Integrale lösen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 So 16.03.2008 | | Autor: | tobbeu |
| Aufgabe | [mm] \integral_{}^{}{\wurzel{1+\wurzel{x}} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x^4+1} dx} [/mm] |
Hallo,
ich habe es irgendwie nicht geschafft die beiden Aufgaben zu trennen. Ich hoffe das ist nicht weiter problematisch.
Zur ersten Aufgabe:
die einzige Idee wäre Substitution mit [mm] sinh(x)^2 [/mm] ,da 1+sinh(x)=cosh(x)
Also hätte ich nur noch [mm] \integral_{}^{}{\wurzel{cosh(x)}dx}
[/mm]
Ist der Weg nützlich? Weite komme ich nämlich nicht.
Zur zweiten Aufgabe:
Alles was ich suche ist eine geeignete Zerlegung von [mm] 1+x^4. [/mm] Dieser Term besitzt ja keine reellen Nullstellen. Dennoch gibt es bestimmt eine praktische Faktorisierung des Nenners, sodass ich dann Partialbruchzerlegung drüber werfen kann.
Besten Dank,
Tobi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo tobbeu,
> [mm]\integral_{}^{}{\wurzel{1+\wurzel{x}} dx}[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x^4+1} dx}[/mm]
> Hallo,
> ich habe es irgendwie nicht geschafft die beiden Aufgaben
> zu trennen. Ich hoffe das ist nicht weiter problematisch.
>
> Zur ersten Aufgabe:
> die einzige Idee wäre Substitution mit [mm]sinh(x)^2[/mm] ,da
> 1+sinh(x)=cosh(x)
> Also hätte ich nur noch
> [mm]\integral_{}^{}{\wurzel{cosh(x)}dx}[/mm]
> Ist der Weg nützlich? Weite komme ich nämlich nicht.
Die Idee ist gar nicht so falsch. Besser ist hier die Substitution [mm]x=\sinh^{4}\left(v\right)[/mm]
>
> Zur zweiten Aufgabe:
> Alles was ich suche ist eine geeignete Zerlegung von
> [mm]1+x^4.[/mm] Dieser Term besitzt ja keine reellen Nullstellen.
> Dennoch gibt es bestimmt eine praktische Faktorisierung des
> Nenners, sodass ich dann Partialbruchzerlegung drüber
> werfen kann.
Probier es mal mit
[mm]x^{4}+1=\left(x^{2}-ax+1\right)*\left(x^{2}+ax+1\right)[/mm]
Dann ist:
[mm]\bruch{1}{x^{4}+1}=\bruch{C_{1}x+D_{1}}{x^{2}-ax+1}+\bruch{C_{2}x+D_{2}}{x^{2}+ax+1}[/mm]
>
> Besten Dank,
> Tobi
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 So 16.03.2008 | | Autor: | tobbeu |
Vielen Dank, genau das hat mir gefehlt!
Noch eine weitere Frage:
Wie behandle ich Wurzeln in Integralen?
Speziell eine gebrochen rationale Funktion unter einer Wurzel im Integral?
Ich komme z.B. bei [mm] \integral_{}^{}{\wurzel{tan{x}}dx} [/mm] auf eine solche gebrochen rationale Funktion, die aber noch unter der Wurzel steht. Das unter der Wurzel kann ich ja dann zerlegen per Partialbruchzerlegung. Problem: Ich kann die Wurzel nicht in die Summe von Partialbrüchen ziehen.
Vielen Dank nochmal,
Tobi
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Hallo tobbeu,
> Vielen Dank, genau das hat mir gefehlt!
>
> Noch eine weitere Frage:
> Wie behandle ich Wurzeln in Integralen?
> Speziell eine gebrochen rationale Funktion unter einer
> Wurzel im Integral?
> Ich komme z.B. bei [mm]\integral_{}^{}{\wurzel{tan{x}}dx}[/mm] auf
> eine solche gebrochen rationale Funktion, die aber noch
> unter der Wurzel steht. Das unter der Wurzel kann ich ja
> dann zerlegen per Partialbruchzerlegung. Problem: Ich kann
> die Wurzel nicht in die Summe von Partialbrüchen ziehen.
