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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Mo 27.03.2006 | | Autor: | Michi87 |
| Aufgabe | [mm] f(x)=(x-2)*ln^2(2x-2)
[/mm]
Die Punkte: Nullstelle von f, [ [mm] \bruch{1}{2}(e+2),f(\bruch{1}{2}(e+2)] [/mm] und [mm] [\bruch{1}{2}(e+2),0] [/mm] bilden ein Dreieck, das durch Gf in 2 Teilflächen geteilt wird. In welchem Verhältnis stehen diese |
Hi,
Die Nullstelle lautet [mm] (\bruch{3}{2},0)
[/mm]
wie ich das mit der Verhältnisberechnung machen soll, weiß ich. Ich berechne die Dreiecksfläche und teile die dann durch die Flächst, die Gf mit der x-Achse einschließt. Aber leider habe ich Probleme mit dem Integral. Mein Ansatz ist dieser:
[mm] \integral_{\bruch{3}{2}}^{\bruch{1}{2}(e+2)}{f(x) dx}=ln^2(2x-2)*x^2-2x- \integral_{\bruch{3}{2}}^{\bruch{1}{2}(e+2)}{ln(2x-2)*\bruch{2}{x-1}*x^2-2xdx}=
[/mm]
an der Stelle weiß ich echt nicht mehr weiter. Ich weiß zwar, dass ich nochmal partiell integrieren muss, aber wie genau soll das gehen. Da sind doch jetzt 3 Faktoren und so wie ich das sehe, lässt sich auch nichts kürzen. Vielleicht hab ich ja nur wieder nen blöden Fehler gemacht...
Hat wer eine Idee?
Liebe Grüße
Michi
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Hallo Michi,
Am Anfang erstmal ein Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die 2. Nullstelle ist also vermutlich die gesuchte.
Zum Integral:
Rechentechnisch ist es sicher günstig am Anfang eine Substitution z=2x-2 zu machen. Das erhöht die Übersichtlichkeit.
Die Regel Integral der Summe gleich Summe der Integrale ist für diese Aufgabe sicher auch sinnvoll.
Ein paar Leichtsinnsfehler sind auch dabei:
Klammern nicht vergessen
Die Stammfunktion von x ist [mm] \bruch{x^2}{2}
[/mm]
viele Grüße
mathemaduenn
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Di 28.03.2006 | | Autor: | Michi87 |
sorry aber jetzt raff ich gar nichts mehr. Das die Nullstelle 3/2 ist haben wir in der Stunde mit unserem Lehrer zusammen gemacht und wir hatten auch irgendwie nur die eine Nullstelle.
Was stimmt an meinem Ansatz der Stammfunktion nicht?
Grüße
Michi
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Hallo Michi,
die Funktion $ [mm] f(x)=(x-2)\cdot{}ln^2(2x-2) [/mm] $ hat doch ganz offensichtlich noch eine Nullstelle: (x-2)=0 [mm] \gdw [/mm] x = 0, wie von mathemaduenn schon festgestellt:
"ein Produkt ist Null, wenn (mind.) ein Faktor Null ist."
> sorry aber jetzt raff ich gar nichts mehr. Das die
> Nullstelle 3/2 ist haben wir in der Stunde mit unserem
> Lehrer zusammen gemacht und wir hatten auch irgendwie nur
> die eine Nullstelle.
> Was stimmt an meinem Ansatz der Stammfunktion nicht?
Nun solltest du die Hinweise vom ihm auch noch umsetzen:
$ [mm] \integral_{2}^{\bruch{1}{2}(e+2)}{(x-2)\cdot{}\ln^2(2x-2) dx} [/mm] = [mm] \integral_{2}^{\bruch{1}{2}(e+2)}{x\cdot{}\ln^2(2x-2) dx} [/mm] - 2 [mm] \integral_{2}^{\bruch{1}{2}(e+2)}{\ln^2(2x-2) dx}$
[/mm]
Gemeint ist bestimmt die Fläche, die er mit einem kleinen Kreuz versehen hat. Wenn du bei 3/2 anfängst, hast du ja zwei unterschiedlich orientierte Flächenstücke.
