Integrale mit e-Funktion < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die unbestimmten Integrale.
a) [mm] \integral_{}^{}{(-x*e^{1-x}) dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{}^{}{\bruch{e^{3x}+1}{e^{2x}} dx}
[/mm]
c) [mm] \integral_{}^{}{e^{\wurzel{x}} dx} [/mm] |
Hallo nochmal ^^
Ich hab ein paar probleme mit diesen Integralen,wäre ganz lieb wenn ihr mir helfen könntet.
a)Ich würde hier mit partieller Integration rechnen,unzwar mit [mm] u'=e^{1-x} [/mm] und v=-x, nur ist das Problem,dass ich nicht weiß was die Stammfunktion von [mm] e^{1-x} [/mm] ist?
b) Hier hab ich überhaupt keinen Plan,wie ich ran gehen soll.Ich könnte das Integal zwar aufteilen in [mm] \bruch{e^{3x}}{e^{2x}}+\bruch{1}{e^{2x}}, [/mm] aber irgendwie hilft mir das nciht weiter.
c)Ich hab mir gedacht,dass ich hier substituieren könnte.
[mm] z=\wurzel{x} dx=\bruch{2}{x^{-0.5}}
[/mm]
[mm] 2*\integral_{}^{}{e^{z} dz}=[2*e^{\wurzel{x}}
[/mm]
lg
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Hallo Mandy_90,
> Berechnen Sie die unbestimmten Integrale.
>
> a) [mm]\integral_{}^{}{(-x*e^{1-x}) dx}[/mm]
>
> b) [mm]\integral_{}^{}{\bruch{e^{3x}+1}{e^{2x}} dx}[/mm]
>
> c) [mm]\integral_{}^{}{e^{\wurzel{x}} dx}[/mm]
> Hallo nochmal ^^
>
> Ich hab ein paar probleme mit diesen Integralen,wäre ganz
> lieb wenn ihr mir helfen könntet.
>
> a)Ich würde hier mit partieller Integration rechnen,unzwar
> mit [mm]u'=e^{1-x}[/mm] und v=-x, nur ist das Problem,dass ich nicht
> weiß was die Stammfunktion von [mm]e^{1-x}[/mm] ist?
Betrachte hier
[mm]e^{1-x}=e^{1}*e^{-x}[/mm]
Hier ist nur die Stammfunktion von [mm]e^{-x}[/mm] gesucht.
Und wie diese Stammfunktion lautet ist bekannt.
Das kannst Du auch via Substition berechnen:
[mm]u=1-x \Rigtharrow du=-dx \gdw dx=-du[/mm]
[mm]\Rightarrow \integral_{}^{}{e^{1-x} \ dx}=\integral_{}^{}{-e^{u} \ du}[/mm]
>
> b) Hier hab ich überhaupt keinen Plan,wie ich ran gehen
> soll.Ich könnte das Integal zwar aufteilen in
> [mm]\bruch{e^{3x}}{e^{2x}}+\bruch{1}{e^{2x}},[/mm] aber irgendwie
> hilft mir das nciht weiter.
Wende auf diesen Ausdruck jetzt die Potenzgesetze an.
>
> c)Ich hab mir gedacht,dass ich hier substituieren könnte.
> [mm]z=\wurzel{x} dx=\bruch{2}{x^{-0.5}}[/mm]
Das muss heißen:
[mm]z=\wurzel{x}\Rightarrow dz=\bruch{1}{2 \wurzel{x}} \ dx \gdw 2z \ dz = dx[/mm]
Dann hast Du:
[mm]\integral_{}^{}{e^{\wurzel{x}} \ dx}=\integral_{}^{}{2z*e^{z} \ dz}[/mm]
>
> [mm]2*\integral_{}^{}{e^{z} dz}=[2*e^{\wurzel{x}}[/mm]
>
> lg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy_90,
>
> > Berechnen Sie die unbestimmten Integrale.