Da hilft wohl nur eine geeignete Substitution.
>
> Vielen Dank nochmal,
> Tobi
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 So 16.03.2008 | | Autor: | tobbeu |
korrekt, so komme ich ja auch auf den partialbruch.
Nämlich substitution mit [mm] t=tan(\bruch{x}{2}) [/mm] in [mm] tan(x)=\bruch{2t}{1-t^2}. [/mm]
Aber wie weiter? man kommt dann definitiv auf eine gebrochen rationale funktion unter der wurzel...
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> Aber wie weiter?
Hallo,
geh' ins Bett!
Ich habe eben meinen (elektronischen) Assistenten gefragt, und der sagt, daß bei [mm] \intergral\wurzel{tanx} [/mm] eine hypergeometrische Funktion herauskommt - was auch immer das sein mag: jedenfalls nichts, was wir mit ein bißchen Substituieren imn Griff bekommen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:02 Mo 17.03.2008 | | Autor: | tobbeu |
maple gibt mit ein konketes ergebnis. ein ganz schön langer bruch.
Jedenfalls muss ich die aufgabe als klausurvorbereitung lösen können....
es geht mir eigentlich auch nur um die frage wie man gebrochen rationale funktionen unter wurzeln im integral behandelt! Dieses Problem habe ich nämlich bei vielen Aufgaben!
Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Mo 17.03.2008 | | Autor: | tobbeu |
Mathepower:
deine zerlegung von [mm] (x^4+1) [/mm] geht leider nicht auf. hab versucht eine alternative zu finden, bin aber gescheitert. irgendeine idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo tobbeu!
Wartum geht die denn nicht auf. Du musst hier den Spezialfall $a \ = \ [mm] \wurzel{2}$ [/mm] betrachten.
Gruß
Loddar
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Hallo tobbeu,
> Mathepower:
> deine zerlegung von [mm](x^4+1)[/mm] geht leider nicht auf. hab
> versucht eine alternative zu finden, bin aber gescheitert.
> irgendeine idee?
Zerlege [mm]x^{4}+1[/mm] so:
[mm]x^{4}+1=\left(x^{2}+bx+c\right)*\left(x^{2}-bx+c\right)[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Sa 29.03.2008 | | Autor: | tobbeu |
| Aufgabe | nochmal zurück zur Aufgabe:
[mm] \integral_{}^{}{\wurzel{1+\wurzel{x}}dx} [/mm] |
ich dachte es wäre nun klar, aber ich hab jetzt mal weitergerechnet:
Substituiert habe ich mit [mm] x:=sinh^4(t) [/mm]
[mm] \bruch{dx}{dt}=4sinh^3(t)cosh(t)
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\wurzel{1+sinh^2(t)}4sinh^3(t)cosh(t) dt} [/mm] = [mm] 4\integral_{}^{}{{cosh^2(t)} sinh^3(t) dt}
[/mm]
ich habe jetzt die Generalsubstitution für Trigonometrische Funktionen angesetzt, und zwar:
[mm] cosh(t):=\bruch{u+\bruch{1}{u}}{2} [/mm] und [mm] sinh(t):=\bruch{u-\bruch{1}{u}}{2} [/mm] mit [mm] u:=tanh(\bruch{t}{2}) [/mm] und [mm] \bruch{du}{dt}=\bruch{1-u^2}{2}
[/mm]
führt dieser Ansatz zum Ziel?
Wenn ich weiterrechne komme ich auf ziemlich hässliche Polynome, die als Glieder auch noch Brüche enthalten wie [mm] \bruch{1}{u^2}...
[/mm]
Danke sehr!!!