Kommst du jetzt allein weiter?
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Di 28.03.2006 | | Autor: | Michi87 |
verdammt ich habe eine Fehler beim abtippen gemacht!!! Die Funktion lautet:
[mm] f(x)=(2x-2)*ln^2(2x-2)
[/mm]
dann kann 2x-2 doch nicht null werden und somit müsste 3/2 die einzige Nullstelle sein, oder?
dann müsste mein Integral doch auch stimmen (der Ansatz wurde im Unterricht auch bestätigt). Ich hab halt echt eigentlich nur die Probleme mit dem Integral und weiß nicht wo der liegt...
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> dann kann 2x-2 doch nicht null werden und somit müsste 3/2
> die einzige Nullstelle sein, oder?
Natürlich kann 2x-2 "null werden". Denn:
[mm]2x-2=0
\gdw 2x = 2
\gdw x =1
[/mm]
Gruß Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:52 Di 28.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Patrick!
> Natürlich kann 2x-2 "null werden".
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Es darf aber aufgrund des Definitionsbereiches des [mm] $\ln(...)$ [/mm] nicht $0_$ werden!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:57 Di 28.03.2006 | | Autor: | XPatrickX |
aber:
verdammt ich habe eine Fehler beim abtippen gemacht!!! Die Funktion lautet:
[mm] f(x)=(2x-2)*ln^2(2x-2) [/mm]
oder bin ich jetzt ganz verwirrt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:19 Di 28.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Patrick!
Wegen des Terms [mm] $\ln^2(2x-2)$ [/mm] lautet der Definitionsbereich dieser Funktion:
$2x-2 \ [mm] \red{>} [/mm] \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ > \ 1$
[mm] $\Rightarrow$ $D_x [/mm] \ = \ ] \ -1; \ [mm] +\infty [/mm] \ [ \ = \ [mm] \{ \ x\in\IR \ \left| \ x > 1 \ \}$
[/mm]
Also scheidet Deine genannte "Nullstelle" aus, da sie nicht im Definitionsbereich [mm] $D_x$ [/mm] enthalten ist!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:29 Di 28.03.2006 | | Autor: | XPatrickX |
stimmt.. hab mal wieder nicht genug nachgedacht.
Danke!
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Hallo Michi,
In diesem Fall bietet sich erst recht die  Substitutionsregel an.
Du kannst zwar auch dieses Integral:
[mm] \integral_{\bruch{3}{2}}^{\bruch{1}{2}(e+2)}{\underbrace{ln(2x-2)}_u\cdot{}\underbrace{\bruch{1}{x-1}\cdot{}(x^2-2x)}_{v'}dx}
[/mm]
weiter partiell integrieren. Indem Du ln(..) nochmal ableitest. Aber die Substitution z=2x-2 macht einem das Ganze doch einfacher
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 Mi 29.03.2006 | | Autor: | Michi87 |
also die Substitution kenne ich vom Lösen von Gleichungen höheren Grades. Die Regeln habe ich mir angeguckt, verstehe aber nicht was mit diesem dx/dt gemeint ist. Nach meinem Verständnis würde ich meine Gleichung so substituieren:
[mm] \integral_{\bruch{1}{2}(e+2)}^{\bruch{3}{2}}{ln^2(2x-2)*(2x-2) dx}
[/mm]
so wenn ich dann sage z=(2x-2) dann würden folgen:
[mm] \integral_{\bruch{1}{2}(e+2)}^{\bruch{3}{2}}{ln^2(z)*z dz} [/mm] = [mm] ln^2(z)*\bruch{1}{2}z^2-\integral_{\bruch{1}{2}(e+2)}^{\bruch{3}{2}}ln(z)*z^2dz=ln^2(z)*\bruch{1}{2}z^2-ln(z)* \bruch{1}{3}z^3-\integral_{\bruch{1}{2}(e+2)}^{\bruch{3}{2}} {\bruch{1}{3}z^2dz}=ln^2(z)* \bruch{1}{2}z-ln(z)* \bruch{1}{3}z^3-\bruch{1}{3}z^3
[/mm]
erstmal ist es natürlich einfacher. Was es aber einfacher macht, ist natürlich die Tatsache, dass [mm] ln^2(z) [/mm] nur eine Verkettung darstellt und [mm] ln^2(2x-2) [/mm] gleich 2. Aber irgendwie kann ich mir nicht vorstellen, dass am Ende tatsächlich dasselbe raukommt, wenn ich die Substitution dann zurückführe. Kann ich diese doppelte Kette wirklich so einfach umgehen???
