss ich die Determinante von der Jacobi-Matrix von der
> Umkehrfunktion berechnen, also [mm]det(\pmat{ 1/2 & -1/2 \\
1/2 & 1/2 })=1/2[/mm]
> Mit dem Transformationssatz bekommt man dann:
>
> [mm]\integral_{G}^{}{\bruch{1}{2}(1-(\bruch{1}{2}u-\bruch{1}{2}v)^2-(\bruch{1}{2}u+\bruch{1}{2}v)^2)d(u,v)}[/mm]
> G ist die inverse Funktion von K
> Nach Umformungen bekomme ich
>
> [mm]\integral_{G}^{}{(\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}u^2-\bruch{1}{4}v^2) d(u,v)}[/mm]
>
> Dann Fubini-Tonelli anwenden
>
> [mm]=\integral_{0}^{4}(\integral_{0}^{2}{\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}u^2-\bruch{1}{4}v^2 du)}[/mm]
> dv
>
Umformungen des Integranden sind alle richtig,
aber die Integrationsreihenfolge ist verkehrt herum! (ist aber egal...)
> Dann Stammfunktionen finden und einsetzen. Ich bekomme am
> Ende dann
> [mm]...=\bruch{8}{3}-\bruch{32}{3}=-8[/mm] Kann überhaupt ein
> negatives Ergebnis rauskommen? Muss ich einfach den Betrag
> davon nehmen, also ist 8 das Ergebnis?
Wieso muss das Ergebnis positiv sein?
Das Ergebnis ist fast richtig, ich komme auf [mm] $-\frac{28}{3}$. [/mm] Musst dich also auf der Zielgeraden verlaufen haben 
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
> > Mit dem Transformationssatz bekommt man dann:
> >
> >
> [mm]\integral_{G}^{}{\bruch{1}{2}(1-(\bruch{1}{2}u-\bruch{1}{2}v)^2-(\bruch{1}{2}u+\bruch{1}{2}v)^2)d(u,v)}[/mm]
> > G ist die inverse Funktion von K
> > Nach Umformungen bekomme ich
> >
> >
> [mm]\integral_{G}^{}{(\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}u^2-\bruch{1}{4}v^2) d(u,v)}[/mm]
>
> >
> > Dann Fubini-Tonelli anwenden
> >
> >
> [mm]=\integral_{0}^{4}(\integral_{0}^{2}{\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}u^2-\bruch{1}{4}v^2 du)}[/mm]
> > dv
> >
>
> Umformungen des Integranden sind alle richtig,
> aber die Integrationsreihenfolge ist verkehrt herum! (ist
> aber egal...)
>
Stimmt, im Skript bei uns war es auch immer anders herum, aber unser Prof hat es immer so gemacht und es ist ja äquivalent bzw. wenn man bei einem Integral nicht weiterkommt, dann sollte man die Integrationsreihenfolge ändern, oder?
> > Dann Stammfunktionen finden und einsetzen. Ich bekomme am
> > Ende dann
> > [mm]...=\bruch{8}{3}-\bruch{32}{3}=-8[/mm] Kann überhaupt ein
> > negatives Ergebnis rauskommen? Muss ich einfach den Betrag
> > davon nehmen, also ist 8 das Ergebnis?
>
> Wieso muss das Ergebnis positiv sein?
> Das Ergebnis ist fast richtig, ich komme auf
> [mm]-\frac{28}{3}[/mm]. Musst dich also auf der Zielgeraden
> verlaufen haben
>
Hey, vielen Dank, hatte einen kleinen Rechenfehler und komme nun auch auf [mm] \bruch{-28}{3}
[/mm]
Bis jetzt hatten wir nur positive Ergebnisse und ich dachte, das wäre wie in einer Dimension, das es keine negative Fläche gibt.
Kannst du vielleicht mit deinen Worten erklären, wie man dieses Ergebnis interpretieren kann.
Also man hat die Funktion und dann das Gebiert K und das Ergebnis ist die Fläche, die eingeschlossen wird davon.
Es wäre sehr nett, wenn du oder ein anderer mir noch bei meinen Verständnisschwierigkeiten helfen kann.
Vielen Dank
TheBozz-mismo
> Grüße,
> Stefan
|
|
|
| |
|
Hallo!
