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| Aufgabe | Aufgabe 1. a) Beweisen Sie, daß die Funktion f:[0,1] [mm] \to \IR [/mm] mit
[mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in \IQ \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x \not\in\IQ \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
auf [0,1] nicht integrierbar ist.
b) Ist die Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} 1/x, & \mbox{für } x \in (0,1]\mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x =0\mbox{} \end{cases}
[/mm]
integrierbar? |
Hallo!
Wir haben diese Woche mit dem Riemann-Integral angefangen, nur leider versteh ich davon (fast) gar nichts. Wie zeigt man überhaupt, dass eine Funktion nicht integrierbar ist? Macht man das mit der [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] -Definition? Die hab ich nämlich nicht verstanden... :-(
Kann mir da jemand helfen?
Lg SirBigMac
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Hallo Bigmac,
> Aufgabe 1. a) Beweisen Sie, daß die Funktion f:[0,1] [mm]\to \IR[/mm]
> mit
> [mm]f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in \IQ \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x \not\in\IQ \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> auf [0,1] nicht integrierbar ist.
Ich denke, ihr sollt hier mit ober- und untersummen argumentieren. Überlege mal: du zerlegst das einheitsintervall in beliebig viele und kleine teilintervalle. wie sieht jeweils der maximale und minimale funktionswert pro teilintervall aus? und was bedeutet das für ober- und untersumme?
> b) Ist die Funktion
> [mm]f(x)=\begin{cases} 1/x, & \mbox{für } x \in (0,1]\mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x =0\mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> integrierbar?
Hier würde ich auch konkret mit untersummen rechnen und zeigen dass diese für eine bestimmte zerlegung des intervalls gegen unendlich gehen. EIne Zerlegung wäre zB. [mm] $a_i=\frac{i}{N}, [/mm] i=0,...,N$. Du kannst jetzt für diese zerlegung die untersumme berechnen und mit $N$ gegen unendlich gehen.
VG
Matthias
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