also wenn ich die Substitution zurückführe hätte ich ja dann als Stammfunktion:
[mm] ln^2(2x-2)*(x-1)-ln(2x-2)*\bruch{1}{3}(2x-2)^3-\bruch{1}{3}(2x-2)^3
[/mm]
stimmt das wirklich??? irgendwie kommt mir das zu einfach vor
noch eine Frage zu der Lösung ohne Substitution:
"Du kannst zwar auch dieses Integral:
[mm] \integral_{\bruch{3}{2}}^{\bruch{1}{2}(e+2)}{\underbrace{ln(2x-2)}_u\cdot{}\underbrace{\bruch{1}{x-1}\cdot{}(x^2-2x)}_{v'}dx} [/mm]
weiter partiell integrieren. Indem Du ln(..) nochmal ableitest."
v´ist doch dann wieder ein Produkt. muss ich v´dann gesondert partiell integrieren? ich kann das Produkt doch nicht einfach ignorieren. Weil beim Bilden der Stammfunktion muss ich das doch machen, das geht doch gar nicht ander. Das war eigentlich auch mein Ausgangsproblem. Ist das dann praktisch eine partielle Integration in der partiellen Integration?
Ich komme mir momentan irgendwie etwas "dumm" vor. Eingentlich hatte ich in Mathe seit der 12 das Gefühl den Dreh raus zu haben. Und kurz vorm Abi kommt jetzt so was. Und dann bin ich auch noch mit ner 1 vorbenotet. Bitte nicht an mir verzweifeln. Danke schonmal für eure Geduld und Hilfe!!!
Liebe Grüße
Michi
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Hallo Michi,
> also die Substitution kenne ich vom Lösen von Gleichungen
> höheren Grades. Die Regeln habe ich mir angeguckt, verstehe
> aber nicht was mit diesem dx/dt gemeint ist. Nach meinem
> Verständnis würde ich meine Gleichung so substituieren:
Das bedeutet das man noch durch die Ableitung von 2x-2 dividieren muß, d.h. Alles muß noch mit 0.5 multipliziert werden.
> [mm]\integral_{\bruch{1}{2}(e+2)}^{\bruch{3}{2}}{ln^2(2x-2)*(2x-2) dx}[/mm]
Die Grenzen müssen wohl andersrum sein.
> so wenn ich dann sage z=(2x-2) dann würden folgen:
> [mm]\integral_{\bruch{1}{2}(e+2)}^{\bruch{3}{2}}{ln^2(z)*z dz}[/mm]
> =
> [mm]ln^2(z)*\bruch{1}{2}z^2-\integral_{\bruch{1}{2}(e+2)}^{\bruch{3}{2}}ln(z)*z^2dz=ln^2(z)*\bruch{1}{2}z^2-ln(z)* \bruch{1}{3}z^3-\integral_{\bruch{1}{2}(e+2)}^{\bruch{3}{2}} {\bruch{1}{3}z^2dz}=ln^2(z)* \bruch{1}{2}z-ln(z)* \bruch{1}{3}z^3-\bruch{1}{3}z^3[/mm]
Bei der ersten partiellen Integration komm ich auf ln(z)*z
> erstmal ist es natürlich einfacher. Was es aber einfacher
> macht, ist natürlich die Tatsache, dass [mm]ln^2(z)[/mm] nur eine
> Verkettung darstellt und [mm]ln^2(2x-2)[/mm] gleich 2. Aber
> irgendwie kann ich mir nicht vorstellen, dass am Ende
> tatsächlich dasselbe raukommt, wenn ich die Substitution
> dann zurückführe. Kann ich diese doppelte Kette wirklich so
> einfach umgehen???
