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| Aufgabe | Verwenden Sie die Beziehung
[mm] $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^{2}+bx}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{4a}} [/mm] mit [mm] \Re{(a)}>0 [/mm] |
Guten Tag,
wir sollen diese Beziehung für eine Aufgabe in der Physik verwenden.
Der Beweis dazu ist eigentlich optional, aber ich habe es mal trotzdem versucht, mit dem Ergebnis das der Grenzwert nicht existiert :(
Dazu musste ich 2 Mal partiell Integrieren und einmal Substituieren. Lässt das Integral sich so lösen oder gibt es da einen Trick? Weil das a ja anscheinend komplex ist.
Gruß helicopter
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hiho,
$e^{-ax^2 + bx} = e^{-a\left(x^2 - \bruch{b}{a}x\right)} = e^{-a\left(x - \bruch{b}{2a}\right)^2 + \bruch{b^2}{4a}} = e^\bruch{b^2}{4a}}*e^{-a\left(x^2 - \bruch{b}{a}x\right)} $
Nun du und denk an die Normalverteilung.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:37 Di 16.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Verwenden Sie die Beziehung
>
> [mm]$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^{2}+bx}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{4a}}[/mm]
> mit [mm]\Re{(a)}>0[/mm]
> Guten Tag,
>
> wir sollen diese Beziehung für eine Aufgabe in der Physik
> verwenden.
> Der Beweis dazu ist eigentlich optional, aber ich habe es
> mal trotzdem versucht, mit dem Ergebnis das der Grenzwert
> nicht existiert :(
>
> Dazu musste ich 2 Mal partiell Integrieren und einmal
> Substituieren. Lässt das Integral sich so lösen oder gibt
> es da einen Trick? Weil das a ja anscheinend komplex ist.
inwiefern glaubst Du, dass das wichtig ist, dass [mm] $a\,$ [/mm] komplex ist? (Wozu dient wohl die Bedingung
[mm] $\Re(a) [/mm] > 0$ hier?) Die Integrationsvariable [mm] $x\,$ [/mm] ist ja reell, also an was denken wir dann? "Realteil
des Integrals und Imaginärteil des Integrals..."
Ich weiß nicht, was Du gerechnet hast (vorrechnen bitte!), aber man kann zeigen (nicht-trivial!)
(![[]](/images/popup.gif) siehe auch hier)
[mm] $$\int_{\red{0}}^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}/2\,$$ [/mm]
und
[mm] $$\int_{-\,\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}\,.$$ [/mm]
Edit: Korrigiert!
Oben dann ausnutzen ($a [mm] \not=0$)
[/mm]
[mm] $$-ax^2+bx=-a*(x^2-\tfrac{b}{a}x)=-a*\left((x-\tfrac{b}{2a})^2-\tfrac{b^2}{4a^2}\right)$$
[/mm]
Rest ist eine sich daraus ergebende Substitution!
P.S. Okay, ich dachte bei der Substitution da auch nur an $a > [mm] 0\,,$ [/mm] Du hast schon recht, dass man $a [mm] \in \IC$ [/mm] beachten
sollte. Aber dann schreibe halt [mm] $a=\Re(a)+i*\Im(a)$ [/mm] (vielleicht auch analoges für [mm] $b\,$) [/mm] und "denke entsprechend"!
Ich müßte es mir jetzt doch aufschreiben, um das genauer zu sehen... aber mach' Du mal! 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:03 Di 16.04.2013 | | Autor: | helicopter |
Hallo,
vielen Dank für die Hinweise, ich versuche es gleich.
