Integralgleichung lösen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 Do 22.07.2010 | | Autor: | AddIDaS |
| Aufgabe | Lösen Sie die Integralgleichung
[mm]2y(t) = t + e^{-t} \int_{0}^{t} e^u \dot y(u) \, du[/mm] |
Hallo,
ich übe gerade für die nächste Klausur und habe mich zusammen mit zwei weiteren Kommilitonen erfolglos an oben genannter Aufgabe versucht.
Die Lösungsidee meinerseits, bei der ich stecken geblieben bin:
1) [mm] e^{-t} [/mm] ins Integral bringen und mit [mm] e^u [/mm] zu einem Teil einer Faltung zusammenfassen.
2) [mm] \dot y(u) [/mm] als den anderen Teil der Faltung ansehen um dann statt des Integrals die Faltung hinschreiben.
3) Laplace-Transformation in den Bildbereich
4) Umstellen nach [mm] Y(s) [/mm]
5) Rücktransformation und fertig
Stecken geblieben bin ich aber bereits bei 1:
Fasse ich die beiden e-Funktionen zu [mm] e^{u-t} [/mm] [ = [mm] f(u-t) [/mm] ]zusammen entspricht das nicht der für die Faltung nötigen Form [mm] f(t-u) [/mm] und dieses kleine Vorzeichen macht mir zu schaffen! :(
Ich freue mich über jeden Hinweis ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:18 Do 22.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Lösen Sie die Integralgleichung
>
> [mm]2y(t) = t + e^{-t} \int_{0}^{t} e^u \dot y(u) \, du[/mm]
Steht da eine Ableitung unterm Integral ? Also
[mm]2y(t) = t + e^{-t} \int_{0}^{t} e^u y'(u) \, du[/mm]
Wie dem auch sei, Differentiation der Integralgleichung nach t führt auf eine einfache lineare und inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung
FRED
>
> Hallo,
>
> ich übe gerade für die nächste Klausur und habe mich
> zusammen mit zwei weiteren Kommilitonen erfolglos an oben
> genannter Aufgabe versucht.
>
> Die Lösungsidee meinerseits, bei der ich stecken geblieben
> bin:
>
> 1) [mm]e^{-t}[/mm] ins Integral bringen und mit [mm]e^u[/mm] zu einem Teil
> einer Faltung zusammenfassen.
> 2) [mm]\dot y(u)[/mm] als den anderen Teil der Faltung ansehen um
> dann statt des Integrals die Faltung hinschreiben.
> 3) Laplace-Transformation in den Bildbereich
> 4) Umstellen nach [mm]Y(s)[/mm]
> 5) Rücktransformation und fertig
>
> Stecken geblieben bin ich aber bereits bei 1:
> Fasse ich die beiden e-Funktionen zu [mm]e^{u-t}[/mm] [ = [mm]f(u-t)[/mm]
> ]zusammen entspricht das nicht der für die Faltung
> nötigen Form [mm]f(t-u)[/mm] und dieses kleine Vorzeichen macht mir
> zu schaffen! :(
>
> Ich freue mich über jeden Hinweis ;)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Do 22.07.2010 | | Autor: | AddIDaS |
Also die gesamte Formel ableiten?
[mm] 2 y'(t) = 1 + e^{-t} \left[ e^u y'(u) \right]_{0}^{t} [/mm]
[mm] 2 y'(t) = 1 + e^{-t} \left( e^t y'(t) - y'(0) \right) [/mm]
Dazu müsste ich aber dann doch den Wert [mm] y(0) [/mm] kennen oder vertue ich mich?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:59 Do 22.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Wir gehen aus von
(1) $ 2y(t) = t + [mm] e^{-t} \int_{0}^{t} e^u [/mm] y'(u) [mm] \, [/mm] du $
Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist die Ableitung von [mm] $\int_{0}^{t} e^u [/mm] y'(u) [mm] \, [/mm] du$ gerade = $e^ty'(t)$, somit folgt aus (1) mit der Produktregel:
$2y'(t) = [mm] 1-e^{-t} \int_{0}^{t} e^u [/mm] y'(u) [mm] \, [/mm] du + [mm] e^{-t}*e^ty'(t)= 1-e^{-t} \int_{0}^{t} e^u [/mm] y'(u) [mm] \, [/mm] du+y'(t)$
Daher ist
(2) $y'(t)= [mm] 1-e^{-t} \int_{0}^{t} e^u [/mm] y'(u) [mm] \, [/mm] du$
Aus (1) folgt weiter: [mm] $e^{-t} \int_{0}^{t} e^u [/mm] y'(u) [mm] \, [/mm] du= 2y(t)-t$. Setze dies in (2) ein und Du hast die DGL.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 Do 22.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Etwas einfacher gehts, wenn man
$ 2y(t) = t + [mm] e^{-t} \int_{0}^{t} e^u \dot [/mm] y(u) [mm] \, [/mm] du $
umformt zu
$ (2y(t) - t [mm] )*e^{t} =\int_{0}^{t} e^u \dot [/mm] y(u) [mm] \, [/mm] du $
und dann nach t differenziert. Dann erhält man sofort die DGL
$y'+2y=1+t$
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:51 Do 22.07.2010 | | Autor: | AddIDaS |
Beide Lösungswege nachvollzogen und verstanden :)
Habe mich wohl zu sehr an der Faltung festgebissen, nachdem ähnliche Beispielaufgaben wiederholt mit eben dieser gerechnet wurden..
Wenn ich mir das jetzt so ansehe verstehe nicht, wie man wegen dieser Aufgabe (unter anderem) eine Klausur nicht bestehen kann :(
Vielen Dank für deine Hilfe!
|
|
|
|
