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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 Sa 12.05.2012 | | Autor: | anetteS |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Integral [mm] \integral_{|z-a|=a}^{}{\bruch{z}{z^{4}-1}}{dz}
[/mm]
Hierbei ist der Kreis gegen den Uhrzeigersinn orientiert. |
Hallo!
Mein Problem bei der obigen Aufgabe ist, dass wir bis jetzt immer nur Wegintegrale berechnet haben. Was wäre denn hier der Weg? Ein Kreis?
Wir hatten in der Vorlesung zuletzt die Cauchysche Integralformel. Kann man die Aufgabe irgendwie damit lösen?
Ich habe bis jetzt die Funktion nur umgeschrieben. Habe aber keine Idee, wie ich das Integral berechnen soll.
[mm] \integral_{|z-a|=a}^{}{\bruch{z}{z^{4}-1}}{ dz} [/mm] = [mm] \integral_{|z-a|=a}^{}{\bruch{z}{(z+1)(z-1)(z+i)(z-i)}}{ dz}
[/mm]
Vielen Dank für Eure Hilfe,
Anette
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 16:14 Sa 12.05.2012 | | Autor: | M.Rex |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
Das Integral wurde ich aufteilen in
$ \int\frac{z}{z^{4}-1}dz $
$ =\int\frac{z}{(z+1)(z-1)(z^{2}+1)dz $
Nun mache die Partialbruchzerlegung, falls du dich in $ \IR $ bewegst, mit diesem Ausdruck, falls du dich in $ \IC $ bewegst, mit
$ \int\frac{z}{(z+1)(z-1)(z+i)(z-i))dz $
Alternativ substituiere u=z²
Dann gilt:
$ \frac{du}{dz}=2z\Leftrightarrow dz=\frac{1}{2z}du $
Also:
$ \int\frac{z}{z^{4}-1}dz $
$ =\int\frac{z}{u^{2}-1}\cdot\frac{1}{2z}du $
$ =\frac{1}{2}\cdot\int\frac{1}{u^{2}-1}du $
Und das ganze ist nun ein recht bekanntes Integral.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Sa 12.05.2012 | | Autor: | anetteS |
Hallo Marius,
vielen Dank für deine Hilfe. Das ist wirklich nett von dir.
Ich habe aber noch eine Frage. Über was integriere ich denn in diesem Fall. Ich meine, was mache ich mit der angegebenen Grenze |z-a|=a. Irgendwie stehe ich da gerade total auf dem Schlauch.
Vielen Dank und viele Grüße,
Anette
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:08 Sa 12.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Annette!> Hallo Marius,
>
> vielen Dank für deine Hilfe. Das ist wirklich nett von
> dir.
>
> Ich habe aber noch eine Frage. Über was integriere ich
> denn in diesem Fall. Ich meine, was mache ich mit der
> angegebenen Grenze |z-a|=a. Irgendwie stehe ich da gerade
> total auf dem Schlauch.
Da hast du den Finger auf den wunden Punkt gelegt: es ist zwar möglich, so zu substitutieren wie Marius vorschlägt, aber dann musst du die Parametrisierung des Weges auch substituieren.
Zum Beispiel: eine mögliche Parametrisierung des Integrationsweges ist [mm] $z=a+ae^{i\varphi}$, $0\le \varphi<2\pi$. [/mm] Mit [mm] $u=z^2$ [/mm] ergibt sich sofort
[mm] u=(a+ae^{i\varphi})^2 = a^2+2a^2e^{i\varphi}+a^2e^{2i\varphi} [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 17:53 Sa 12.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Das ist ein Kurvenintegral, da musst du erst den Weg parametrisieren, bevor du sinnvoll substituieren kannst.
Die Substitution hilft hier nicht wirklich, denn dadurch ändert sich der Weg, über den integriert werden muss: im ursprünglichen Integral ist es der Kreis vom Radius a um den Punkt a, im substituierten Integral eine doppelt durchlaufene Kurve.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
Außer die Aufgabe steht Mo an, würde ich noch ne Vorlesung abwarten, denn dann kommt der ![[]](/images/popup.gif) Residuensatz, eine Verallgemeinerung der Cauchyschen Integralformel und die Lösungsmethode, zu deren Demonstration diese Aufgabe konstruiert wurde. =)
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:49 Sa 12.05.2012 | | Autor: | anetteS |
Ah, danke, dann warte ich bis zur Vl am Di ab .
Schönes Wochenende noch Euch allen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:03 Sa 12.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Stefan!
> Außer die Aufgabe steht Mo an, würde ich noch ne
> Vorlesung abwarten, denn dann kommt der
> Residuensatz,
> eine Verallgemeinerung der Cauchyschen Integralformel und
> die Lösungsmethode, zu deren Demonstration diese Aufgabe
> konstruiert wurde. =)
Wirklich? Diese Aufgabe ist leicht mit der Cauchyschen Integralformel zu lösen. Natürlich geht es auch mit dem Residuensatz, aber wozu mit Kanonen auf Spatzen schießen?
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Sa 12.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Annette!
> Berechnen Sie das Integral
> [mm]\integral_{|z-a|=a}^{}{\bruch{z}{z^{4}-1}}{dz}[/mm]
> Hierbei ist der Kreis gegen den Uhrzeigersinn orientiert.
> Hallo!
>
> Mein Problem bei der obigen Aufgabe ist, dass wir bis jetzt
> immer nur Wegintegrale berechnet haben. Was wäre denn hier
> der Weg? Ein Kreis?