Gruß helicopter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:34 Di 16.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> vielen Dank für die Hinweise, ich versuche es gleich.
vielleicht auch noch ergänzend für "komplexes [mm] $a\,$" [/mm] (ich weiß
nicht, ob [mm] $b\,$ [/mm] auch komplex sein sollte?):
Du kannst hier dann [mm] $a=a_1+i*a_2$ [/mm] mit [mm] $a_1:=\Re(a)$ [/mm] und [mm] $a_2:=\Im(a)$
[/mm]
schreiben, dann gilt
[mm] $$e^a=e^{a_1+ia_2}=e^{a_1}*e^{i*a_2}=e^{a_1}*(\cos(a_2)+i*\sin(a_2))\,.$$
[/mm]
Bei Dir dann
[mm] $$e^{-(a_1+i*a_2)x^2+(b_1+i*b_2)x}=e^{-a_1x^2+b_1x}*(\cos(-a_2x^2+b_2x)+i*\sin(-a_2x^2+b_2x))\,.$$
[/mm]
Dann kommst Du auf "Real-/Imaginärteilintegrale". Denn oben musst Du bei einer Substitution
evtl. aufpassen, dass Du aus einer reellen Variablen [mm] $x\,$ [/mm] nicht eine machst, die sich auch in
[mm] $\IC \setminus \IR$ [/mm] bewegt! (Oder hattet ihr auch schon ein bisschen Funktionentheorie: Kapitel 30...?)
Wenn Du das so aufspaltest, geht's vermutlich dann mit partieller Integration und den bisherigen
Hinweisen weiter - und am Ende kann man alles passend zusammenbasteln!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:41 Di 16.04.2013 | | Autor: | helicopter |
Hallo,
nein Funktionentheorie hatten wir nicht, nur kurz mal den Residuensatz weil wir den für paar Integrale benutzt haben. Deshalb kann ich mit Komplexen Integralen leider gar nichts anfangen.
Gruß helicopter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:48 Di 16.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> nein Funktionentheorie hatten wir nicht, nur kurz mal den
> Residuensatz weil wir den für paar Integrale benutzt
> haben. Deshalb kann ich mit Komplexen Integralen leider gar
> nichts anfangen.
dann mach' dieses "Aufsplitten/Aufspalten" so, wie ich es vorgeschlagen habe.
Ist nämlich $f(x) [mm] \in \IC\,,$ [/mm] so kannst Du
[mm] $$\int_{a}^b f(x)dx=\int_a^b \Re(f(x))\,dx+i*\int_a^b \Im(f(x))\,dx$$
[/mm]
schreiben. (Ich weiß gerade nicht, ob man da gewisse Zusatzvoraussetzungen
braucht - vielleicht liest Fred mit, der weiß das sicher auswendig - oder er überlegt
es sich schnell! ^^ Ich denke eigentlich, dass das linke Integral genau dann existiert,
wenn die beiden rechten es tun, so wie es halt bei einer komplexwertigen Reihe auch
analog ist!)
Und [mm] $\int_a^b \Re(f(x))\,dx$ [/mm] sowie [mm] $\int_a^b \Im(f(x))\,dx$ [/mm] sind ja "gewöhnliche, reellwertige Integrale einer
reellen Veränderlichen"!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:54 Di 16.04.2013 | | Autor: | helicopter |
Hallo,
ich versuche es mal so zu machen. Ob das b komplex sein sollte weiß ich leider auch nicht, die Physiker machen sich leider nicht die Mühe [mm] a,b\in\IC [/mm] zu schreiben, wohl zu viel arbeit :)
Gruß helicopter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:59 Di 16.04.2013 | | Autor: | helicopter |
Hallo,
habe mir gerade die Aufgabe angeguckt, es geht um Wellenpakete, das b dürfte auch komplex sein.
Gruß helicopter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:03 Di 16.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich versuche es mal so zu machen. Ob das b komplex sein
> sollte weiß ich leider auch nicht, die Physiker machen
> sich leider nicht die Mühe [mm]a,b\in\IC[/mm] zu schreiben, wohl zu
> viel arbeit :)
keine Ahnung. Aber mal nebenbei: Für $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] mit $a > [mm] 0\,$ [/mm] hast Du
das nun ja schon nachgerechnet - das kannst Du dann natürlich ggf. dann
auch verwenden
[mm] ($\int_{-\infty}^\infty e^{-a_1x^2+b_1x}\,dx$ [/mm] kennst Du ja somit nun schon... das sollte bei der
Produktintegration helfen, denke ich!)
