Integrale Falten ( Faltung ) < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Meine Frage bezieht sich auf folgendes PDF: http://nt.eit.uni-kl.de/fileadmin/lehre/guet/uebung/faltung.pdf |
Hi,
ich habe leider ein Verständnisproblem bei der Faltung. Zunächst will ich mal erklären, was und wie ich es bis jetzt verstanden habe (bitt korrigiert mich fals ich falsch Liege).
Unter der Faltung versteht man das "übereinanderschieben" zweier Funktionen, wobei eine der beiden Funktionen an der y-Ache gespiegelt ist. Man erhält eine dritte, neue Funktion die sich aus den 2 übereinandergeschobenen ergibt. Im prinzip entspicht es der Multipikation zweier Funktionen.
1. Zunächst müssen die Funktionen Abschnittsweise definiert werden. Hierzu spiegelt man eine der beiden Funktionen an der y-Ache und geht wie bei "3.Schritt" in dem PDF hin und definiert die Funktionen. Das ist mir soweit klar.
2. Was ich jetzt nicht verstehe fängt ab "4.Schritt" im PDF an.
a) Weshalb führt man die Faltung dort durch, wo klar ist, dass 0 heraus kommt? Woher weiß ich auch, dass bei "1.Fall" ich zwischen -unendlich <= t <= 2T prüfen muss?
b) Woher weiß ich beim "2.Fall", dass ich zwischen 2T < t <= 3T prüfen muss? Wie kommt man bei dem Integral auf [mm] x(3-\frac{Tau}{T} [/mm] und woher weiß ich dass es von t-T bis T läuft?
Danke fürs Lesen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Do 04.08.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Knockdown,
das Bildchen illustriert recht schön die einzelnen Bearbeitungsschritte und macht so klar, wie man vorgehen sollte.
Zu Deiner ersten Frage: Wenn es für ein bestimmtes t keine Überlappung zwischen den beiden Funktionen gibt, so liefert das Faltungsintegral einen Wert von Null. Hinschreiben sollte man es der Vollständigkeit halber schon. Die Grenzen für diesen ersten Fall ergeben sich aus dem Bild im 2. Schritt. Hier wurde die Rechteckfunktion gespiegelt und diese Konstellation entspricht dem Faltungsintegral für den Zeitpunkt [mm] t = 0 [/mm]. Für negative t schiebst Du das Rechtecksignal nach links, dort überlappt sich absolut nichts mit der "Knickfunktion", wie ich sie mal nenne. Wann beginnen sich die beiden Funktionen zu überlappen? Erst dann, wenn man die Rechteckfunktion um 2T nach rechts geschoben hat, denn dann überlappt sich die linke Grenze der Knickfunktion gerade mit der rechten Grenze der Rechteckfunktion.
Der zweite Fall berücksichtigt nur die beiden Teilfunktionen, aus denen die Knickfunktion zusammengesetzt ist. Diese ist für einen Zeitdauer von [mm] \tau = T [/mm] fallend, anschließend für die gleiche Zeitdauer steigend. Dies wird im zweiten Fall berücksichtigt, denn es gibt dann ja auch einen Bereich, das ist der 3. Fall, in dem die Rechteckfunktion sowohl den fallenden wie auch den steigenden Teil der Knickfunktion überdeckt. Im Integral, das ja eine Funktion von [mm] \tau [/mm] ist, ersetzt Du einfach t durch tau, so kommt der Integrand zustande. Die untere Integralgrenze ist gerade die linke Begrenzung der Knickfunktion, die obere Integralgrenze durch Verschieben der Rechteckfunktion, deren rechte Grenze doch gerade [mm] t-T [/mm] ist, wie Du am Bildchen für Fall 1 ablesen kannst. Für Fall 2 sind diese Werte nochmal als zweite Koordinate unterhalb der Tau-Achse angegeben.
Das ist eigentlich alles. Kein großes Geheimnis, aber mitunter viel Rechnerei, bei der man, wie Du ja selbst siehst, etwas aufpassen muss.
Viele Grüße,
Infinit
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