Ja. Die Gleichung $|z-a|=a$ sagt doch aus, dass der Abstand von z und a gerade a ist; es handelt sich also um einen Kreis vom Radius a um den Punkt a. Das ergibt überhaupt nur dann einen Sinn, wenn a eine positive reelle Zahl ist. Der Punkt a liegt also auf der positiven reellen Achse. Wo liegt also der genannte Kreis?
>
> Wir hatten in der Vorlesung zuletzt die Cauchysche
> Integralformel. Kann man die Aufgabe irgendwie damit
> lösen?
Ja, das kann man. Du musst zunächst das Integral ein wenig umschreiben.
> Ich habe bis jetzt die Funktion nur umgeschrieben. Habe
> aber keine Idee, wie ich das Integral berechnen soll.
>
> [mm]\integral_{|z-a|=a}^{}{\bruch{z}{z^{4}-1}}{ dz} = \integral_{|z-a|=a}^{}{\bruch{z}{(z+1)(z-1)(z+i)(z-i)}}{ dz}[/mm]
Das ist schon mal gut. Wenn du die Cauchysche Integralformel anwenden willst, musst du dieses Integral auf die Form
(*) [mm] \integral_{|z-a|=a}^{} \bruch{f(z)}{z-z_0} dz [/mm]
bringen, wobei $f(z)$ im Inneren der Kreisscheibe vom Radius a um den Punkt a holomorph sein muss. In (*) haben wir aber einen Nenner mit nur einer Nullstelle.
Dazu frage dich erst einmal, welche der Nullstellen des Nenners liegt überhaupt in dieser Kreisscheibe? Es ist tatsächlich nur höchstens eine der vier Nullstellen, und daher kannst du das Integral tatsächlich in die Form (*) bringen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:12 Mo 14.05.2012 | | Autor: | anetteS |
Hallo an alle lieben Helfer,
ich brauche bei der Aufgabe doch noch weiter Hilfe. Ich habe zwar mittlerweile das Internet nach der Cauchy-Integrallformel durchsucht, verstehe aber immer noch nicht, wie sie angewendet wird.
Also, Reiner meinte, ich muss jetzt überprüfen, welche Nullstellen des Nenners von meinem Integral in der Kreisscheibe mit r=a um a liegen.
Warum betrachte ich überhaupt die Nullstellen?
Die Nullstelle, die im Inneren der Kreisscheibe liegt, ist doch z=1.
Kann ich dann einfach schreiben:
[mm] \integral_{|z-a|=a}^{}{\bruch{f(z)}{z-1} dz} [/mm] ?
Ich versteh wirklich das Prozedere, also wie ich mit der Cauchy-Integrallformel umgehe und ,was mir die Umformung mit der Nullstelle jetzt bringt, und wie ich da jetzt weiter machen soll, nicht so ganz. Brauche da ganz dringend Eure Hilfe.
Vielen Dank und viele Grüße,
Anette.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:35 Mo 14.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Anette!
> Hallo an alle lieben Helfer,
> ich brauche bei der Aufgabe doch noch weiter Hilfe. Ich
> habe zwar mittlerweile das Internet nach der
> Cauchy-Integrallformel durchsucht, verstehe aber immer noch
> nicht, wie sie angewendet wird.
>
> Also, Reiner meinte, ich muss jetzt überprüfen, welche
> Nullstellen des Nenners von meinem Integral in der
> Kreisscheibe mit r=a um a liegen.
>
> Warum betrachte ich überhaupt die Nullstellen?
Es geht darum, den Integranden auf die Form
[mm] \bruch{f(z)}{z-\zeta} [/mm]
(für ein festes [mm] $\zeta$) [/mm] zu bringen. Dann muss [mm] $\zeta$ [/mm] eine Nullstelle des Nenners sein.
> Die Nullstelle, die im Inneren der Kreisscheibe liegt, ist
> doch z=1.
Ja, falls $a>1/2$. Für [mm] $a\le1/2$ [/mm] musst du nochmal nachdenken 
> Kann ich dann einfach schreiben:
> [mm]\integral_{|z-a|=a}^{}{\bruch{f(z)}{z-1} dz}[/mm] ?
>
> Ich versteh wirklich das Prozedere, also wie ich mit der
> Cauchy-Integrallformel umgehe und ,was mir die Umformung
> mit der Nullstelle jetzt bringt, und wie ich da jetzt
> weiter machen soll, nicht so ganz. Brauche da ganz dringend
> Eure Hilfe.
Der ganze Trick besteht darin, den Integranden auf die genannte Form zu bringen, wobei $f(z)$ in der gesamten Kreisscheibe holomorph sein muss (deswegen die Forderung, dass es nur eine Nullstelle des Nenners gibt).
Nun ist
[mm] \bruch{z}{z^4-1} = \bruch{z}{(z^3+z^2+z+1)(z-1)} [/mm],
das heisst, wir setzen [mm] $f(z):=\bruch{z}{z^3+z^2+z+1}$, [/mm] was holomorph auf der Kreisscheibe ist.
Dann sagt die Cauchysche Integralformel (für $a>1/2$):
[mm] \integral_{|z-a|=a}^{}{\bruch{f(z)}{z-1} dz} = 2\pi i f(1) [/mm] .
Jetzt setzt du nur noch ein - fertig.
Wie gesagt, für [mm] $a\le [/mm] 1/2$ funktioniert diese Argumentation nicht, weil der Integrand im Inneren der Kreisscheibe holomorph ist. (Tipp: Was passiert bei $a=1/2$, ist da das Kurvenintegral definiert?)
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:57 Mo 14.05.2012 | | Autor: | anetteS |
Hallo Rainer,
jetzt wird mir so einiges klar! Vielen Dank für die schnelle Hilfe.
Das war eben wirklich ein Aha-Erlebnis!
Viele Grüße und eine schöne Woche noch,
Anette.
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