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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:55 Do 08.09.2005 | | Autor: | Stabi |
Hallo Leute,
ich muss bald mal wieder die Integralrechnung anwenden und gehe ein paar Aufgaben durch. Leider fehlen mir ein paar Lösungen und ich wollte mal fragen ob mein Rechenweg richtig ist.
[mm] \integral_{-1}^{1} (8x^3 [/mm] -2x+6) dx
=
[mm] [\bruch{8}{4}x^4 [/mm] - [mm] \bruch{2}{2}x^2 [/mm] + 6x]_-1 ^1
=
6 - (-5)
=
11
Ist die Lösung richtig und warum nett man das ganze "bestimmtes" Integral?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Tschaui
Stabi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Do 08.09.2005 | | Autor: | Stabi |
Hab mal eben eine kniffelige Aufgabe rausgesucht.
Mit einer e-Funktion.. *grübel* wie war das da noch....
[mm] \integral_{}^{} [/mm] x [mm] e^x [/mm] dx
Also beim aufleiten ist ja [mm] \bruch{Zähler}{n+1}\*e^{x^{n+1}} [/mm] *grübel* Aber dann noch eine e-Funktion dabei... die kann man nicht ab- oder aufleiten oder?
Wenn ich mal davon ausgehe wäre das ja
[mm] [1\*\bruch{1}{x^2}e^{x^2} [/mm]
*grübel*
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Hallo!
Für eine neue Aufgabe mache demnächst bitte auch eine neue Frage auf.
> Hab mal eben eine kniffelige Aufgabe rausgesucht.
> Mit einer e-Funktion.. *grübel* wie war das da noch....
>
>
> [mm]\integral_{}^{}[/mm] x [mm]e^x[/mm] dx
>
> Also beim aufleiten ist ja
> [mm]\bruch{Zähler}{n+1}\*e^{x^{n+1}}[/mm] *grübel* Aber dann noch
> eine e-Funktion dabei... die kann man nicht ab- oder
> aufleiten oder?
>
> Wenn ich mal davon ausgehe wäre das ja
>
> [mm][1\*\bruch{1}{x^2}e^{x^2}[/mm]
>
> *grübel*
Ich fürchte, hier musst du ![[]](/images/popup.gif) partielle Integration anwenden. Leite doch dein Ergebnis mal ab, dafür brauchst du die Produktregel. Und ich fürchte, da kommt etwas anderes raus als deine Ausgangsfunktion.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Do 08.09.2005 | | Autor: | Stabi |
1 [mm] \* e^x [/mm] + [mm] x\*\bruch{1}{x^2}e^{x^2} [/mm]
so?
Und partiellen Integration rechne ich statt plus minus? Uff - hab mir das mal gerade angeschaut - bisschen schwer.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 Do 08.09.2005 | | Autor: | Disap |
Sers,
> 1 [mm]\* e^x[/mm] + [mm]x\*\bruch{1}{x^2}e^{x^2}[/mm]
>
> so?
>
ne... das war leider falsch.
[mm] \integral_{}^{} {e^{x} * x dx}
[/mm]
beziehe ich mich auf den Link, so musst du nun [mm] e^{x} [/mm] & x als f(x) und g'(x) wählen. In diesem Fall wählt man am besten das x als f(x), da dies als Ableitung f'(x) = 1 ergibt. Danach ergibt sich g'(x) = [mm] e^{x}. [/mm] Integriert ist es g(x) = [mm] e^{x}.
[/mm]
Noch einmal übersichtlicher:
f(x) = x
f'(x) = 1
g'(x) = [mm] e^{x}
[/mm]
g(x) = [mm] e^{x}
[/mm]
Und jetzt musst du es nur noch in die Fertigformel einsetzen. Bekommst du das hin?
Wenn du im nachhinein integriert und ausgeklammert hast, kommst du auf die Funktion
F(x) = [mm] e^{x}*(x-1).
[/mm]
Allerdings gibt es da noch einen anderen Trick.
f(x) = [mm] e^{x}*x
[/mm]
Betrachten wir mal die Ableitungen nach der Produktregel:
[mm] f'(x)=e^{x}(x+1)
[/mm]
[mm] f''(x)=e^{x}(x+2)
[/mm]
[mm] f'''(x)=e^{x}(x+3)
[/mm]
Erkennst du den Algorithmus? Demnach muss f(x) [mm] =e^{x}*(x+0) [/mm] sein und somit F(x) = [mm] e^{x}(x-1).
[/mm]
Liebe Grüße Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:34 Fr 09.09.2005 | | Autor: | NoClue84 |
Das mit dem einsetzen ist sehr schwer.
= f(x) [mm] \* [/mm] g'(x) - [mm] \integral_{}{} {f'(x)\*g(x) dx}
[/mm]
?
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Hi,
die Formel ist bei Dir etwas falsch. Richtig lautet sie
...= F(x) + g´(x) - [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f´(x) dx}*g(x)
Du mußt das f also einmal aufleiten und einmal ableiten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Fr 09.09.2005 | | Autor: | Stabi |
Halli Hallo
mhm
so ich geb das mal eben ein
= F(x) + g'(x) - [mm] \integral_{}^{} [/mm] {f'(x) dx} [mm] \* [/mm] g(x)
= [mm] e^x \*(x-1) [/mm] + [mm] e^x [/mm] - [mm] \integral_{}^{} [/mm] {1 dx} [mm] \* e^x
[/mm]
= [mm] e^x \*(x-1) [/mm] + [mm] e^x [/mm] - (x [mm] \*e^x)
[/mm]
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Also, laut meiner Definition ist ja:
F(x) = [mm] \integral_ [/mm] u(x)*v'(x) dx = u(x)*v(x) - [mm] \integral_ [/mm] u'(x)*v(x) dx
Man wählt am besten
u(x) = x
v'(x) = [mm] e^x
[/mm]
da die Ableitung von x einfacher zu bilden ist.
u'(x) = 1
v(x) = [mm] e^x
[/mm]
In die Formel einsetzen:
F(x) = [mm] x*e^x [/mm] - [mm] \integral_ e^x [/mm] dx
F(x) = [mm] x*e^x [/mm] - [mm] e^x
[/mm]
F(x) = (x - 1) * [mm] e^x
[/mm]
Die Ableitung von [mm] e^x [/mm] ist ja wiederum [mm] e^x.
[/mm]
Du weißt hoffentlich, wie du Ableitungen von [mm] e^x [/mm] bildest:
Zum Beispiel:
f(x) = [mm] e^{2x}
[/mm]
Dazu musst du die Kettenregel benutzen, da e^2x eine mittelbare Funktion ist.
f(x) = f(z(x))
y = [mm] e^z [/mm] , z = 2x
f'(x) = y'*z' = [mm] e^z [/mm] * 2 = 2 * [mm] e^{2x}
[/mm]
Schon die Ableitungen laufen hier anders, da x ja der Exponent ist und nicht die Basis, wie bei z. b. [mm] x^2
[/mm]
Wenn etwas unklar ist, kannst du ja Rückfrage stellen.
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
