Integrale berechnen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Do 10.02.2011 | | Autor: | dimi727 |
| Aufgabe | Berechnen Sie im Falle der Existenz die folgenden Integrale:
a) [mm] \integral{\bruch{e^{3x}+3}{e^x+1} dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{-\pi}^{\pi}{sin(sin(x)) dx}
[/mm]
c) [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{x}{\wurzel{1+x^3}} dx} [/mm] |
Guten Abend allerseits :)
Ich weiß leider garnicht, wie ich bei den 3 oben genannten Integralen vorgehen soll.
Bei a) war meine Idee es mit partieller Integration zu versuchen.
Bei b) und c) vermute ich, dass die Integrale nicht existieren, aber ich weiß nicht wie ich das beweisen soll.
Bei b) wüsste ich nichtmal, wie ich sin(sinx) auflösen könnte, (Substitution?) und bei c) Landet man mit Substitution in einer Sackgasse.
Hoffe einer kann mir helfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 Do 10.02.2011 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie im Falle der Existenz die folgenden
> Integrale:
>
> a) [mm]\integral{\bruch{e^{3x}+3}{e^x+1} dx}[/mm]
>
> b) [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}{sin(sin(x)) dx}[/mm]
>
> c) [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x}{\wurzel{1+x^3}} dx}[/mm]
>
> Guten Abend allerseits :)
>
> Ich weiß leider garnicht, wie ich bei den 3 oben genannten
> Integralen vorgehen soll.
>
> Bei a) war meine Idee es mit partieller Integration zu
> versuchen.
> Bei b) und c) vermute ich, dass die Integrale nicht
> existieren, aber ich weiß nicht wie ich das beweisen
> soll.
> Bei b) wüsste ich nichtmal, wie ich sin(sinx) auflösen
> könnte, (Substitution?) und bei c) Landet man mit
> Substitution in einer Sackgasse.
>
> Hoffe einer kann mir helfen.
Hallo,
für Funktionen, die punktsymmetrisch zum Ursprung sind, ist das Integral von -a bis +a immer Null.
Den Term von Aufgabe a) würde ich kunstvoll zerlegen, z.B.
[mm] \bruch{e^{3x}+3}{e^x+1}=\bruch{e^{3x}+e^{2x}-e^{2x}+3}{e^x+1}=e^{2x}+\bruch{-e^{2x}+3}{e^x+1}
[/mm]
Der vordere Teil dürfte zu integrieren sein, und im Zähler des hinteren Teils kann man [mm] e^x [/mm] subtrahieren und gleich wieder addieren.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Do 10.02.2011 | | Autor: | dimi727 |
Was meinst du mit [mm] e^x [/mm] subtrahieren und gleich wieder addieren?
$ [mm] \bruch{e^{3x}+3}{e^x+1}=\bruch{e^{3x}+e^{2x}-e^{2x}+3}{e^x+1}=e^{2x}+\bruch{-e^{2x}+3}{e^x+1} [/mm] $
Wie kommst du hier auf den letzten Schritt? Wo ist das [mm] e^{3x} [/mm] hin? Kann es nicht ganz nachvollziehen,was du da machst. Das mit der produktiven Null verstehe ich.
zu b) Ok, das leuchtet ein,aber integrieren oder damit irgendwie weiterarbeiten kann man hier an der Stelle nichtmehr?
und zu c) keine Idee?
Danke für die Mühe!
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Hallo dimi727,
> Was meinst du mit [mm]e^x[/mm] subtrahieren und gleich wieder
> addieren?
>
> [mm]\bruch{e^{3x}+3}{e^x+1}=\bruch{e^{3x}+e^{2x}-e^{2x}+3}{e^x+1}=e^{2x}+\bruch{-e^{2x}+3}{e^x+1}[/mm]
>
> Wie kommst du hier auf den letzten Schritt? Wo ist das
> [mm]e^{3x}[/mm] hin? Kann es nicht ganz nachvollziehen,was du da
> machst. Das mit der produktiven Null verstehe ich.
Ok, dann die Umformung in Zwischenschritten:
[mm]\bruch{e^{3x}+e^{2x}-e^{2x}+3}{e^x+1}=\bruch{e^{2x+x}+e^{2x}-e^{2x}+3}{e^{x}+1}=\bruch{e^{2x}*\left(e^{x}+1\right)-e^{2x}+3}{e^{x}+1}[/mm]
[mm]=\bruch{e^{2x}*\left(e^{x}+1\right)}{e^{x}+1}+\bruch{-e^{2x}+3}{e^{x}+1}=e^{2x}+\bruch{-e^{2x}+3}{e^{x}+1}[/mm]
>
>
> zu b) Ok, das leuchtet ein,aber integrieren oder damit
> irgendwie weiterarbeiten kann man hier an der Stelle
> nichtmehr?
Nein.
