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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Sa 21.01.2006 | | Autor: | smee |
| Aufgabe | Bestimme die Stammfunktionen:
(1) [mm]f(x) = \frac{1}{x^4 - 81}[/mm]
(2) [mm]f(x) = \frac{1}{x^2 + x + 2}[/mm] |
Hallo allerseits!
Ok, mir ist klar, dass gebrochen-rationalen Funktionen i.d.R. mittels Partialbruchzerlegung (PBZ) in eine Form gebracht werden, so dass das Integral leicht(er) bestimmt werden kann.
Ich habe allerdings das Problem, dass ich nicht genau verstehe, wie ich die PBZ mache, wenn eine Fkt. keine reell-wertige Nullstelle hat (wie die (2)).
Bei der (1) habe ich erstmal einfach so getan, als könnte ich die PBZ machen, wie gehabt; dann kommt das hier bei mir raus:
[mm]f(x) = \frac{1}{108}*(\frac{1}{x+3} - \frac{1}{x-3} - \frac{6}{x^2+9})[/mm]
Also:
[mm]\int~f(x)~dx = \frac{1}{108}*(log(|x+3|) - log(|x-3|)) - \frac{1}{108}*\int~\frac{6}{x^2+9}~dx[/mm]
Hier kann ich dann mit dem Integral, das rechts übrig bleibt, nichts anfangen ...
Desgleichen bei (2): Das Nennerpolynom hat keine reelle Nullstelle(n) ... Wie mache ich da dann die PBZ? Ich habe gelesen, dass man in solchen Fällen "komplexwertige Koeffizienten bei reellen Variablen" verwendet, wobei dann z.B. für [mm]x^2+1[/mm] die komplexen Nullstellen [mm]i[/mm] und [mm]-i[/mm] wären ...
Aber ich muss gestehen, dass ich trotzdem nicht so genau weiß, was ich nun machen muss.
Im Übrigen hat mein Programm bei den Stammfunktion beider Aufgaben [mm]tan^{-1}[/mm] drin stehen, und ich habe keine Ahnung, wo das herkommen soll 
Ich wäre für Tipps wie immer sehr dankbar!
Gruß,
Carsten
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Hallo smee,
> Bestimme die Stammfunktionen:
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> (1) [mm]f(x) = \frac{1}{x^4 - 81}[/mm]h
> (2) [mm]f(x) = \frac{1}{x^2 + x + 2}[/mm]
>
> Bei der (1) habe ich erstmal einfach so getan, als könnte
> ich die PBZ machen, wie gehabt; dann kommt das hier bei mir
> raus:
>
> [mm]f(x) = \frac{1}{108}*(\frac{1}{x+3} - \frac{1}{x-3} - \frac{6}{x^2+9})[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Also:
>
> [mm]\int~f(x)~dx = \frac{1}{108}*(log(|x+3|) - log(|x-3|)) - \frac{1}{108}*\int~\frac{6}{x^2+9}~dx[/mm]
>
> Hier kann ich dann mit dem Integral, das rechts übrig
> bleibt, nichts anfangen ...
Verwende für Integrale der Bauart
[mm]\int {\frac{1}
{{\left( {a\;x\; + \;b} \right)^2 \; + \;c^2 }}\;dx} [/mm]
die Substitution
[mm]
\begin{gathered}
a\;x\; + \;b\; = \;c\;\tan \;z \hfill \\
a\;dx\; = \;c\;\left( {1\; + \;\tan ^2 \;z} \right)\;dz \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
>
> Desgleichen bei (2): Das Nennerpolynom hat keine reelle
> Nullstelle(n) ... Wie mache ich da dann die PBZ? Ich habe
> gelesen, dass man in solchen Fällen "komplexwertige
> Koeffizienten bei reellen Variablen" verwendet, wobei dann
> z.B. für [mm]x^2+1[/mm] die komplexen Nullstellen [mm]i[/mm] und [mm]-i[/mm] wären
> ...
>
> Aber ich muss gestehen, dass ich trotzdem nicht so genau
> weiß, was ich nun machen muss.
>
> Im Übrigen hat mein Programm bei den Stammfunktion beider
> Aufgaben [mm]tan^{-1}[/mm] drin stehen, und ich habe keine Ahnung,
> wo das herkommen soll
Durch Anwendung der obigen Substitution kommt man da drauf.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Sa 21.01.2006 | | Autor: | smee |
Danke für die Antwort ...
Leider komme ich mit der Substitution irgendwie nicht richtig klar.
[mm]\int~\frac{1}{x^2 + 9}~dx[/mm]
wird durch Substitution wie oben zu:
[mm]\int~\frac{3*(1 + tan^2 (z))}{(3*tan(z))^2 + 9}~dz[/mm]
Und wenn ich mich nicht verrechnet habe, kommt dann da raus:
[mm]= \frac{z}{3}[/mm]
Ist das soweit schon mal richtig?
Ich habe jetzt allerdings ein Brett vorm Kopf wenn's darum geht zurück zu substituieren ...
Und noch eine ganz doofe Frage: Wie kommt man auf eine solche Substitution??
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Hallo smee,
> Danke für die Antwort ...
>
> Leider komme ich mit der Substitution irgendwie nicht
> richtig klar.
>
> [mm]\int~\frac{1}{x^2 + 9}~dx[/mm]
>
> wird durch Substitution wie oben zu:
>
> [mm]\int~\frac{3*(1 + tan^2 (z))}{(3*tan(z))^2 + 9}~dz[/mm]
>
> Und wenn ich mich nicht verrechnet habe, kommt dann da
> raus:
>
> [mm]= \frac{z}{3}[/mm]
>
> Ist das soweit schon mal richtig?
>
Ja.
> Ich habe jetzt allerdings ein Brett vorm Kopf wenn's darum
> geht zurück zu substituieren ...
Substituiert haben wir wie folgt:
[mm]x\; = \;3\tan \;z[/mm]
Um die Substitution rückgängig zu machen, benötigen wir z(x). Diese bekommen wir, wenn wie die Umkehrfunktion des Tangens auf beiden Seiten anwenden:
[mm]
\begin{gathered}
x\; = \;3\tan \;z \hfill \\
\Leftrightarrow \;\frac{x}
{3}\; = \;\tan \;z\;\left| {\arctan } \right. \hfill \\
\Rightarrow \;z\; = \;\arctan \;\frac{x}
{3} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Und das setzt Du jetzt in die erhaltene Stammfunktion ein.
>
> Und noch eine ganz doofe Frage: Wie kommt man auf eine
> solche Substitution??
Ich denke das ist Übungssache.
Das Ziel ist den Integranden so einfach wie möglich zu machen.
Gruß
MathePower
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