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Hallo Leute
ich hab ein kleines problem mit einer aufgabe! der aufgaben text lautet wie folgt:
Gegeben ist die Funktion f(x)= [mm] x^3 [/mm] - [mm] 3x^2 [/mm] und g(x)= x - 3.
Bestimme den Flächeninhalt, den die beiden Funktionen im Intervall [-2;3] einschließen!
also ich denke dass man die beiden funktionen gleichsetzen muss stimmt das? oder muss man die beiden funktionen in einem integral ausrechnen...
ich weiß nicht wirklich wie ich anfangen soll ich hoffe ihr könnt mir einige ansätze schreiben
mfg Thomas
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Hallo Thomas,
es ist dieses Integral zu berechnen:
[mm]\int\limits_{ - 2}^3 {x^3 \; - \;3x^2 \; - \;\left( {x\; - \;3} \right)\;dx} [/mm]
Dieses mußt Du dann nach den Nullstellen des Integranden aufspalten, da auch negative Werte auftreten können.
Der gesamte betragsmäßige Flächeninhalt ist dann:
[mm]\left| {\int\limits_{ - 2}^3 {x^3 \; - \;3x^2 \; - \;\left( {x\; - \;3} \right)\;dx} } \right|\; = \left| {\int\limits_{ - 2}^{n_1 } {x^3 \; - \;3x^2 \; - \;\left( {x\; - \;3} \right)\;dx} } \right|\; + \;\left| {\int\limits_{n_1 }^{n_2 } {x^3 \; - \;3x^2 \; - \;\left( {x\; - \;3} \right)\;dx} } \right|\; + \;\left| {\int\limits_{n_2 }^{3 } {x^3 \; - \;3x^2 \; - \;\left( {x\; - \;3} \right)\;dx} } \right|[/mm]
Es sind also, die Nullstellen der Differenzfunktion
[mm]f\left( x \right)\; - \;g(x)[/mm]
zu berechnen, bevor mit der Berechnung des Flächeninhalt begonnen werden kann,
Gruß
MathePower
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hi leute
ich weiß zwar ich nullstellen berechne....aber da das ganz neu für mich ist fällt es mir schwer Nullstellen den integranden auzurechnen wie fange ich da am besten an.....
ich danke schonmal im vorraus
und für die erste antwort
mfg THomas
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Hallo Thomas!
> ich weiß zwar ich nullstellen berechne....aber da das ganz
> neu für mich ist fällt es mir schwer Nullstellen den
> integranden auzurechnen wie fange ich da am besten
> an.....
Ich würde die Aufgabe auf einem etwas anderen Weg lösen, so finde ich es immer einfacher:
Du hast zwei Funktionen, die eine Fläche einschließen. Wenn sie eine Fläche einschließen, müssen sie sich irgendwo schneiden und diese Schnittpunkte würde ich mal als erstes berechnen:
[mm] x^3-3x^2=x-3
[/mm]
Kannst du so etwas? Am bestens bringst du alles auf eine Seite, sodass rechts dann =0 steht. Dann kannst du eine Nullstelle raten, ich glaube, die einfachste ist x=1 und dann kannst du eine Polynomdivision machen. Kennst du so etwas? Oder sollen wir dir dabei auch noch helfen? (die weiteren Nullstellen sind dann x=(-1) und x=3, aber du solltest schon verstanden haben, wie man die herausfindet!  )
So, wozu brauchen wir nun die Nullstellen? Naja, das sind ja die Schnittpunkte beider Funktionen und das bedeutet so viel wie dass da der Anfang der begrenzten Fläche ist bzw. das Ende (wenn du die Möglichkeit hast, die Funktionen zeichnen zu lassen, dann mach das mal, dann kannst du es dir bestimmt leichter vorstellen). Da wir nun drei Schnittpunkte haben, haben wir zwei begrenzte Flächen und müssen also zwei Integrale berechnen und diese dann am Ende addieren (da wir ja die Gesamtfläche haben wollen). So, da fällt mir aber gerade noch ein, dass du das Ganze ja für das Intervall [-2;3] berechnen musst, also müssen wir sogar noch ein drittes Integral mitberechnen, nämlich von -2 bis -1 (denn das ist ja die "linkeste" Nullstelle).
Kurz gesagt, wir müssen jetzt berechnen:
[mm] \integral_{-2}^{-1}{|x^3-3x^2-x+3|dx}+\integral_{-1}^{1}{|x^3-3x^2-x+3|dx}+\integral_{1}^{3}{|x^3-3x^2-x+3|dx}=
[/mm]
Schaffst du das denn jetzt?
Die Stammfunktion dieser Funktion ist nicht besonders schwierig, und dann musst du nur noch die einzelnen Grenzen einsetzen, okay?
Ansonsten melde dich und zeig mal, wie weit du schon alleine gekommen bist (aber bitte mit Rechenweg! ).
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Do 27.01.2005 | | Autor: | Desperado |
Vielen Dank an die Leute die mir geholfen haben!
mfg Thomas
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