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| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale durch partielle Integration oder Substitution
(1)
[mm] $\int [/mm] sin(x)*cos(2x) dx$
(2)
[mm] $\int log_4 [/mm] x dx$ |
Hallo Leute,
ich hätte eine Frage zur Integralrechnung.
(1)
[mm] $\int [/mm] sin(x)*cos(2x) dx$
Nutzung des Additionstheorems cos(2x)=2cos^2x-1
[mm] =$\int sin(x)*(2cos^2(x)-1) [/mm] dx$
Substitution über t=cosx => [mm] dx=\frac{dt}{-sin(x)}
[/mm]
[mm] =$\int [/mm] sin(x)* [mm] (2t^2-1) \frac{dt}{-sin(x)}$
[/mm]
[mm] =$\int [/mm] - [mm] (2t^2-1) [/mm] dt$
[mm] =$\int [/mm] - [mm] 2t^2+1dt$
[/mm]
=- [mm] \frac{2}{3}t^3+t+C$
[/mm]
[mm] =-\frac{2}{3}cos^3(x)+cos(x)+C$
[/mm]
Wenn ich das Integral mal in ein CAS System oder Wolfram eingebe, sollte da eigentlich [mm] \frac{1}{6}(3*cos(x)-cos(3x))+C [/mm] rauskommen, das unterscheidet sich ja schon deutlich von meinem Ergebnis. Also ist mein Ergebnis überhaupt richtig?
(2)
[mm] $\int log_4 [/mm] x dx $
Ich habe hier leider keinen wirklichen Ansatz zur Bestimmung des Integrals. Nach Logarithmengesetzen müsste ich das ja auch als [mm] \frac{log(x)}{log(4)}. [/mm] Wenn keine Basis angegeben ist, ist es der Logarithmus zur Basis 10 gemeint oder? Wie kann ich hier weiter vorgehen? Ich vermute über eine geeignete Substitution, aber ich weiß leider nicht welche.
Vielen Dank im Voraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:44 Sa 15.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> (2)
> [mm]\int log_4 x dx[/mm]
>
> Ich habe hier leider keinen wirklichen Ansatz zur
> Bestimmung des Integrals. Nach Logarithmengesetzen müsste
> ich das ja auch als [mm]\frac{log(x)}{log(4)}.[/mm] Wenn keine Basis
> angegeben ist, ist es der Logarithmus zur Basis 10 gemeint
> oder?
richtig. "oder" heißt : Oder jede andere Basis. Z.B. Basis e.
Du kannst also wie folgt umschreiben : [mm] log_4(x)=\bruch{ln(x)}{ln(4)}.
[/mm]
[mm] \bruch{1}{ln(4)} [/mm] ziehst du aus dem Integral heraus und berechnest [mm] \integral{ln(x) dx}=\integral{1*ln(x) dx} [/mm] durch partielle Integration.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 Sa 15.02.2014 | | Autor: | mtr-studi |
> Hi,
>
>
> > (2)
> > [mm]\int log_4 x dx[/mm]
> >
> > Ich habe hier leider keinen wirklichen Ansatz zur
> > Bestimmung des Integrals. Nach Logarithmengesetzen müsste
> > ich das ja auch als [mm]\frac{log(x)}{log(4)}.[/mm] Wenn keine Basis
> > angegeben ist, ist es der Logarithmus zur Basis 10 gemeint
> > oder?
>
> richtig. "oder" heißt : Oder jede andere Basis. Z.B. Basis
> e.
> Du kannst also wie folgt umschreiben :
> [mm]log_4(x)=\bruch{ln(x)}{ln(4)}.[/mm]
> [mm]\bruch{1}{ln(4)}[/mm] ziehst du aus dem Integral heraus und
> berechnest [mm]\integral{ln(x) dx}=\integral{1*ln(x) dx}[/mm] durch
> partielle Integration.
>
> Gruß Sax.
>
Das war mir gar nicht bekannt, dass man das dann dann einfach den Logarithmus zu jeder Basis annehmen kann. So ist die Aufgabe natürlich leicht zu lösen, vielen Dank!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:04 Sa 15.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
das ergibt sich aus einem der Logarithmengesetze (die ihrerseits wiederum aus den Potenzgesetzen folgen) :
Wenn [mm] log_4(x)=y [/mm] ist, dann ist das gleichwertig mit [mm] 4^y=x. [/mm] Durch Logarithmieren (mit irgendeiner Basis a) erhält man daraus
[mm] log_a(4^y)=log_a(x)\gdw y*log_a(4)=log_a(x)\gdw y=\bruch{log_a(x)}{log_a(4)}
[/mm]
Gruß Sax.
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Ja, ist es.