> >
> > a) [mm]\integral_{}^{}{(-x*e^{1-x}) dx}[/mm]
> >
> > b) [mm]\integral_{}^{}{\bruch{e^{3x}+1}{e^{2x}} dx}[/mm]
> >
> > c) [mm]\integral_{}^{}{e^{\wurzel{x}} dx}[/mm]
> > Hallo nochmal
> ^^
> >
> > Ich hab ein paar probleme mit diesen Integralen,wäre ganz
> > lieb wenn ihr mir helfen könntet.
> >
> > a)Ich würde hier mit partieller Integration rechnen,unzwar
> > mit [mm]u'=e^{1-x}[/mm] und v=-x, nur ist das Problem,dass ich nicht
> > weiß was die Stammfunktion von [mm]e^{1-x}[/mm] ist?
>
>
> Betrachte hier
>
> [mm]e^{1-x}=e^{1}*e^{-x}[/mm]
>
> Hier ist nur die Stammfunktion von [mm]e^{-x}[/mm] gesucht.
> Und wie diese Stammfunktion lautet ist bekannt.
Warum ist denn hier nur die Stammfunktion von [mm] e^{-x} [/mm] gesucht?Was ist denn mit dem -x was vor dem [mm] e^{1-x}?
[/mm]
> Das kannst Du auch via Substition berechnen:
>
> [mm]u=1-x \Rigtharrow du=-dx \gdw dx=-du[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \integral_{}^{}{e^{1-x} \ dx}=\integral_{}^{}{-e^{u} \ du}[/mm]
>
>
> >
> > b) Hier hab ich überhaupt keinen Plan,wie ich ran gehen
> > soll.Ich könnte das Integal zwar aufteilen in
> > [mm]\bruch{e^{3x}}{e^{2x}}+\bruch{1}{e^{2x}},[/mm] aber irgendwie
> > hilft mir das nciht weiter.
>
>
> Wende auf diesen Ausdruck jetzt die Potenzgesetze an.
Kann ich dann schreiben [mm] \bruch{e^{3x}}{e^{2x}}=e^{x} [/mm] und [mm] \bruch{1}{e^{2x}}=e^{-2x} [/mm] ,also hab ich das Integral [mm] \integral_{}^{}{e^{x}+e^{-2x} dx}=[e^{x}+e^{-2x}] [/mm] ?
> >
> > c)Ich hab mir gedacht,dass ich hier substituieren könnte.
> > [mm]z=\wurzel{x} dx=\bruch{2}{x^{-0.5}}[/mm]
>
>
> Das muss heißen:
>
> [mm]z=\wurzel{x}\Rightarrow dz=\bruch{1}{2 \wurzel{x}} \ dx \gdw 2z \ dz = dx[/mm]
>
Ich versteh nicht so ganz wie du drauf kommst da dx=2z ist ?
> Dann hast Du:
>
> [mm]\integral_{}^{}{e^{\wurzel{x}} \ dx}=\integral_{}^{}{2z*e^{z} \ dz}[/mm]
>
>
Ist die Stammfunktion dann [mm] x*e^{\wurzel{x}} [/mm] ?
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> > Hallo Mandy_90,
> >
> > > Berechnen Sie die unbestimmten Integrale.
> > >
> > > a) [mm]\integral_{}^{}{(-x*e^{1-x}) dx}[/mm]
> > >
> > > b) [mm]\integral_{}^{}{\bruch{e^{3x}+1}{e^{2x}} dx}[/mm]
> > >
> > > c) [mm]\integral_{}^{}{e^{\wurzel{x}} dx}[/mm]
> > > Hallo
> nochmal
> > ^^
> > >
> > > Ich hab ein paar probleme mit diesen Integralen,wäre ganz
> > > lieb wenn ihr mir helfen könntet.
> > >
> > > a)Ich würde hier mit partieller Integration rechnen,unzwar
> > > mit [mm]u'=e^{1-x}[/mm] und v=-x, nur ist das Problem,dass ich nicht
> > > weiß was die Stammfunktion von [mm]e^{1-x}[/mm] ist?