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Hallo tobbeu,
> nochmal zurück zur Aufgabe:
> [mm]\integral_{}^{}{\wurzel{1+\wurzel{x}}dx}[/mm]
> ich dachte es wäre nun klar, aber ich hab jetzt mal
> weitergerechnet:
> Substituiert habe ich mit [mm]x:=sinh^4(t)[/mm]
> [mm]\bruch{dx}{dt}=4sinh^3(t)cosh(t)[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{\wurzel{1+sinh^2(t)}4sinh^3(t)cosh(t) dt}[/mm] =
> [mm]4\integral_{}^{}{{cosh^2(t)} sinh^3(t) dt}[/mm]
>
> ich habe jetzt die Generalsubstitution für Trigonometrische
> Funktionen angesetzt, und zwar:
> [mm]cosh(t):=\bruch{u+\bruch{1}{u}}{2}[/mm] und
> [mm]sinh(t):=\bruch{u-\bruch{1}{u}}{2}[/mm] mit
> [mm]u:=tanh(\bruch{t}{2})[/mm] und [mm]\bruch{du}{dt}=\bruch{1-u^2}{2}[/mm]
>
> führt dieser Ansatz zum Ziel?
Diese Substution kann leider nur bei rationalen Termen diese Funktionen angewendet werden.
> Wenn ich weiterrechne komme ich auf ziemlich hässliche
> Polynome, die als Glieder auch noch Brüche enthalten wie
> [mm]\bruch{1}{u^2}...[/mm]
[mm]4\integral_{}^{}{{cosh^2(t)} sinh^3(t) dt}=4\integral_{}^{}{\cosh^{2}\left(t\right)* \sinh^{2}\left(t\right)*\sinh\left(t\right) \ dt}[/mm]
Hier kann [mm]\sinh^{2}\left(t\right)[/mm] nach Umstellung dieser ![[]](/images/popup.gif) Gleichung ersetzt werden.
>
> Danke sehr!!!
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Sa 29.03.2008 | | Autor: | tobbeu |
Vielen Dank...
> > ich habe jetzt die Generalsubstitution für Trigonometrische
> > Funktionen angesetzt, und zwar:
> > [mm]cosh(t):=\bruch{u+\bruch{1}{u}}{2}[/mm] und
> > [mm]sinh(t):=\bruch{u-\bruch{1}{u}}{2}[/mm] mit
> > [mm]u:=tanh(\bruch{t}{2})[/mm] und [mm]\bruch{du}{dt}=\bruch{1-u^2}{2}[/mm]
> >
> > führt dieser Ansatz zum Ziel?
>
> Diese Substution kann leider nur bei rationalen Termen
> diese Funktionen angewendet werden.
das verstehe ich nicht ganz. Was bedeutet hier rationale Terme? Die Darstellung als [mm] cosh(t):=\bruch{u+\bruch{1}{u}}{2} [/mm] habe ich einem Buch entnommen und müsste korrekt sein. Was ist dabei aber u? nicht [mm] tanh\bruch{t}{2}??
[/mm]
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Hallo tobbeu,
> Vielen Dank...
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> > > ich habe jetzt die Generalsubstitution für Trigonometrische
> > > Funktionen angesetzt, und zwar:
> > > [mm]cosh(t):=\bruch{u+\bruch{1}{u}}{2}[/mm] und
> > > [mm]sinh(t):=\bruch{u-\bruch{1}{u}}{2}[/mm] mit
> > > [mm]u:=tanh(\bruch{t}{2})[/mm] und [mm]\bruch{du}{dt}=\bruch{1-u^2}{2}[/mm]
> > >
> > > führt dieser Ansatz zum Ziel?
> >
> > Diese Substution kann leider nur bei rationalen Termen
> > diese Funktionen angewendet werden.
>
> das verstehe ich nicht ganz. Was bedeutet hier rationale
> Terme? Die Darstellung als
> [mm]cosh(t):=\bruch{u+\bruch{1}{u}}{2}[/mm] habe ich einem Buch
> entnommen und müsste korrekt sein. Was ist dabei aber u?
> nicht [mm]tanh\bruch{t}{2}??[/mm]
Das ist genau die Substitution, die man laut meinem Buch, bei rationalen Termen von [mm]\sinh\left(t\right), \ \cosh\left(t\right), \ \tanh\left(t\right), \ \coth\left(t\right)[/mm] macht.
Na ja, irgendwie ist das ja auch ein rationaler Term, allerdings mit Nenner 1.
[mm] 4*cosh^2(t)} sinh^3(t)=\bruch{4*cosh^2(t) sinh^3(t)}{1}[/mm]
Die obige Substitution mag schon zum Ziel führen, ist aber erheblich mehr Rechenaufwand.
Gruß
MathePower
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