Integralberechnung Residuensat < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zu berechnen ist das Integral:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{x^2}{1+x^4} dx}
[/mm]
|
Dieses ist ein Beispiel aus dem Fischer/Lieb, Seite 152.
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{x^2}{1+x^4} dx}=\bruch{\pi}{\wurzel{2}}
[/mm]
Zu berechnen mit dem Residuensatz.
Die zu betrachtenden (Im z >0) Residuen liegen bei [mm] (1+i)\wurzel{2} [/mm] und [mm] (-1+i)\wurzel{2}
[/mm]
Es gilt: [mm] res_{z_{0}} \bruch{g}{h}=\bruch{g(z_{0})}{h'(z_{0})}
[/mm]
Die Residuen sollten sich also berechnen lassen durch:
Mit [mm] z_{0}=(1+i)\wurzel{2}, [/mm]
und [mm] z_{1}=(-1+i)\wurzel{2},
[/mm]
[mm] res_{z_{0}}=\bruch{z_{0}^2}{4*z_{0}^3}=\bruch{1}{4z_{0}}=\bruch{1}{4*(1+i)*\wurzel{2}}=\bruch{(1-i)*\wurzel{2}}{4*2*2}
[/mm]
[mm] =\bruch{(1-i)\wurzel{2}}{16}
[/mm]
und
[mm] res_{z_{1}}=\bruch{z_{1}^2}{4*z_{1}^3}=\bruch{1}{4z_{1}}=\bruch{1}{4*(-1+i)*\wurzel{2}}=\bruch{(-1-i)*\wurzel{2}}{4*2*2}
[/mm]
[mm] =\bruch{(-1-i)\wurzel{2}}{16}
[/mm]
Als Summe ergäbe sich dann:
[mm] \bruch{((1-i)+(-1-i))\wurzel{2}}{16}=\bruch{-i\wurzel{2}}{8}=\bruch{1}{4*\wurzel{2}*i}
[/mm]
Das Ergebnis müsste jedoch laut Fischer/Lieb = [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{2}*i} [/mm] sein.
Aber ich kann den Fehler nicht finden.
|
|
| |
|
Hallo willikufalt,
> Zu berechnen ist das Integral:
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{x^2}{1+x^4} dx}[/mm]
>
> Dieses ist ein Beispiel aus dem Fischer/Lieb, Seite 152.
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{x^2}{1+x^4} dx}=\bruch{\pi}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> Zu berechnen mit dem Residuensatz.
>
> Die zu betrachtenden (Im z >0) Residuen liegen bei
> [mm](1+i)\wurzel{2}[/mm] und [mm](-1+i)\wurzel{2}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die Nullstellen des Nenners sind doch die 4-ten Einheitswurzeln, also [mm] $1+z^4=0\gdw z\in\left\{e^{\frac{\pi\cdot{}i}{4}}, e^{\frac{3\pi\cdot{}i}{4}}, e^{\frac{5\pi\cdot{}i}{4}}, e^{\frac{7\pi\cdot{}i}{4}}\right\}$
[/mm]
Die mit positivem Imaginärteil sind [mm] $e^{\frac{\pi\cdot{}i}{4}}$ [/mm] und [mm] $e^{\frac{3\pi\cdot{}i}{4}}$, [/mm] also [mm] $\frac{1+i}{\sqrt{2}}$ [/mm] und [mm] $\frac{-1+i}{\sqrt{2}}$ [/mm] (und nicht "Mal")
Rechne damit nochmal nach und du kommst auf die Lösung im Fischer ...
>
> Es gilt: [mm]res_{z_{0}} \bruch{g}{h}=\bruch{g(z_{0})}{h'(z_{0})}[/mm]
>
> Die Residuen sollten sich also berechnen lassen durch:
>
> Mit [mm]z_{0}=(1+i)\wurzel{2},[/mm]
> und [mm]z_{1}=(-1+i)\wurzel{2},[/mm]
>
> [mm]res_{z_{0}}=\bruch{z_{0}^2}{4*z_{0}^3} [/mm]
Hier noch vereinfachend: [mm] $\frac{1}{4z_0}=\frac{1}{4}\cdot{}\overline{z_0}$ [/mm] 
> [mm]=\bruch{1}{4z_{0}}=\bruch{1}{4*(1+i)*\wurzel{2}}=\bruch{(1-i)*\wurzel{2}}{4*2*2}[/mm]
> [mm]=\bruch{(1-i)\wurzel{2}}{16}[/mm]
>
> und
>
> [mm]res_{z_{1}}=\bruch{z_{1}^2}{4*z_{1}^3}=\bruch{1}{4z_{1}}=\bruch{1}{4*(-1+i)*\wurzel{2}}=\bruch{(-1-i)*\wurzel{2}}{4*2*2}[/mm]
> [mm]=\bruch{(-1-i)\wurzel{2}}{16}[/mm]
>
> Als Summe ergäbe sich dann:
>
> [mm]\bruch{((1-i)+(-1-i))\wurzel{2}}{16}=\bruch{-i\wurzel{2}}{8}=\bruch{1}{4*\wurzel{2}*i}[/mm]
>
> Das Ergebnis müsste jedoch laut Fischer/Lieb =
> [mm]\bruch{1}{2*\wurzel{2}*i}[/mm] sein.
>
> Aber ich kann den Fehler nicht finden.
Die Stellen für die Residuen hast du faslch umgewandelt ...
LG
schachuzipus
>
|
|
|
|