> >
> >
> > Betrachte hier
> >
> > [mm]e^{1-x}=e^{1}*e^{-x}[/mm]
> >
> > Hier ist nur die Stammfunktion von [mm]e^{-x}[/mm] gesucht.
> > Und wie diese Stammfunktion lautet ist bekannt.
>
> Warum ist denn hier nur die Stammfunktion von [mm]e^{-x}[/mm]
> gesucht?Was ist denn mit dem -x was vor dem [mm]e^{1-x}?[/mm]
MathePower meinte bloß, dass du schreiben kannst:
[mm]e^{1-x} = e^{1}*e^{-x} = e*e^{-x}[/mm]
Dann fällt dir das Stammfunktionen von [mm] e^{1-x} [/mm] vielleicht leichter, weil du danach gefragt hattest.
Bei e-Funktionen, die im Exponenten (also im Argument) nur eine lineare Funktion haben (z.B. 1-x, 5+3x, ...), berechnet man die Stammfunktion immer folgendermaßen:
Beispiel:
f(x) = [mm] e^{1-2x}
[/mm]
Denke dir einfach, genau dieselbe Funktion wäre die Stammfunktion, also
F(x) = [mm] e^{1-2x}
[/mm]
Nun prüfe nach, indem du ableitest:
F'(x) = [mm] e^{1-2x}*(-2) \not= [/mm] f(x)
Du siehst: offenbar ist F(x) noch nicht ganz die Stammfunktion von f(x), aber die unterscheiden sich nur um einen Faktor. Wir haben sozusagen beim Ableiten ein (-2) zuviel. Wie bekommen wir das weg? Wir müssten mal [mm] \left(-\bruch{1}{2}\right) [/mm] rechnen. Das dürfen wir natürlich nicht so einfach. Indem wir diesen Faktor aber schon vorher in die von uns angenommene Stammfunktion einbinden, erhalten wir die richtige Stammfunktion:
F(x) = [mm] \left(-\bruch{1}{2}\right)*e^{1-2x}
[/mm]
Wir können nun wegen der Faktorregel für Ableitungen und Integrale davon ausgehen, dass das Ergebnis stimmt, weil man ja Faktoren nicht ableitet. Im Grunde ist das einfach lineare Substitution.
> > Das kannst Du auch via Substition berechnen:
> >
> > [mm]u=1-x \Rigtharrow du=-dx \gdw dx=-du[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow \integral_{}^{}{e^{1-x} \ dx}=\integral_{}^{}{-e^{u} \ du}[/mm]
> >
> >
> > >
> > > b) Hier hab ich überhaupt keinen Plan,wie ich ran gehen
> > > soll.Ich könnte das Integal zwar aufteilen in
> > > [mm]\bruch{e^{3x}}{e^{2x}}+\bruch{1}{e^{2x}},[/mm] aber irgendwie
> > > hilft mir das nciht weiter.
> >
> >
> > Wende auf diesen Ausdruck jetzt die Potenzgesetze an.
> Kann ich dann schreiben [mm]\bruch{e^{3x}}{e^{2x}}=e^{x}[/mm] und
> [mm]\bruch{1}{e^{2x}}=e^{-2x}[/mm] ,also hab ich das Integral
> [mm]\integral_{}^{}{e^{x}+e^{-2x} dx}[/mm]?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Bis hierhin stimmt's 
Versuche mal für den zweiten Summanden im Integral das Vorgehen anzuwenden, das ich dir oben gezeigt habe!
> > >
> > > c)Ich hab mir gedacht,dass ich hier substituieren könnte.
> > > [mm]z=\wurzel{x} dx=\bruch{2}{x^{-0.5}}[/mm]
> >
> >
> > Das muss heißen:
> >
> > [mm]z=\wurzel{x}\Rightarrow dz=\bruch{1}{2 \wurzel{x}} \ dx \gdw 2z \ dz = dx[/mm]
>
> >
>
> Ich versteh nicht so ganz wie du drauf kommst da dx=2z ist
> ?