So kann man das Prinziepiell machen. Alternativ kannst Du die Grenzen mitsubstituieren.
[mm] 2*(\bruch{3}{2})-2=1 [/mm] etc.
> also wenn ich die Substitution zurückführe hätte ich ja
> dann als Stammfunktion:
>
> [mm]ln^2(2x-2)*(x-1)-ln(2x-2)*\bruch{1}{3}(2x-2)^3-\bruch{1}{3}(2x-2)^3[/mm]
> stimmt das wirklich??? irgendwie kommt mir das zu einfach
> vor
Wird wohl sogar noch einfacher wenn Du den Fehler in der ersten part. Integration behebst
> noch eine Frage zu der Lösung ohne Substitution:
>
> "Du kannst zwar auch dieses Integral:
> [mm]\integral_{\bruch{3}{2}}^{\bruch{1}{2}(e+2)}{\underbrace{ln(2x-2)}_u\cdot{}\underbrace{\bruch{1}{x-1}\cdot{}(x^2-2x)}_{v'}dx}[/mm]
> weiter partiell integrieren. Indem Du ln(..) nochmal
> ableitest."
>
> v´ist doch dann wieder ein Produkt. muss ich v´dann
> gesondert partiell integrieren? ich kann das Produkt doch
> nicht einfach ignorieren. Weil beim Bilden der
> Stammfunktion muss ich das doch machen, das geht doch gar
> nicht ander. Das war eigentlich auch mein Ausgangsproblem.
> Ist das dann praktisch eine partielle Integration in der
> partiellen Integration?
Für [mm] \bruch{1}{x-1}\cdot{}(x^2-2x) [/mm] kannst/solltest Du eine Partialbruchzerlegung machen und danach integrieren.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Mi 29.03.2006 | | Autor: | Michi87 |
ok wenn das wirklich so geht ist das ja echt toll!!! noch 2 Fragen:
1) wann muss ich denn jetzt mit 0,5 multiplizieren?
2) Wahrscheinlich hab ich ein Brett vorm Kopf. Aber warum kommt bei der ersten partiellen Integration lnz*z raus?
Wenn ich von [mm] ln^2(z)*z [/mm] hab muss ich doch [mm] ln^2(z) [/mm] ableiten, also=2lnz und dann brauch ich doch die Stammfunktion von z, weil es heißt doch: [mm] \integral_{a}^{b}{f´*g dx}=f*g-\integral_{a}^{b}{g´* [b] f [/b]dx} [/mm]
mein f´ist doch dann das z und mein g das lnz
die Stammfunktion von z ist dann [mm] 1/2z^2
[/mm]
dann hab ich [mm] lnz*z^2 [/mm] [also ich bezieh mich damit jetzt nur auf den hinteren Teil der partiellen Integration, bei dem ja anscheinend mein Fehler liegt.
Grüße, Michi
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Hallo Michi,
> 1) wann muss ich denn jetzt mit 0,5 multiplizieren?
Die Substitution ist z=2x-2 und Du müsstest alles was im Integral steht durch die Ableitung von z(also durch 2) teilen.
> 2) Wahrscheinlich hab ich ein Brett vorm Kopf. Aber warum
> kommt bei der ersten partiellen Integration lnz*z raus?
> Wenn ich von [mm]ln^2(z)*z[/mm] hab muss ich doch [mm]ln^2(z)[/mm] ableiten,
> also=2lnz
Und jetzt noch mal "innere Ableitung"
[mm](ln^2(z))'=2*ln(z)*\bruch{1}{z}[/mm]
Jetzt klar(er)?
viele Grüße
mathemaduenn
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