Gruß,
Marcel
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Hallo,
ich komme jetzt weiter, aber irgendwie hab ich noch einen Fehler drin.
Ich habe euren Hinweis benutzt, dann ist:
$ [mm] \int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2+bx}dx =...=e^{\frac{b^2}{4a}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x-\frac{b}{2a})^2}dx [/mm] $
Substitution: $ [mm] u=\sqrt{a}(x-\frac{b}{2a}) \Rightarrow dx=\frac{1}{\sqrt{a}}du$.
[/mm]
Damit wird das Integral zu $ [mm] e^{\frac{b^2}{4a}}\frac{1}{\sqrt{a}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2}du$, [/mm] mit [mm] $\int_{-\,\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}/2\,.$ [/mm] komme ich dann auf [mm] $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{4a}}$.
[/mm]
Könnt ihr mir sagen was da schiefgelaufen ist?
Gruß helicopter
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Di 16.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich komme jetzt weiter, aber irgendwie hab ich noch einen
> Fehler drin.
> Ich habe euren Hinweis benutzt, dann ist:
> [mm]\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2+bx}dx =...=e^{\frac{b^2}{4a}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x-\frac{b}{2a})^2}dx[/mm]
>
> Substitution: [mm]u=\sqrt{a}(x-\frac{b}{2a}) \Rightarrow dx=\frac{1}{\sqrt{a}}du[/mm].
>
> Damit wird das Integral zu
> [mm]e^{\frac{b^2}{4a}}\frac{1}{\sqrt{a}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2}du[/mm],
> mit [mm]\int_{-\,\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}/2\,.[/mm]
> komme ich dann auf
> [mm]\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{4a}}[/mm].
>
> Könnt ihr mir sagen was da schiefgelaufen ist?
ja, ich habe Dir einen falschen Hinweis gegeben (den korrigiere ich gleich):
[mm] $$\int_{\red{0}}^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}/2\,.$$
[/mm]
Und dann ist (aus Symmetriegründen etwa)
[mm] $$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}\,.$$
[/mm]
Somit stimmt die Gleichung dann schonmal im Falle $a > [mm] 0\,,$ [/mm] $b [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
P.S. Eigentlich wollte ich mit dem falschen Hinweis nur gucken, ob Du den Fehler bemerkst! ![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]")
( Ist natürlich nur ein Scherz!  )
Gruß,
Marcel
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Hallo,
ich habe mal versucht erstmal den Realteil zu integrieren,
mit Partiellen Integration ist [mm] $\left[f\cdot{}g\right]_{-\infty}^{\infty}=\int_{-\infty}^{\infty}f'\cdot{}gdx +\int_{-\infty}^{\infty}f\cdot{}g'dx$
[/mm]
Mit [mm] $f:=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{4a}}, f'=e^{-a_{1}x^2+b_{1}x}, g:=\cos{(b_{2}x-a_{2}x^2)} [/mm] und [mm] g'=\sin{(b_{2}x-a_{2}x^2)}\cdot{}(2a_{2}x-b_2)$ [/mm] wäre das Integral dann
$ [mm] \left[\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{4a}}\cos{(b_{2}x-a_{2}x^2)}\right]_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{4a}}\sin{(b_{2}x-a_{2}x^2)}\cdot{}(2a_{2}x-b_2)dx$
[/mm]
Stimmt es an der Stelle noch? Denn dann existiert der Grenzwert [mm] $\limes_{R\rightarrow\infty}\left[\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{4a}}\cos{(b_{2}x-a_{2}x^2)}\right]_{-R}^{R}$ [/mm] doch garnicht.