Wenn du schreibst
z = [mm] \sqrt{x}
[/mm]
ist z eigentlich eine Funktion z(x) = [mm] \sqrt{x} [/mm] in Abhängigkeit von x. Wenn man die Ableitung von z(x) mit Hilfe des [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] Operators bildet, erhält man
[mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = z'(x) = [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{x}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2*z(x)}
[/mm]
Nun kann man nach dx umstellen:
[mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2*z(x)}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 2z*dz = dx
Dann kannst du dx im Integral mit 2z*dz ersetzen.
> > Dann hast Du:
> >
> > [mm]\integral_{}^{}{e^{\wurzel{x}} \ dx}=\integral_{}^{}{2z*e^{z} \ dz}[/mm]
>
> >
> >
>
> Ist die Stammfunktion dann [mm]x*e^{\wurzel{x}}[/mm] ?
Nein. Versuch das Integral [mm] \integral_{}^{}{2z*e^{z} \ dz} [/mm] nochmal richtig mit partieller Integration zu lösen!
Stefan.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Warum ist denn hier nur die Stammfunktion von [mm]e^{-x}[/mm]
> > gesucht?Was ist denn mit dem -x was vor dem [mm]e^{1-x}?[/mm]
>
> MathePower meinte bloß, dass du schreiben kannst:
>
> [mm]e^{1-x} = e^{1}*e^{-x} = e*e^{-x}[/mm]
>
Achso,dann is ja gut,ich hab die jetzt nochmal gemacht,ich hoffe so stimmts.
[mm] \integral_{}^{}{-x*e^{1-x} dx}
[/mm]
Durch partielle Integration bekomme ich:
[mm] =-e^{1-x}*-x-\integral_{}^{}{-e^{1-x}*-1 dx}
[/mm]
[mm] =xe^{1-x}-\integral_{}^{}{e^{1-x} dx}
[/mm]
[mm] =xe^{1-x}+e^{1-x} [/mm] ?
> > > > b) Hier hab ich überhaupt keinen Plan,wie ich ran gehen
> > > > soll.Ich könnte das Integal zwar aufteilen in
> > > > [mm]\bruch{e^{3x}}{e^{2x}}+\bruch{1}{e^{2x}},[/mm] aber irgendwie
> > > > hilft mir das nciht weiter.
> > >
> > >
> > > Wende auf diesen Ausdruck jetzt die Potenzgesetze an.
>
> > Kann ich dann schreiben [mm]\bruch{e^{3x}}{e^{2x}}=e^{x}[/mm] und
> > [mm]\bruch{1}{e^{2x}}=e^{-2x}[/mm] ,also hab ich das Integral
> > [mm]\integral_{}^{}{e^{x}+e^{-2x} dx}[/mm]?
>
> Bis hierhin stimmt's
>
> Versuche mal für den zweiten Summanden im Integral das
> Vorgehen anzuwenden, das ich dir oben gezeigt habe!
Wenn ich so vorgehe wie du es mir oben gezeigt hast,komme ich auf [mm] \integral_{}^{}{e^{x}+e^{-2x} dx}=[e^{x}-0.5e^{-2x}]
[/mm]
> > Ist die Stammfunktion dann [mm]x*e^{\wurzel{x}}[/mm] ?
>
> Nein. Versuch das Integral [mm]\integral_{}^{}{2z*e^{z} \ dz}[/mm]
> nochmal richtig mit partieller Integration zu lösen!
