Integrale ausrechnen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:43 Do 25.06.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | [mm] $h(x,y):=\begin{cases}
\frac{x^{3}y^{5}}{(x^{4}+y^{4})^{2}} & \mbox{falls }(x,y)\neq(0,0)\\
0 & \mbox{falls }(x,y)=(0,0)\end{cases}$
[/mm]
Zu zeigen: [mm] $\frac{\partial}{\partial y}\int_{0}^{1}h(x,y)dx|_{y=0}\neq\int_{0}^{1}\frac{\partial}{\partial y}h(x,y)dx|_{y=0}$
[/mm]
und
[mm] $(x,y)=\begin{cases}
\frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} & \mbox{falls }(x,y)\neq(0,0)\\
0 & \mbox{falls }(x,y)=(0,0)\end{cases}$
[/mm]
Zu zeigen: [mm] $\int_{0}^{1}(\int_{0}^{1}f(x,y)dy)dx=\frac{\pi}{4}=-\int_{0}^{1}(\int_{0}^{1}f(x,y)dx)dy$\\
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
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Also zu h(x,y) kann ich sagen, dass ich [mm] $\int_{0}^{1}\frac{\partial}{\partial y}h(x,y)dx|_{y=0}$
[/mm]
berechne, indem ich einfach h(x,y) nach y ableite, y=0 setze und Stammfkt.
[mm] bilde.\\
[/mm]
Berechnet man [mm] $\frac{\partial}{\partial y}\int_{0}^{1}h(x,y)dx|_{y=0}$
[/mm]
einfach so: Ich setze y=0, suche Stammfunktion und leite nach y ab?
Gilt denn die Aussage auch für $(x,y)=(0,0)?$ Dann wird doch das
Integral zu 0 und dann steht da 0=0. Das kann doch dann nicht [mm] sein.\\
[/mm]
Bei dem Doppelintegral habe ich auch noch so meine Schwierigkeiten.
Gibt es da irgendeinen Trick, um das einfacher auszurechnen?
Wenn ich eine Stammfkt. berechnet habe, dann hängt diese doch auch
noch von zwei Variablen ab oder? Wie berechne ich dann das Integral?
Also F(1)-F(0), aber was ist das 1? x oder y?
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> [mm]$h(x,y):=\begin{cases}
\frac{x^{3}y^{5}}{(x^{4}+y^{4})^{2}} & \mbox{falls }(x,y)\neq(0,0)\\
0 & \mbox{falls }(x,y)=(0,0)\end{cases}$[/mm]
>
> Zu zeigen: [mm]\frac{\partial}{\partial y}\int_{0}^{1}h(x,y)dx|_{y=0}\neq\int_{0}^{1}\frac{\partial}{\partial y}h(x,y)dx|_{y=0}[/mm]
>
Mit dem Einsetzen von y=0 solltest du vorsichtig sein:
1. Wenn du auf der linken Seite direkt y=0 einsetzt, und dann integrierst, wirst du einen Term bekommen, in dem kein y mehr auftaucht - wenn du das nach y ableitest, wird da sicher 0 rauskommen. Hier musst du also erst das Integral (bezogen auf das x) berechnen (dann bekommst du einen Term, in dem kein x mehr drin steht), dann ableiten nach y, dann y=0 einsetzen, um so den Wert der Ableitung an der Stelle 0 zu bekommen.
2. Auf der rechten Seite musst du auch zuerst nach y ableiten, kannst dann (wie du es auch machst) y=0 einsetzen und dann nach x integrieren. Das passt also. (Aber auch hier darfst du nicht direkt als erstes y=0 einsetzen, denn dann würde die Ableitung 0 ergeben usw.)
> und
>
> [mm]$(x,y)=\begin{cases}
\frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} & \mbox{falls }(x,y)\neq(0,0)\\
0 & \mbox{falls }(x,y)=(0,0)\end{cases}$[/mm]
>
> Zu zeigen:
> [mm]\int_{0}^{1}(\int_{0}^{1}f(x,y)dy)dx=\frac{\pi}{4}=-\int_{0}^{1}(\int_{0}^{1}f(x,y)dx)dy[/mm][mm] \\[/mm]
>
> [mm]\\[/mm]
>
Du hast es doch sogar schon schön geklammert:
1. Linke Seite: Du berechnest erst einmal das Integral nach y - Stammfunktion, wobei du alle x dabei einfach als konstant behandeln darfst, setzt dort die angegebenen Grenzen ein - und erhältst als Zwischenergebnis einen Term, in dem kein y mehr auftaucht. Jetzt noch das zweite Integral nach x ausführen und wie gehabt über die Stammfunktion Werte einsetzen, und so bleibt am Ende nur noch ein Zahlenwert übrig.
2. Rechte Seite: Wie linke Seite, nur vertauschst du hier die Reihenfolge der Integration nach x und y.
Du hast nach Tricks gefragt: die sind jetzt gefragt, wo du weißt, in welcher Reihenfolge du was zu tun hast... aber du kennst bestimmt alles, was du brauchst.
Und was lernst du daraus?
Du kannst diese Ableitungs- und Integrationsoperatoren nicht beliebig vertauschen. Zumindest nicht bei allen Funktionen (wenn auch bei vielen...).
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