>
> und zu c) keine Idee?
>
> Danke für die Mühe!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Do 10.02.2011 | | Autor: | dimi727 |
ok mir ist hier die Potenzregel entfallen : e^2x = [mm] e^x [/mm] * [mm] e^x.
[/mm]
Alles klar, nur was soll jetzt am hinteren Term einfacher sein?
Du meintest subtrahieren und gleich wieder addieren, ist dashier gemeint :
[mm] \bruch{e^{2x} - e^x + e^x +3 }{e^x+1}
[/mm]
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Hallo dimi727,
> ok mir ist hier die Potenzregel entfallen : e^2x = [mm]e^x[/mm] *
> [mm]e^x.[/mm]
>
> Alles klar, nur was soll jetzt am hinteren Term einfacher
> sein?
>
> Du meintest subtrahieren und gleich wieder addieren, ist
> dashier gemeint :
>
> [mm]\bruch{e^{2x} - e^x + e^x +3 }{e^x+1}[/mm]
Das muss doch hier lauten:
[mm]\bruch{\blue{-}e^{2x} - e^x + e^x +3 }{e^x+1}[/mm]
Den kannst Du auch mit so einer kunstvollen Umformung bearbeiten.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Do 10.02.2011 | | Autor: | dimi727 |
Ja genau, wie wir es vorher besprochen haben.
Also wie komme ich dann von dem kunstvoll Umgeformten zum Integral? Also ich weiß nicht,was dieses Umformen gerad leichter gemacht hat? :/
[mm] \integral{e^{2x}+\bruch{-e^{2x}+3}{e^x+1} dx}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Do 10.02.2011 | | Autor: | abakus |
> Ja genau, wie wir es vorher besprochen haben.
>
> Also wie komme ich dann von dem kunstvoll Umgeformten zum
> Integral? Also ich weiß nicht,was dieses Umformen gerad
> leichter gemacht hat? :/
>
> [mm]\integral{e^{2x}+\bruch{-e^{2x}+3}{e^x+1} dx}[/mm]
[mm] \bruch{-e^{2x}+3}{e^x+1}=\bruch{-e^{2x}-e^x+e^x+3}{e^x+1}=-e^x+\bruch{e^x+3}{e^x+1}=-e^x+1+\bruch{2}{e^x+1}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Do 10.02.2011 | | Autor: | dimi727 |
Ok, vielen Dank, jetzt siehts doch gleich viel angenehmer aus :)
und zu c) hat hier keiner eine Idee? :/
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Hallo Dimi,
fangen wir mal so an: man sollte besser nicht versuchen, hier die Stammfunktion zu bilden. Die ist gelinde gesagt ![[]](/images/popup.gif) unübersichtlich und manuell kaum zu finden.
Du brauchst also einen anderen Weg. Ein paar Funktionswerte helfen vielleicht, erst einmal eine Idee davon zu bekommen, wie der Graph der zu integrierenden Funktion eigentlich verläuft.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:49 Do 10.02.2011 | | Autor: | dimi727 |
Ja gut habs mir mal plotten lassen,sieht stark unstetig aus, aber in [mm] (0,+\infty) [/mm] scheints sehr stark gegen 0 zu gehen.
Und nun? Darf sowas etwa nicht integriert werden oder wie soll ich da irgendwas zeigen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:52 Do 10.02.2011 | | Autor: | dimi727 |
Ok, habs etwas falsch eingegeben,ändert aber nichts dadran,dass die FUnktion gegen 0 geht und eigentlich fast wie eine Wurzelfunktion aussieht? Was nun? Was soll mir das jetzt über die sehr unmögliche Integrierbarkeit sagen?^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:11 Fr 11.02.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Dimi,
ich wollte gerade eine andere Abschätzung vorschlagen, aber Teufels Vorschlag ist besser. Mach da mal weiter.
Nur zur Kenntnis - meine wäre so gewesen:
für x>1 ist [mm] \bruch{x}{\wurzel{x^3}}>\bruch{x}{\wurzel{1+x^3}}>\bruch{x}{2\wurzel{x^3}}>0
[/mm]
Und da für [mm] 0\le x\le{1} [/mm] auch [mm] \bruch{x}{\wurzel{1+x^3}}>0 [/mm] gilt, ist man dann genauso schnell fertig. Teufels Abschätzung ist aber eleganter.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:02 Fr 11.02.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Fang mal so an:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\frac{x}{\sqrt{1+x^3}} dx}\ge\integral_{1}^{\infty}{\frac{x}{\sqrt{1+x^3}} dx}\ge\integral_{1}^{\infty}{\frac{x}{\sqrt{x^3+x^3}} dx}.
[/mm]
Das letzte Integral kannst du berechnen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:36 Fr 11.02.2011 | | Autor: | dimi727 |
Vielen Dank an alle Beteiligten, hat mir alles sehr geholfen :)
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