Gruß helicopter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Di 16.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich muss jetzt weg, aber erstmal grob:
> Hallo,
>
> ich habe mal versucht erstmal den Realteil zu integrieren,
> mit Partiellen Integration ist
> [mm]\left[f\cdot{}g\right]_{-\infty}^{\infty}=\int_{-\infty}^{\infty}f'\cdot{}gdx +\int_{-\infty}^{\infty}f\cdot{}g'dx[/mm]
>
> Mit [mm]f:=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{4a}}, f'=e^{-a_{1}x^2+b_{1}x}, g:=\cos{(b_{2}x-a_{2}x^2)} und g'=\sin{(b_{2}x-a_{2}x^2)}\cdot{}(2a_{2}x-b_2)[/mm]
da muss doch schon [mm] $[f]_{-\infty}^\infty=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{4a}}$ [/mm] stehen. Wenn [mm] $f\,$ [/mm] konstant dem Wert daneben
wäre, so wäre [mm] $f\,'=0\,.$ [/mm] Da muss schon [mm] $f=f(x)\,$ [/mm] sein. Allerdings werden
wir wohl zu Deinem [mm] $f\,'$ [/mm] keine elementare Stammfunktion [mm] $f\,$ [/mm] angeben können.
(Beachte: Der Wert [mm] $\int_{-\,\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx$ [/mm] wurde ja auch berechnet, ohne, dass man
eine elementare Stammfunktion von $x [mm] \mapsto e^{-x^2}$ [/mm] angegeben hat!
Ansonsten würden wir einfach die verwenden, die wir dort verwendet hätten...)
Vielleicht habe ich hier auch mit der Produktintegration daneben gelegen,
das weiß ich nicht. (Manchmal hilft es, die "Faktoren" zu vertauschen - ich
sehe hier aber nun direkt auch keinen Vorteil davon. Eventuell mit
Zusatzüberlegungen: Wenn [mm] $f\,$ [/mm] eine Stammfunktion von [mm] $f\,'(x)=e^{-a_1x^2+b_1x}$ [/mm] ist und wir
die Endlichkeit des Wertes [mm] $\int_{-\,\infty}^\infty f\,'(x)dx$ [/mm] haben, wird vielleicht, weil [mm] $f\,$
[/mm]
stetig sein muss, dann [mm] $\lim_{|x| \to \infty}f(x)=0$ [/mm] gelten... über sowas
kann man mal nachdenken! Und dann wäre, weil [mm] $\cos$ [/mm] und [mm] $\sin$ [/mm] beschränkt sind,
natürlich dann [mm] $[f*\cos(...)]_{-\infty}^\infty=0$ [/mm] etc. pp.!)
> wäre das Integral dann
>
> [mm]\left[\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{4a}}\cos{(b_{2}x-a_{2}x^2)}\right]_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{4a}}\sin{(b_{2}x-a_{2}x^2)}\cdot{}(2a_{2}x-b_2)dx[/mm]
> Stimmt es an der Stelle noch? Denn dann existiert der
> Grenzwert
> [mm]\limes_{R\rightarrow\infty}\left[\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{4a}}\cos{(b_{2}x-a_{2}x^2)}\right]_{-R}^{R}[/mm]
> doch garnicht.
Das stimmt auch so auf jeden Fall nicht: Wenn Du [mm] $\int [/mm] f'dx$ suchst, so ist
das (i.a.) eine Stammfunktion in [mm] $x\,.$ [/mm] (Falls existent!)
Damit ist (HDI)
[mm] $$\int_a^b f\,'dx=\left[\int f\,'dx\right]_a^b [/mm] $$
Du setzt jetzt aber einfach [mm] $\int f\,'dx=\int_a^b f\,'dx\,,$ [/mm] was schon deswegen
schlecht ist, weil dann jede Stammfunktion "ein konstanter Wert"- besser
gesagt: "Eine konstante Funktion!" wäre!
Ich kann Dir auch nicht versprechen, dass bzw. ob hier Produktintegration
wirklich zum Ziel führt, oder ob man da andere Tricks braucht (sowas wie
der trigonometrische Pythagoras ginge noch, eventuell kann man auch
gewisse andere Integralsätze anwenden). Das müßte ich mir selbst in
Ruhe überlegen und mal ein bisschen austesten. Vielleicht guckt aber noch
jemand anderes mal drüber...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Do 18.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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