>
Ok,dann komme ich auf :
[mm] =e^{z}*2z-\integral_{}^{}{e^{z}*2 \ dz}
[/mm]
[mm] =e^{z}*2z-2e^{z}
[/mm]
Wenn ich wieder zurück substituiere hab ich
[mm] e^{\wurzel{x}}*2\wurzel{x}-2e^{\wurzel{x}} [/mm] ???
lg
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>
> > > Warum ist denn hier nur die Stammfunktion von [mm]e^{-x}[/mm]
> > > gesucht?Was ist denn mit dem -x was vor dem [mm]e^{1-x}?[/mm]
> >
> > MathePower meinte bloß, dass du schreiben kannst:
> >
> > [mm]e^{1-x} = e^{1}*e^{-x} = e*e^{-x}[/mm]
> >
>
> Achso,dann is ja gut,ich hab die jetzt nochmal gemacht,ich
> hoffe so stimmts.
> [mm]\integral_{}^{}{-x*e^{1-x} dx}[/mm]
> Durch partielle
> Integration bekomme ich:
>
> [mm]=-e^{1-x}*-x-\integral_{}^{}{-e^{1-x}*-1 dx}[/mm]
>
> [mm]=xe^{1-x}-\integral_{}^{}{e^{1-x} dx}[/mm]
> [mm]=xe^{1-x}+e^{1-x}[/mm] ?
[mm]= (x+1)*e^{1-x}[/mm]
Richtig!
Nur noch einwas: Beim Rechnen setze doch lieber Klammern um negative Faktoren, das man es besser lesen kann:
[mm]=(-e^{1-x})*(-x)-\integral_{}^{}{(-e^{1-x})*(-1) dx}[/mm]
> > > > > b) Hier hab ich überhaupt keinen Plan,wie ich ran gehen
> > > > > soll.Ich könnte das Integal zwar aufteilen in
> > > > > [mm]\bruch{e^{3x}}{e^{2x}}+\bruch{1}{e^{2x}},[/mm] aber irgendwie
> > > > > hilft mir das nciht weiter.
> > > >
> > > >
> > > > Wende auf diesen Ausdruck jetzt die Potenzgesetze an.
> >
> > > Kann ich dann schreiben [mm]\bruch{e^{3x}}{e^{2x}}=e^{x}[/mm] und
> > > [mm]\bruch{1}{e^{2x}}=e^{-2x}[/mm] ,also hab ich das Integral
> > > [mm]\integral_{}^{}{e^{x}+e^{-2x} dx}[/mm]?
> >
> > Bis hierhin stimmt's
> >
> > Versuche mal für den zweiten Summanden im Integral das
> > Vorgehen anzuwenden, das ich dir oben gezeigt habe!
>
> Wenn ich so vorgehe wie du es mir oben gezeigt hast,komme
> ich auf [mm]\integral_{}^{}{e^{x}+e^{-2x} dx}=[e^{x}-0.5e^{-2x}][/mm]
Genau so ist es
[mm]\integral_{}^{}{e^{x}+e^{-2x} dx}=e^{x}-\bruch{1}{2}*e^{-2x}][/mm]
> > > Ist die Stammfunktion dann [mm]x*e^{\wurzel{x}}[/mm] ?
> >
> > Nein. Versuch das Integral [mm]\integral_{}^{}{2z*e^{z} \ dz}[/mm]
> > nochmal richtig mit partieller Integration zu lösen!
> >
>
> Ok,dann komme ich auf :
>
> [mm]=e^{z}*2z-\integral_{}^{}{e^{z}*2 \ dz}[/mm]
> [mm]=e^{z}*2z-2e^{z}[/mm]
Richtig .
> Wenn ich wieder zurück substituiere hab ich
>
> [mm]e^{\wurzel{x}}*2\wurzel{x}-2e^{\wurzel{x}}[/mm] ???
Auch richtig
[mm] \integral{e^{\sqrt{x}}} [/mm] = [mm] e^{\wurzel{x}}*2\wurzel{x}-2e^{\wurzel{x}} [/mm] = [mm] 2*e^{\wurzel{x}}*\left(\wurzel{x}-1\right)
[/mm]
Na siehst du - es flutscht doch!
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:51 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
ok vielen dank für eure Hilfe =)
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