> > > Mit dem Transformationssatz bekommt man dann:
> > >
> > >
> >
> [mm]\integral_{G}^{}{\bruch{1}{2}(1-(\bruch{1}{2}u-\bruch{1}{2}v)^2-(\bruch{1}{2}u+\bruch{1}{2}v)^2)d(u,v)}[/mm]
> > > G ist die inverse Funktion von K
> > > Nach Umformungen bekomme ich
> > >
> > >
> >
> [mm]\integral_{G}^{}{(\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}u^2-\bruch{1}{4}v^2) d(u,v)}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Dann Fubini-Tonelli anwenden
> > >
> > >
> >
> [mm]=\integral_{0}^{4}(\integral_{0}^{2}{\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}u^2-\bruch{1}{4}v^2 du)}[/mm]
> > > dv
> > >
> >
> > Umformungen des Integranden sind alle richtig,
> > aber die Integrationsreihenfolge ist verkehrt herum!
> (ist
> > aber egal...)
> >
> Stimmt, im Skript bei uns war es auch immer anders herum,
> aber unser Prof hat es immer so gemacht und es ist ja
> äquivalent bzw. wenn man bei einem Integral nicht
> weiterkommt, dann sollte man die Integrationsreihenfolge
> ändern, oder?
Richtig. Allerdings ist das nicht immer "einfach so" zu machen.
Man darf die Integrationsreihenfolge beliebige vertauschen, wenn ALLE Integrationsgrenzen konstant sind (das ist hier der Fall).
Dann muss man aber eben auch die Integrationsgrenzen mitvertauschen. Beispiel:
[mm]\int_{1}^{2}\int_{3}^{4}f(x,y) dx\ dy = \int_{3}^{4}\int_{1}^{2}f(x,y) dy\ dx[/mm]
OK?
Bei dir oben war insbesondere das Problem, dass deine Integrationsgrenzen nicht zu den Variablen gepasst haben!
Du integrierst
> > > [mm]=\integral_{0}^{4}(\integral_{0}^{2}{\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}u^2-\bruch{1}{4}v^2 du)} dv[/mm]
aber zu "u" gehören die Grenzen (0,4), nicht die Grenzen (0,2)!
Ich meinte, dass dies egal ist, weil die Funktion symmetrisch in x und y ist. (sonst wäre das nicht egal gewesen).
> > > Dann Stammfunktionen finden und einsetzen. Ich bekomme
> am
> > > Ende dann
> > > [mm]...=\bruch{8}{3}-\bruch{32}{3}=-8[/mm] Kann überhaupt
> ein
> > > negatives Ergebnis rauskommen? Muss ich einfach den Betrag
> > > davon nehmen, also ist 8 das Ergebnis?
> >
> > Wieso muss das Ergebnis positiv sein?
> > Das Ergebnis ist fast richtig, ich komme auf
> > [mm]-\frac{28}{3}[/mm]. Musst dich also auf der Zielgeraden
> > verlaufen haben
> >
> Hey, vielen Dank, hatte einen kleinen Rechenfehler und
> komme nun auch auf [mm]\bruch{-28}{3}[/mm]
> Bis jetzt hatten wir nur positive Ergebnisse und ich
> dachte, das wäre wie in einer Dimension, das es keine
> negative Fläche gibt.
Es gibt einen Unterschied zwischen dem Begriff "Fläche" und dem des Integrals. Eine Fläche muss natürlich immer positiv sein.
In deiner Aufgabenstellung sollst du aber ein Integral berechnen. Und Integrale können IMMER negativ sein, egal wie viele Dimensionen man hat. Beispiel: [mm] $\int_{-1}^{0}x [/mm] dx = [mm] -\frac{1}{2}$.
[/mm]
Im Mehrdimensionalen ist das nicht anders.
> Kannst du vielleicht mit deinen Worten erklären, wie man
> dieses Ergebnis interpretieren kann.
> Also man hat die Funktion und dann das Gebiert K und das
> Ergebnis ist die Fläche, die eingeschlossen wird davon.
Nein, das stimmt nicht.
Im Eindimensionalen integrierst du ja eine Funktion über ein Intervall:
[mm] $\int_{0}^{1}x^{2} [/mm] dx$
willst also wissen, welche Fläche die Funktion $f(x) = [mm] x^{2}$ [/mm] im Intervall (0,1) mit der x-Achse einschließt.
Im Mehrdimensionalen ändert sich daran nichts, du integrierst f(x,y) = [mm] $1-x^{2}-y^{2}$ [/mm] über die angegebene Fläche, willst also wissen, wieviel VOLUMEN deine Funktion mit der x-y-Ebene in dem angegebenen Gebiet einschließt.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
Vielen lieben Dank für deine ausführlichen Erklärungen. Dadurch bin ich jetzt schlauer.
Danke nochmal
TheBozz-mismo
|
|
|
|
